分數階控制器實現方法研究

鄺 鈺 吳 潤 李 巖

北京航天自動控制研究所，北京100854

分數階微積分把傳統整數階微積分的階次推廣到了復數形式［1］，此概念最早是1695年Leibniz 和Hospital 提出的，經過300 多年的發展，分數階微積分已經應用到材料記憶、力學和電特性的描述、粘彈性阻尼、分形理論等諸多工程領域［2］，分數階微積分在控制系統中應用還比較新。理論上，控制系統既包括分數階被控對象又包括分數階控制器［3］。朱呈祥等人對被控對象的分數階辨識進行了研究［4］，然而，在控制實踐中，被控對象的模型已經有了經典的整數階模型，所以往往僅考慮控制器為分數階［3］，例如，Alain Oustaloup 等人提出了非整數階魯棒控制(CRONE)［5］，以及目前國內外研究較多的分數階PID(PIλDμ)控制［2，6］也是如此。

傳統整數階PID 控制結構簡單、魯棒性強，廣泛應用于航天、冶金、電力等過程控制中，而PIλDμ控制是傳統PID 控制的推廣，它比PID 控制多了積分階次λ 和微分階次μ 這2個可調參數，控制器參數的整定范圍更廣，控制更靈活。本文首先研究了分數階控制器的模擬及數字實現方法，然后以閥控對稱液壓缸PIλDμ控制系統為例，對分數階控制器的數字實現方法進行了研究與驗證。

1 分數階微積分

分數階微積分的基本算子為a，a 和t 是積分的上、下限，α 為微積分階次，可以是一個復數，本文只研究α∈R 的情況。

分數階微積分定義有多種，常見的分數階微積分定義有Grünwald－Letnikov(G－L)定義、Riemann－Liouville(R－L)定義和Caputo 定義等［8］，以常用的R－L 定義為例，其分數階積分定義為

其中，0 ＜α ＜1，Gamma 函數Γ(λ)定義為

由式(2)的積分定義，還可以定義出分數階微分。假設分數階n－1 ＜β ＜n，則其微分定義為

R －L 定義的分數階積分式(2)和分數階微分式(3)的Laplace 變換分別為

和

式中F(s)為f(t)的Laplace 變換。特別地，若函數f(t)及其各階微分的初值均為0，則

對于廣類實際函數，G－L 定義和R －L 定義的分數階微積分完全等效，而Caputo 定義更適合于分數階微分方程初值問題的描述［7］。

2 模擬分數階微積分器件

理想電容的阻抗為1/(jωC)，而現實比較理想的電容阻抗表達式為1/(jωC)α，這里α 取值從0.999 到0.9999 或者更好［8］，典型情況下，我們希望電容的α 值盡量接近“1”。然而，實際的電容大都表現出一定的“分數度”，Schmidt 和Drumheller研究發現，LiN2H5SO4(Lithium Hydrazinium Sulfate)這種材料在一個很大的溫度和頻率范圍內，其導納的實部與虛部數值可達到106，而且隨頻率的f－1/2變化［9］?？?慮LiN2H5SO4這 種 材 料 導 納 的實部與虛部數值巨大且近似相等，可得其阻抗表達式為

其中K 為整合后的系數。式(7)的Laplace 變換為

圖1 和圖2 分別為使用LiN2H5SO4材料做成的元器件所構成的模擬分數階積分與微分電路，此電路僅適用積分與微分階次大約為0.5 的情況，其它階次并不適用。

圖1 分數階積分電路

圖2 分數階微分電路

3 分數階微積分的數字實現

文獻［7］給出了可由Fourier 級數展開的已知函數的分數階微積分的計算方法，但實際應用中，信號的函數表達式經常是無法預先知道的，對于這種情況，可以通過構造數字濾波器的方式對信號進行分數階微積分數值處理，信號經過濾波器的輸出結果就是信號分數階微積分的近似結果。

分數階微積分可用Laplace 變換寫成s±r形式。要構造數字濾波器，需要引入生成函數s =ω(z－1)對分數階微積分算子s±r(r∈(0，1))進行離散化，生成函數的形式及其展開方法不同，所構造濾波器輸出結果逼近原信號分數階微積分的程度也不同。已經提出的分數階離散化數字實現方法有對Euler算子的連分式展開(CFE)法和冪級數展開(PSE)法，對Tustion 算子的遞歸式展開法和CFE 法，以及對Al－Alaoui 算子的PSE 法等。

