對中職學生數學解題反思能力的培養

李碧璀

（廈門工商旅游學校 福建 廈門 361012）

對中職學生數學解題反思能力的培養

李碧璀

（廈門工商旅游學校 福建 廈門 361012）

舉例闡述了中職數學教學實踐中，如何在數學解題上采用由易到難，由基礎到深入的方法，對中職學生在數學解題反思方法上進行引導，逐步培養中職學生的數學解題反思能力，從而提高中職學生的數學能力。

中職學生；數學解題；反思能力；培養

自古以來，我國教育家就強調反思意識，“學而不思則罔，思而不學則殆”，“吾日三省吾身”等至理名言就是印證，他們強調學與思的統一，注重學習后的反思。數學解題中的反思，特指學生在練習過程中適時回望學習經歷、及時修正解題策略、監控調節解題過程的思維過程，其最終目的是促進學習目標的有效達成。數學解題反思是提高解題能力的一個重要環節，解題反思貫穿解題學習的全過程，也是對解題的元認知過程。在實際解題過程中，由于學生的數學認知結構水平的限制及非認知因素的影響，學生往往表現出對基礎知識不求甚解，不善于對自己的思考過程進行反思，缺乏解題后對解題方法、解題中反映出的數學思維方法、特殊問題所包含的一般意義的概括，導致獲得的知識系統性弱、結構性差。尤其是中職生，他們對數學的興趣不大，基礎相對薄弱，做題相當被動，讓學生在解題過程中養成解題反思習慣，從而提高數學能力，有很重大的意義。

培養學生的反思意識

態度是做好一切事情的前提，是成功的基礎。因此，在培養學生解題反思習慣時，首先應著重培養學生的反思態度、反思意識。多數中職生的學習習慣不是很好，他們往往不愿花太多時間在學習上；但是他們尚能意識到數學作為一門基礎學科的重要性。所以，在一開始，可以把解題反思的重要性和必要性告訴學生，先使他們的思想中有反思意識，然后再由易到難，就審題、解題過程、解題后如何進行反思對學生進行方法上的引導，使他們逐步養成習慣。

在教學實踐中，很多中職生往往是看到數學題后根本不知道從何下手，哪怕最簡單的題目。因此，在一開始，可以通過波利亞的“怎樣解題”四步驟來進行解題任務分解，通過任務驅動引導學生進行解題反思。

例1：已知等差數列的第6項是5，第3項與第8項的和也是5，求這個等差數列前9項的和。

步驟二：擬定計劃。問題3：怎樣求解本題？通過對題目的分析，要求出Sn需要先求出a1，再根據解題需要求出d或者an。顯然本題要求出an也需先求出d，所以，為了簡化步驟就選擇公式（2）。

步驟三：實現計劃。用通項公式an=a1+（n-1）d求出a1和d。師：“本題的a1和d能直接求出來嗎？”生：“不能”。師：“該怎么辦？”生：“要列方程”。師：“對。怎樣列？”生1：“根據已知條件中a6=a1+（6-1）d列出第一個方程；再根據已知條件中a3+a8=a1+（3-1）d+a1+（8-1）d列出第二個方程。連立方程組。”生2：“或者把第一個方程中的a1用d表示代入第二個方程。”師：“對。然后呢？”生：“把所求出的a1和d，n=9代如公式（2）既可求解。”

步驟四：回顧。（1）正面檢驗每一步，推理是有效的，演算是準確的。（2）回顧這個解題過程可以看到，解題首先要弄清題意，同時又要及時提取記憶網絡中的有關信息。這當中，起調控作用的關鍵是構思出一個成功的計劃（包括解題策略）。（3）在心理機制上，這個案例呈現出“激活——擴散”的基本過程，激活了記憶網絡中的解題方法，然后根據各種方法的適用條件選定本題的解法。在本題的教學中，應先讓學生思考該用什么數學知識、方法解決問題，通過幫助學生整理思維過程，反思解題過程中數學公式之間的聯系，促進解題思維常規化，從而才有可能反思數學思維過程，優化解題思路，讓學生經過思考與探索，促進反思，提高反思能力。

提高學生的綜合解題能力

在學生學會了初步的反思方法之后，可以進一步要求學生積極反思，探求一題多解，提高綜合解題能力。

一個數學問題，由于審視的角度不同，往往會得到多種不同的解題方法。在教學中，教師在學生掌握基本解法的基礎上，應鼓勵學生去反思，去探討和尋求更好、更簡捷的解法，使學生通過反思，學會從不同角度、不同方位去審視、去思考，從而溝通知識間的縱橫聯系，訓練和培養學生的發散思維能力。眾所周知，數學知識有機聯系縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路、最優最簡捷的解法，不能解完題就罷手。

例2：已知三點A（1，2），B（3，3），C（7，5），求證：A、B、C三點共線。

對知識點做橫向與縱向比較

很多學生做題易就事論事，就題論題，不能通過反思對各知識點進行比較、小結，從而將知識有機地聯系起來，形成有效的知識網絡，導致掌握的知識支離破碎，容易遺忘。

例3：判斷下列5個命題中正確的命題是____：（1）若y=f（x）為偶函數，則y=f（x+2）的圖像關于直線對稱x=2；（2）若y=f（x+2）為偶函數，則y=f（x）的圖像關于直線x=2對稱；（3）若f（x-2）=f（2-x），則y=f（x）的圖像關于直線x=2對稱；（4）若f（x+ 2）=-f（-x)，則y=f（x）的圖像關于點（2，0）對稱；（5）函數y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖像關于直線x=2對稱。

