關于功概念的爭論與有關疑難問題的研究

費 宏

（江蘇省常州市第一中學，江蘇 常州 213003）

1 關于功概念的論述

論述1：功是能量轉化的量度.

論述2：功是“力的大小、位移的大小、力和位移夾角余弦的乘積”，或者表述為：“力和力方向上的位移的乘積”.

在實際運用中，經常遇到要判斷一個力是否做功的問題.力和夾角往往比較好找，有沒有受力，在什么方向上，多大的力，都容易分析計算.但關于這個位移的說法卻有兩種：一種說法認為該位移是力的作用點的位移，第二種說法則認為位移應該是物體的位移（或說成物體質心的位移）.哪種說法對呢？

2 問題與爭論

問題1：一小木塊滑上一粗糙的水平地面，滑行一段距離后停下來，這個過程中摩擦力對地面做功了沒有？根據第一種說法，看作用點的位移，小木塊在地面上滑動，地面受到的摩擦力作用點在地面上發生了移動，那么摩擦力應該做了功.而根據第二種說法判斷是：小木塊受摩擦力停下來，根據牛頓第三定律，當然地面也受到了大小相等方向相反的摩擦力.由于地面靜止，也即地面沒有位移，該摩擦力對地面當然不做功！這不是出現了矛盾？

問題2：一個人蹲在地面上，慢慢直身站起來，這個過程中，地面對人的支持力做功了沒有？如果我們看作用點的位移，腳站立的地方沒有變，支持力的作用點沒有移動，支持力應該不做功.但這人明顯站立起來了.按第二種說法，物體相對地面的位置發生了改變，人的重力勢能增加了，豈不是支持力做了功？又出現矛盾！

3 尋找問題的根源

造成以上兩個矛盾的問題根源是：對功的概念沒有理解透徹.早在19世紀20年代，法國科學家里奧利明確地把作用于物體上的力和受力點在力的方向的位移的乘積叫做“力的功”.根據里奧利的觀點我們可以確定：力的作用點也就是物體的受力點，位移就是“受力點的位移”，以上問題就迎刃而解了！問題1中，木塊和地面都可看成剛體，木塊在地面上滑動，其作用點不斷前移，但并不是力作用的那個質點發生了位移，而是力的作用點的依次改變.由于摩擦力作用的每一個質點本身并沒有移動，也就沒有產生位移，故而該摩擦力不做功.和第二種說法中物體沒有發生位移，摩擦力不做功并不矛盾.由于位移只對點有定義，所謂“物體的位移”是指物體可以看成質點時的位移.在問題2中，人站起來的過程中，身體相對腳的相對位置發生了變化，這時再把整個“人”看成一個質點，就與實際情況不相符了，而必須把整個人體看成為一個質點組.對于看成質點組的物體，再講整個物體的位移就毫無意義了，而必須明確指出所說的位移是質點組中哪個質點的位移.支持力對質點組來說應該是質點組的外力，對質點組沒有做功.因為力作用在腳上，而腳沒有發生位移.人身體產生的位移其實是質點組內部質點位置的相對變化，也就是“腳”與“身體”作為質點組間的相互作用的內力做功引起的.而外力也就是地面的支持力沒有做功.與此相似的情形還有：人站在光滑地面上推固定墻，手沒離開墻，但人身體整個后移，墻對人的推力做不做功？由前面的敘述可知，該人應看成質點組，推力對質點組是屬于外力，其作用點并沒有位移，故不做功！

從這里我們看出，其實對功的定義里位移的兩種說法都沒有錯，而對其認識的偏差則是由中學物理階段研究對象和學習內容的局限性造成的.結論：做功的位移是指力作用的那個質點的位移.當研究對象能看成剛體且作平動時，該位移同時也是物體位移；因為此時物體各質點的位移都相同，若研究對象是質點組，則各質點的位移可以是不同的，我們應找準在該力作用過程中實際作用質點的位移.

4 有關功疑難問題的深入研究

在求解功的問題時，有時遇到力的作用點位移與受力物體的（質心）位移不等，s是取力的作用點的位移，還是取物體（質心）的位移呢？我們先看下面4個事例.

（1）如圖1所示，人用雙手壓在臺面上推講臺，結果雙手前進了一段位移而講臺未移動.試問：人是否做了功？

圖1

圖2

（2）如圖2所示，全長L、總質量為M的柔軟繩子，盤在一根光滑的直桿上，現用手握住繩子的一端，以恒定的水平速度v將繩子拉直.忽略地面阻力，在求拉力做功時，s是否可以取繩子質心的位移？

（3）人登靜止的樓梯，從1樓到2樓.樓梯對人是否做功？

（4）如圖3所示，雙手用等大反向的力F壓固定汽缸兩邊的活塞，活塞移動相同距離s，汽缸中封閉氣體被壓縮.施力者（人）是否做功？

圖3

在以上4個事例中，s若取作用點位移，只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，樓梯支持力的作用點并未移動，而只是在不停地交換作用點），s若取物體（受力者）質心位移，只有第2、3例是做功的.而且，盡管第2例在s取法不同時都做了功，但計算得出的值并不相同（作用點位移為L，質心位移為.所以，用不同的判據得出的結論出現了很大的分歧.

面對這些似是而非的“疑難雜癥”，我們先回到功的論述1“做功是物體能量轉化的量度”這一根本點.第1例，手和講臺面摩擦生了熱，內能的生成必然是由人的生物能轉化而來，人肯定做了功，s宜取作用點的位移；第2例，求拉力的功，在前面已經闡述，s取作用點位移為佳；第3例，樓梯不需要輸出任何能量，不做功，s取作用點位移；第4例，氣體內能的增加必然是由人輸出的，壓力做的功，s取作用點位移.

但是，如果分別對以上4例中的受力者用動能定理，第1例，人對講臺不做功，s取物體質心位移；第2例，動能增量對應s取時的值——物體質心位移；第4例，氣體宏觀動能無增量，s取質心位移.（第3例的分析暫時延后.）

4 功概念的拓展

以上分析在援引理論知識方面都沒有錯，如何使它們統一？原來，功的概念有廣義和狹義之分.在力學中，功的狹義概念僅指機械能轉換的量度；而在物理學中功的廣義概念指除熱傳遞外的一切能量轉化的量度.所以功也可定義為能量轉化的量度.一個系統總能量的變化，常以系統對外做功的多少來量度.能量可以是機械能、電能、熱能、化學能等各種形式，多種形式的能量間也可以同時發生轉化.由此可見，關于功概念的論述可以這樣理解，論述1對應的是廣義的功，論述2對應的則是狹義的功，它們都沒有錯誤，只是在現階段的教材中還沒有將它們區分開來而已.動能定理中的功當然是指狹義的功.

圖4

在求解功的問題時，還要注意具體問題具體分析.如上面的第3例，就相對復雜一些.下面我們進行這樣一個處理：將復雜的形變物體（人）看成這樣一個相對理想的組合：剛性物體下面連接一壓縮的彈簧（如圖4所示），人每一次蹬梯，腿伸直將軀體重心上舉，等效為彈簧將剛性物體舉起.這樣，我們就不難發現，做功的是人的雙腿而非地面，人既是輸出能量（生物能）的機構，也是得到能量（機械能）的機構，本題所求的功應理解為廣義功為宜.