理想積分算子s－1在高頻段的幅頻響應位于Simpson 積分算子HS(z)和梯形積分算子HT(z)幅頻響應之間，為改善高頻段響應，在設計濾波器時，引入加權系數a∈［0，1］，兼顧Simpson 積分算子和梯形積分算子，可以得到一種新的積分算子［3］

一般情況下，任何函數G(z)都可以用CFE 法展開成如下形式

對式(10)選擇不同的加權系數a，或按照不同的擬合階次進行CFE 展開，就可以得到不同的濾波器，最終實現對分數階微積分的離散數字化。

以分數階微積分s±0.3和s±0.7為例，取加權系數a=0.5，采樣周期T=0.01S，分數階次r =0.3，0.7，對式(12)進行3 階CFE 展開，可分別得到濾波器GF(r)的表達式分別為

如果r ＞1，也即r=［r］+r'，則可以先利用已有的方法，對整數階微積分部分進行離散化后，然后再用上面講的方法對分數階部分進行離散化，所以通過式(12)～(15)，我們還可以得到s±1.3，s±1.7的數字化表達式。

4 分數階PID 控制器

分數階PID 控制器即PIλDμ控制器，其積分階次λ 和微分階次μ 為任意正實數，其傳遞函數為

其中KP為比例增益，KI和KD分別是積分和微分常數。顯然，當λ=μ=1 時，PIλDμ退變為經典的整數階PID，類似地，PD 或PDμ控制都是PIλDμ的特例。

5 數值仿真

閥控對稱液壓缸是較為常見的一種電液伺服動力機構，如果忽略結構柔度、摩擦負載和彈性負載的影響，其連續數學模型可表示為［10］

式中:y 為液壓缸活塞桿的位移(m);kv為系統的速度增益(rad/s);ζh為動力機構的阻尼比;ωh為動力機構的固有頻率(rad/s);xv為伺服閥閥芯位移(m)。

當選取參數kv= 15. 96rad/s，ζh= 0. 8，ωh=16.85rad/s，對閥控對稱液壓缸進行傳統的連續PID控制器設計時，系統的閉環傳遞函數為

假設期望的系統閉環極點為－ 10，－ 10，－3.48 ±j9，則可以求出PID 控制器參數KP=0.5646，KI=2.0548，KD=0.017。

為便于分析PIλDμ控制器參數λ 和μ 對系統的影響，在對上述閥控對稱液壓缸進行PIλDμ控制器設計時，選取與連續PID 控制相同的控制參數KP，KI和KD。使用MATLAB 分別對閥控對稱液壓缸PIλDμ控制系統，在不同積分階次λ 和微分階次μ作用下的單位階躍響應進行研究，具體如下:

當積分階次λ=1，微分階次μ 分別取0.7，1 和1.3 時的單位階躍響應如圖3 所示。

圖3 不同微分階次下階躍響應

當微分階次μ=1，積分階次λ 分別取0.7，1 和1.3 時的單位階躍響應如圖4 所示。

圖4 不同積分階次下階躍響應

λ=μ=1 和λ=0.3，μ=1.7 兩種情況下的單位階躍響應如圖5 所示。

圖5 整數階與分數階PID 階躍響應

仿真結果表明:在選擇相同Kp，KI和KD參數的情況下，隨著λ 或μ 的增大，閉環系統的超調量減小的同時，系統的響應速度會有所減慢;微分階次μ在減小超調量方面的作用強于積分階次λ，而積分階次λ 在提高系統響應速度方面的作用優于微分階次μ;適當減小積分階次，增大微分階次，可以達到如圖5 所示的理想控制效果。仿真結果不僅驗證了PIλDμ控制比經典PID 控制多了2個可調參數，可以更好地改善系統性能，還進一步驗證了數字實現分數階控制器方法的正確性與可行性。

6 結論

本文對分數階控制器的模擬與數字實現方法進行了闡述與研究，并以閥控對稱液壓缸分數階PID控制為例，驗證了分數階控制性能的優越性，以及分數階控制器數字實現方法的可行性。

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