8階貝塞爾低通濾波器精確設計及應用

苗匯靜，譚博學，徐秀美

（山東理工大學 電氣與電子工程學院，山東 淄博 255049）

濾波器是一種能使有用信號順利通過而同時對無用信號進行抑制或使其衰減的電子裝置。隨著電子技術和集成電路技術的迅速發展，濾波技術在通信、測量、信號處理、數據采集和實時控制等領域得到了廣泛應用。在這些領域的電子部件中，使用較多、技術較復雜、設計工作量較大的是濾波器[1-2]。因傳統濾波電路結構和分布參數的限制，存在很多缺點，很難設計出性能優良的濾波器[3]。而巴特沃茲、切比雪夫、橢圓函數濾波器的群延時特性在通帶內呈凹形，在使用中必須要進行群延時均衡，需再設計一個網絡，增加了電路的復雜程度[4]。為此本文提出了一種貝塞爾濾波器精確設計方法，以8階低通濾波器為例，介紹了利用Bessel函數和美國MAXIM公司濾波器設計軟件，精確設計濾波器的方法。該方法借助于Multisim仿真軟件及濾波器仿真軟件，對濾波器的頻率響應和群延時進行了仿真分析，并實際制作了貝塞爾濾波器。

1 高階貝塞爾濾波器的傳輸函數和時延函數

貝塞爾濾波器是具有最大平坦的群延時的線性濾波器，在整個通帶內具有恒定的群延時，所以在通帶上保持了被過濾的信號波形。Bessel傳輸函數以得到線性相位(即最平坦延時)為目標，其階躍響應沒有過沖或振鈴，沖擊響應沒有振蕩特性，但其頻率響應比同階的巴特沃茲濾波器和切比雪夫濾波器要差，所以為了得到較好的頻率響應，必須使用高階貝塞爾濾波器。以下簡單介紹高階貝塞爾濾波器的傳輸函數和時延函數。

貝塞爾近似是采用多項式來逼近理想時延傳輸函數G(s)=est0的一種方法，貝塞爾多項式Bn(s)為：

其系數bk的表達式為：

n階貝塞爾濾波器的傳輸函數G(s)為：

因此，由式(2)算出系數 bk的各個值，將其代入式(3)，即可得到貝塞爾濾波器傳輸函數的表達式。當n=8時，可得到8階貝塞爾濾波器的傳輸函數為：

根據分析計算的需要，貝塞爾濾波器的傳輸函數通常還采用其他形式，如式(5)是用零極點表示傳輸函數的表達式。一般設計高階濾波器時，常常由多個低階濾波器級聯得到，這時傳輸函數的表達式可用式(6)表示。

式（6）中，m表示由 m級濾波節組成。由式（3）可知，貝塞爾傳輸函數相頻特性φ(ω)的表達式為：

若將傳輸函數G(s)分成由奇次多項式GM(s)和偶次多項式GN(s)兩部分組成，即:

則相頻特性的表達式為：

由時延函數的定義可知，時延函數t(ω)的表達式為：

當s=jω時，則時延函數的表達式為：

由式（11）可知，只要知道了零點，即可得到時延函數的表達式。若用式（9）相頻特性的表達式，則時延函數還可表示為：

其中，G2M(s)、G2N(s)是 GM(s)、GN(s)對的一階導數。

2 設計方法及實現

2.1 設計方案

8階Bessel低通濾波器主要由專用濾波器芯片MAX275、單片機 STC89C58、數字電位器、鍵盤和顯示等部分組成。MAX275是有源濾波器，是由兩個2階濾波節、一個MAX275芯片以及由8個外接電阻構成的4階Bessel濾波器，用兩個級聯組成8階Bessel濾波器。其中16個電阻是通過單片機控制數字電位器得到精確參數值，用鍵盤設置濾波器各種參數，如截止頻率、過渡帶頻率范圍、通帶增益和衰減特性等，用LCD顯示相關信息。

2.2 濾波器專用芯片MAX275簡介

MAX275是美國MAXIM公司生產的集成有源濾波器。其濾波類型有Buttreworth、Bessel、Chebyshev等 。MAX275可完成以上各種2階低通和2階帶通的濾波功能，也可級聯實現4階有源濾波。若需8階濾波器時，可用兩個MAX275級聯實現。其中心頻率/截止頻率范圍為100 kHz～300 kHz，在工作溫度范圍內的精度為±0.9%，輸出電壓擺幅為±4.5 V(RL=5 kΩ)，電源電壓范圍為－2.37 V～＋5.50 V，總諧波失真的典型值為-86 dB[5]。MAX275不需外接電容，只需外接電阻，每個 2階節的中心頻率 F0、Q值及放大倍數均由4個外接電阻確定[6]。4個外接電阻的精確參數值，可由MAX275濾波器軟件設計得到。

2.3 用MAX275軟件設計濾波器的方法及步驟

MAX275軟件是美國MAXIM公司開發的專用濾波器設計軟件。設計方法及步驟如下：

（1）打開 MAX275濾波器設計軟件

打開MAX275濾波器設計軟件包，雙擊＜FILTER.EXE＞，進入＜MAXIM Integrated Products Filter Design Software＞。其主菜單：

