基于模糊RBF神經網絡動態摩擦分塊補償的機器人數字魯棒滑模控制算法

李 敏 王家序 肖 科 黃 超 徐 超

重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，400030

0 引言

隨著非線性、強耦合、多輸入多輸出機器人，數控機床，以及動力傳動系統等精密機械系統對定位精度要求的不斷提高，因摩擦的存在而引發的跟蹤誤差（特別是低速的情況下）、黏滑運動以及極限環振蕩等非線性現象，對系統控制性能的影響越來越大。特別是對于一些重載的機器人［1］，摩擦甚至造成了50%的誤差。若負載、潤滑條件以及環境條件改變，機器人系統中的摩擦也會發生相應的變化，即摩擦具有非線性、時變性、不確定性及復雜性。因此，對摩擦力進行辨識和補償是一項不可缺少、重要和關鍵的研究任務。國內外眾多學者以及技術人員采用了多種方法對機器人的摩擦進行補償［2］，若從控制策略角度來分類，主要有以下四種：①固定摩擦補償技術；②基于部分摩擦特性的補償技術；③自適應補償方法；④不基于模型的補償算法和神經模糊技術。

在處理動態摩擦這類具有不確定性、非線性的問題方面，RBF神經網絡作為一種特殊的三層前饋神經網絡，具有并行計算、分布式信息存儲、容錯能力強、自適應、學習收斂速度快等一系列優點，而模糊邏輯具有較強的定性知識表達能力和推理能力。因此，Kosko［3］綜合兩者長處，提出了基于結構等價型融合的模糊RBF神經網絡系統，該系統的結構和權值都有一定的物理含義，在設計其結構時，可以根據問題的復雜程度及精度要求，并結合先驗知識來構造合適的模糊神經網絡模型，這樣，網絡的學習速度就會大大加快，并且避免了局部極值。

本文在遵循摩擦學的3個公理的前提下［4］，結合機器人的動力學模型及7種重要典型的動態摩擦模型的特性［5－8］，分析、總結了各種不同的摩擦補償方法或技術的優缺點，提出了一種基于動態摩擦模型——LuGre模型的模糊RBF神經網絡分塊補償的機器人數字魯棒滑模控制算法，對機器人系統中的摩擦不確定項進行有效的估計、逼近、補償，從而實現機器人系統高精度、高可靠、長壽命、大轉矩、低能耗的目標。

1 帶摩擦補償的機械臂動力學模型

對于一個n自由度關節機器人，基于拉格朗日運動學建立的機器人動態方程為

在式（1）中，F為非線性動態摩擦補償項。LuGre模型是一個比較完善的摩擦模型，能夠準確地預測摩擦的各種重要特性，且對摩擦環節的動態補償效果較好，已有學者用實驗方法辨識了LuGre模型的參數［9］。但是，該模型動態參數的辨識迄今仍是一個難題。因此，本文采用模糊RBF神經網絡來估計、逼近LuGre模型的動態參數。LuGre摩擦模型是基于鬃毛的平均變形來建模的。

鬃毛的平均變形用狀態變量zi（關節i＝1，2，…，n）表示［10］，按照下式來建模：

式中，σ0i為鬃毛的剛度。

摩擦力由鬃毛的撓曲產生，可以描述為

其中，σ1i是微觀阻尼系數，σ2i是黏性摩擦因數。

函數g（x2）描述了Stribeck效應：

根據式（3）～ 式（5），可以得出：

表 2 結果顯示，三組被試的自尊和職業認同不存在顯著差異，這是每組被試作為一個整體的結果，但死亡凸顯及親密關系喪失的壓力可能會對不同自尊水平的被試產生不同效應，為進一步明確二者對不同自尊水平被試職業認同產生的影響，研究者在被試中區分了高自尊者和低自尊者，高自尊者是自尊問卷得分中排名前27%的被試，低自尊者是自尊問卷得分中排名后27%的被試，詳見表 3。