這個問題的正確答案是（2）和（5）。這道題目需要我們反思所有與函數相關的對稱性知識點，并通過對這5個命題做橫向比較，弄清函數的對稱問題。比較（1）、（2），我們要弄清的問題是：偶函數關于y軸對稱，所以，倘若y=f（x）為偶函數，則y=f（x+2）是由y=f（x）向左平移2個單位得到，所以y=f（x+2）的圖像關于直線x=-2對稱；倘若y=f（x+2）為偶函數，則y=f（x）是由y=f（x+2）向右平移2個單位得到，所以y=f（x）的圖像關于直線x=2對稱。比較（3）、（4），我們要弄清的是關于函數自身的對稱問題的兩個重要結論，結論1：函數y=f（x）關于直線x=a對稱的充要條件是：對定義域內的任意x都滿足f（a+ x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）。結論2：函數y=f（x）關于點（a，b）對稱的充要條件是：對定義域內的任意x都滿足f（a+x）+f（ax）=2b，即f（x）+f（2a-x）=2b。所以，若f（x-2）=f（2-x），則y=f（x）的圖像關于直線x=0對稱；若f（x+2）=-f（-x），則y=f（x）的圖像關于點（1，0）對稱。比較（3）、（5），我們要弄清函數的對稱分為：函數自身的對稱性與兩個不同函數的對稱性。所以對于命題（5），就不能套用上述關于函數自身對稱問題的那兩個結論。首先，我們知道y=f（x）與y=f（-x）是關于x=0對稱，而y=f（x-2）和y=f（2-x）分別是由y=f（x）和y=f（-x）向右平移兩個單位得到，所以函數y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖像關于直線x=2對稱。

經常對做過的題目做這樣縱向或者橫向的知識反思和比較，做歸納與總結，可以讓學生對自己學過的內容有較系統的認識，從而達到會做一題就會做百題的效果。

總結

綜上所述，可歸納總結解題反思的步驟如下：一是進行審題反思，就是應該反思如何審題。這里要指出的是，反思不一定在解題之后，也可以在解題之前或解題之中，在遇到一個新穎的題目時，我們應該要搞清未知數是什么，已知數據是什么，條件是什么，要確定未知數，條件是否充分，把條件的各個部分分開來分析，甚至可以畫圖引入適當的符號。這樣可以給我們提供一個數學建模的模式，也有利于我們分析題目。二是反思解法，擬定計劃。反思以前是否見過這個題目，是否見過相同的問題只是形式不同而已，以及是否知道與此類問題有關的公式或者定理。三是反思計劃，敘述解法。數學是培養邏輯思維的，所以我們要注意反思，這樣才能讓我們的數學能力有質的提高。四是查漏補缺，反思解題過程，總結解題經驗。要思考：對你的求解過程自己檢驗過嗎？你能否用別的方法來解這個題目？你用的這個方法或結果能否用于解決其他問題？五是反思基本的解題模式，做到舉一反三。要在解題中抽象出基本的解題模式，并系統小結，對知識點做橫向與縱向的比較，形成牢固的知識體系。

我校通過對學生數學解題反思能力的培養，增強了學生數學解題的自覺性、主動性，促進了學生良好解題反思習慣、反思意識的形成，同時增強了學生學習數學的興趣。學生發現，很多問題只要聯系所學知識自己都能解決，而且通過自己的思考，對于做錯的地方也更能理解。養成良好的解題反思習慣后，學生學習數學的積極性有了很大提高，學習興趣也濃厚了。教師都是引導學生如何去發現問題、解決問題，而不是一味灌輸，使學生懂得了要經歷“感知——領悟——運用”的學習過程。

引導學生解題反思能優化學生思維，促進學生的思維升華到一個更高的水平，使學生獲得深入學習所必需的思維品質，真正體現“以學生發展為本”的教育理念。總之，培養學生數學解題的反思能力，不僅可以提高學生的數學素質，培養學生的數學意識，更可以促進學生思維能力的發展，為學生獲得終身受用的基礎能力和創造才能奠定基礎。

[1]張定強，趙宏淵.論數學反思能力[J].課程·教材·教法，2005，25（3）：49-54.

[2]曹一鳴，王仲英.略論數學反思能力的培養[J].中學數學教學參考，2004，（9）：1-2.

[3]王家聰.新課程理念的實施需要學生反思能力的培養[J].數學教學通訊，2004，（2）.

[4]段訓明.增強反思意識 優化思維品質[J].數學通報，2003，（6）.

[5]薛黨鵬.解題回顧與數學思維品質的培養[J].數學通報，1999，（12）.

李碧璀（1968—），女，福建廈門人，碩士，廈門工商旅游學校講師，研究方向為課程。

（本文責任編輯：謝良才）

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1672-5727（2012）04-0103-02