·Determine Poles/Qs/Zeros base on filter requirements

·Implement filter in hardware（MAX275）

·Configure printer

·Quit

（2）選擇濾波器類型和設置相關參數值

從主菜單界面，進入＜Determine Poles/Qs/Zeros base on filter requirements＞，根據提示及要求，設置濾波器類型和相關參數值。濾波器類型可從提示中選取，如：從Lowpass、Bandpass 和 Butterworth、Bessel、Chebyshev 中 ， 選擇 Lowpass、Bessel型。 設置濾波器參數，如：Order(階數)、Amax（-3 dB 增益）、Amin（最小衰減增益）、Fc（-3 dB 截止頻率）、Fs（最大衰減頻率）等。 設置好后，按＜Esc＞退出，返回主菜單界面。

（3）軟件仿真和確定硬件電路參數

①從主菜單界面，進入＜Implement filter in hardware（MAX275）＞。

②根據步驟（2）中選擇的濾波器類型和設置的相關參數值，在提示菜單中，輸入相關的參數值，如Bessel、Order、Fo、Q、LPo、Gain 等。

③在提示菜單中，按＜[V]iew graph of response＞，通過反復調試、仿真，確定最優幅頻特性曲線、相頻特性曲線、時延曲線。

④在提示菜單中，按＜[R]esistor selection＞，通過反復調試、仿真，確定最優硬件電路參數值，記錄 R1、R2、R3、R4的數值。

⑤根據需要，在提示菜單中，按相應的提示內容進行調試仿真。

⑥最后，按＜Esc＞退出。

（4）設計硬件電路

根據軟件仿真記錄的 R1、R2、R3、R4的參數值， 設計硬件電路。外接電阻R1～R4的阻值計算公式為：

其中，F0為中心頻率，Q為品質因數，GOLP為低通濾波器增益，GOBP為帶通濾波器增益。需注意，外接電阻最大不應超過4 MΩ，因為電阻精度及寄生電容的影響，F0和Q值會出現較大偏差。當外接電阻大于4 MΩ時，解決方案是用T形電阻網絡取代大阻值的外接電阻。但在對噪聲比較敏感的情況下，不推薦使用。以上參數值均可由濾波器軟件仿真設計得到，不需計算。

2.4 8階Bessel低通濾波器電路原理

8階Bessel低通濾波器電路原理圖如圖1所示。在圖1中，一個MAX275芯片和8個電阻構成一個4階Bessel低通濾波器，兩級級聯得到一個8階Bessel低通濾波器。16個電阻的參數值由MAX275濾波器軟件設計得到[7]。在實際硬件電路中，通過單片機STC89C52控制8個數字電位器得到精確電阻值。而實際購買的電阻電位器的參數值，很難調到精確數值。因為16個電阻的參數值精確與否，直接影響到濾波器的各項技術指標。

3 仿真分析

用MAX275軟件和Multisim軟件進行仿真，例如設計一個8階Bessel低通濾波器，用MAX275軟件設置濾波器參數，截止頻率為 Fc=235 kHz，Fs=1 MHz，Amax=-3 dB。不需計算，通過仿真調試，由濾波器軟件得到Amin=-56 dB，Q=0.506，F=418.638 kHz，LPO=-2.304 dB，R1=545.998 Ω，R2=6.679 kΩ，R3=771.242Ω，R4=1.679 kΩ等參數值。MAX275軟件仿真的頻率響應如圖2所示，群延時特性曲線如圖3所示，用Multisim軟件仿真的頻率響應如圖4所示。

圖1 8階Bessel低通濾波器電路原理圖

通過圖2、圖3、圖4的仿真和試驗分析可以看到，8階Bessel低通濾波器的幅頻特性、相頻特性、群延時特性均很好，阻帶衰減大，是具有最大平坦的群延時的線性濾波器，各項技術指標都滿足要求。

4 應用

（1）用于數字信號傳輸系統

在數字信號傳輸性能分析儀器中，由數字信號發生器產生的數字信號，要求用低通濾波器處理后輸出。如2011年全國大學生電子設計競賽的E題(簡易數字信號傳輸性能分析儀)，要求數字信號發生器產生的m序列信號和曼徹斯特編碼，通過100 kHz和200 kHz低通濾波器處理，采用了該設計中的基于MAX275的貝塞爾低通濾波器，最后輸出的眼幅圖，經測試非常標準，誤差很小。

（2）用于音頻信號傳輸系統

在音頻設備中，要求在不損害頻帶內多信號的相位關系前提下，消除帶外噪聲。如音箱處理器、功放、音頻均衡器中均可應用。

本文以8階Bessel低通濾波器為例，詳細介紹了Bessel濾波器精確設計方法。經過仿真分析研究和實際應用，該濾波器性能優良、結構簡單、易于設計。與其他設計方法比較，克服了濾波器元件多、設計工作量大、調試繁瑣的缺點。該方法還可用于設計帶通Bessel濾波器。

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[2]孫書良，李春輝，路敏.高矩形系數帶通濾波器的仿真與實現[J].無線電工程，2010，40(11)：40-42.

[3]楊軍，李程，張炳毅，等.低通濾波器的階躍響應及其對動態校準的影響[J].計測技術，2010，30(6)：7-12.

[4]賈萃華，何瑞濤，王嘉誠，等.頻率可自動調節的高線性度低通濾波器設計[J].設計參考，2010，12(12)：59-61.

[5]樊京，王金菊，張磊.基于 MAX275的巴特沃茲濾波器設計[J].現代電子技術，2006(8)：13-18.

[6]王彥文，劉清.基于MAX275的有源帶通濾波器的設計與應用[J].武漢理工大學學報，2005，29（1）：72-75.

[7]譚博學，苗匯靜.集成電路原理及應用[M].北京：電子工業出版社，2008：161-163.