河道非恒定流水面線計算研究

□褚青來（河南省河口村水庫工程建設管理局）

1.問題的提出

在工程實踐中，常常要對河道、水庫或渠道等的水流進行計算，以掌握其水面線和流量數據，從而為工程設計、洪水預報、水庫調度、潰壩洪水演進計算等提供科學依據。對一些簡單的工程，可以利用恒定均勻流計算，稍復雜的工程可以利用恒定非均勻計算，但對大型的重要工程僅靠這些計算往往不能反映實際情況，無法滿足工程需要。為解決這一問題，往往要利用理論嚴謹、計算精度較高的非恒定流原理。

2.河道非恒定流水面線計算的基本方程

河道非恒定流水面線計算的基本方程是由水流的連續方程和運動方程組成的方程組，在假定無旁側入流的情況下，用水位變量z和流量變量Q表示的圣維南方程組如下：

該方程組是非恒定流計算的基本方程組。由于方程組屬于一階擬線性雙曲型偏微分方程，在一般情況下，無法求出其普遍的解析解，只能針對具體的明槽非恒定流問題，使用近似的計算方法求解。

3.基本方程組的解法

根據圣維南方程組的特征，結合非恒定流理論的實際應用，目前基本方程組的解法大致可分為3種：

一是特征線法。這一方法是根據偏微分方程理論，先將基本方程組變換為特征線的常微分方程組，然后對常微分方程進行離散化，再結合水流的初始條件和邊界條件求解。該方法物理概念明確，數學分析嚴謹，計算結果精度較高，在實際計算中，其計算公式簡單，容易編程。

二是直接差分法。此法是將基本方程組直接離散化，進而聯解得到一組代數方程，依據離散化時采用的數值格式不同，又可將直接差分法分為顯式差分法和隱式差分法。顯式差分法計算簡單，但限制條件較多；隱式差分法計算過程較為復雜，且僅適應緩慢水流，不適應急變流。

三是瞬時流態法，簡稱瞬態法。此法將運動方程中的所有慣性項忽略，從而使方程組簡化為一階非線性拋物型方程組，然后對簡化方程離散化，再結合初始條件和邊界條件進行近似計算。瞬態法應用較早，也是成熟有效的計算方法，但由于對基本方程組過于簡化，計算精度往往不能滿足實際需要。

經過上述分析，作者推薦采用特征線法求解。

4.特征線法基本方程組

特征線法的基本思想，是根據基本方程組的特點，引進一條特征線，經過推導求出特征線方程，即：

式（1）為正（順水流方向）負（逆水流方向）兩條特征方程，并經過處理得：

式（2）也為兩個方程，式（1）、（2）是特征線法的四個基本常微分方程。求解這四個基本方程有很多方法，作者經過分析研究，認為庫郎格式求解相對簡單，計算時不需要迭代，又有一定的計算精度。

庫郎格式的求解方法，首先建立矩形網格（圖1），并引入積分中值定理，即：

圖1 矩形網格圖

并考慮網格特點，對L點和R點進行線性內插得到L、R點的計算公式，即：

根據求得的 ZL、QL、ZR和 QR，進而可求得 ZP和 QP，即：

或

以上式中：

Z、Q分別代表水位和流量；

t為時間，△t為計算時段長；

s為順水流方向的距離；

△s為斷面間距或流段長；

D、M、E為已知網格節點;

P為求解網格節點；

L、R分別代表上、下游網格之間過渡計算點；

A為過水斷面面積，B為水面寬度；

g為重力加速度，一般取9.8m/s2。

式中：B、A、Q、R、n、i分別代表 M節點水面寬度、面積、流量、水力半徑和糙率、底坡。

(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)式是特征線法的庫郎格式的基本方程組。該解法是利用已知的D、M、E網格節點水力要素直接計算出網格內點P點的水力要素。對于P點位于上下游邊界時，則要分別情況，利用上述公式計算（詳細情況在下面敘述）。

5.特征線解法的方法步驟

5.1 收集各過水斷面資料

斷面資料包括糙率、底坡坡降和斷面幾何資料。

對于糙率n，可參照有關水利設計手冊選取，為保證計算精度，各斷面應分別取n值，如果各斷面相近也可采用統一的n值。

對于坡降，各斷面應分別計算，且要把握總體坡降趨勢。

對于斷面幾何資料，如果斷面規則，比如為矩形或梯形，可直接建立高程z和面積、濕周x、水力半徑R、水面寬度B之間的關系，如果不規則，如天然河道，則要根據實測資料或地形圖，建立數據關系，具體求解時進行內插計算，也可將各斷面的數據關系處理成關系曲線，采用近似的計算公式，以便編程。

5.2 確定計算時段、斷面間距

對于計算時段和流段，要依據庫郎約束條件確定，即要滿足關系，△s不可過大，否則影響計算精度，一般應取500m左右，特殊情況可適當放寬，但不宜超過3000m。

5.3 確定計算的初始條件

初始條件為計算起始各斷面的水位和流量。非恒定流理論的前提是起始時刻各斷面有一定的水深，不能是干的河道或渠道。確定起始條件時，視具體情況，可用恒定均勻流或恒定非均勻流計算各斷面的水位和流量，也可根據實測資料確定水位和流量。

5.4 確定上游（入流斷面）、下游（出流斷面）邊界條件

對上游邊界條件，如果已知水位（比如從水庫中引水）ZP，可直接利用式（5）、（6）和（8）計算流量 QP；如果已知流量過程線（已知 QP），將式（8）變化為：

再結合式（5）、（6）計算 ZP。

對下游邊界條件，如果已知水位（如下游連接大型水庫、湖泊，水位穩定）ZP，可利用式(9)計算流量QP；如果已知流量（如電站引水）QP，將式(9)變換為：

再結合式（3）、（4）計算ZP。如果下游邊界為水位～流量關系即Q=f（z），如水閘，則要先利用式（3）、（4），計算出ZL、QL，然后利用式(9)和QP=f（zP）關系組成兩元方程組，因一般情況無法直接解出zP、QP，要通過試算求解。

5.5 編程計算

進行非恒定流計算時，由于工作量大，要用計算機編程求解。作者結合具體的工程實例，依據非恒定流特征線法的庫郎格式原理，用VB成功編制了計算程序，如有需要可同作者聯系。