2 模糊RBF神經網絡數字魯棒滑模控制

2.1 控制結構

2.2 控制律的設計

設位置指令為x1d（k），x1（k）為實際的位置，則跟蹤誤差定義為

滑模函數設計為

其中，Λ為正定陣。

與滑模面函數相關的設定速度為

式中，x2di（k）為機器人各關節的給定速度；si、di對應不同的機器人關節。

圖1 基于模糊RBF神經網絡摩擦補償的機器人數字魯棒滑模控制框架

其中，KD＝diag（Ki），Ki＞0，克服模糊神經網絡建模誤差的魯棒項為Kssat（si），Ks＝diag（Ksi），Ksi＞0，i＝1，2，…，n。飽和函數設計為

式中，si為每個時刻滑模面函數的值。

自適應律設計為

其中，Γ0i、Γ3i、Γ4i為對稱正定矩陣。

2.3 穩定性分析

定義Lyapunov函數為

根據D（k＋1）－2C（k）的斜對稱特性，并將式（1）、式（7）～ 式（13）代入式（14）得

3 仿真結果及分析

圖 兩關節機器人系統

表1 機器人參數及其摩擦力參數

圖3～圖8反映了兩關節機器人的軌跡跟蹤、摩擦力矩、控制力矩隨時間的變化關系及摩擦力矩與速度的變化關系。由圖3、圖4對應的數據可以得出，兩關節機器人的軌跡跟蹤精度高，最大位置誤差為1×10－3rad，且動態摩擦補償的效果也很好。由圖5、圖6可以看出，是否對機器人系統建模的不確定性進行動態LuGre摩擦補償，對機器人控制力矩的穩定性影響非常大：特別是在速度換向（如2.446s）時，有動態摩擦補償時，機器人連桿1控制力矩為28.0046N·m；無摩擦補償時，連桿1控制力矩為32.0270N·m，控制力矩產生跳躍式增大。而在7.3750s時則產生了跳躍式減小，這對機器人高精度、高可靠的操作來說都是要極力避免或不允許的。因此，非常有必要對機器人中的摩擦力矩進行補償。

圖3 機器人軌跡跟蹤

圖4 機器人摩擦力矩及補償

圖5 機器人控制力矩（有摩擦補償）

圖6 機器人控制力矩（無摩擦補償）

圖7 機器人摩擦模型（低速，qd（0）＝［－0.1 0］）

圖8 機器人摩擦模型（低速，qd（0）＝［00］）

圖7、圖8是低速運行時機器人中摩擦力矩隨速度變化的相圖，其形狀類似菱形。由初始狀態O→平衡狀態時，其啟動摩擦力矩存在一定程度的波動或者速度超調，即機器人的初始位置姿態對機器人的穩定性影響非常大。而達到穩態時，幅值達到最大，為24.1199N·m，且隨著時間的推移，摩擦力矩與角速度x2之間存在菱形穩定吸引子。此時，在圖7中，連桿1相圖曲線由D→A時，速度逐漸增大，而摩擦力矩幅值由正向最大→0→負向最大，摩擦力矩表現為負斜率現象，即Stribeck現象。同樣地，該規律也存在于機器人連桿2。

圖9 機器人摩擦模型（高速）

4 結論

（1）本文提出了用模糊RBF神經網絡分塊補償機器人中的動態摩擦不確定項及數字滑模機器人魯棒控制算法，分析了控制器的Lyapunov穩定性，利用模糊神經網絡在線自適應訓練LuGre模型中的各摩擦分項，從而實現了機器人高精度的軌跡跟蹤、高品質的動態響應。

（2）發現了在該兩自由度機器人低速運動時，其關節中存在著Stribeck效應、類菱形吸引子等非線性動力學現象；高速運動時，其黏性摩擦為主。不合適的初始條件會使機器人的啟動摩擦力矩出現較大振蕩。

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