反函數在高等數學中的應用歸納

王 偉 (揚州工業職業技術學院基礎部，江蘇 揚州 225127)

反函數在高等數學中的應用歸納

王 偉 (揚州工業職業技術學院基礎部，江蘇 揚州 225127)

從極限、導數、積分、常微分等多方面對反函數的應用進行歸納，同時在較弱的條件下，給出利用反函數求導、求不定積分和定積分的相關定理，改進和推廣了相關文獻中的結果。

反函數；連續；嚴格單調；可積

反函數作為初等數學中的一個重要概念，在高等數學中仍起著非常重要的作用。鑒于反函數這一概念的特殊性，文獻[1]根據定積分的可積條件與分部積分法推出一種利用反函數求解定積分的簡捷方法；文獻[2]由換元積分和分部積分法推導利用反函數求解不定積分的方法；文獻[3]則通過建立命題、構造反例，對反函數的求導定理進行深入研究，說明定理中的條件不能保證結論成立。筆者在文獻[1-3]研究基礎上，對反函數的相關定理條件進行適當減弱，改進和推廣了相關結果，同時從極限、導數、積分、常微分等多個教學內容，對反函數的例題進行歸納，比較全面地概括了反函數在高等數學中的應用。

1 主要結果

引理1[4]設y=f(x),x∈D為嚴格增(減)函數，則f必有反函數f-1，且其f-1在其定義域上f(D)也上是嚴格增(減)函數。

引理2[4]若函數f在[a,b]上嚴格單調并連續，則反函數f-1在其定義域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上連續。

引理3[4]若f為[a,b]上的連續函數，則f在[a,b]上可積。

引理4[4]若f為[a,b]上的單調函數，則f在[a,b]上可積。

定理1設函數y=f(x)在[a,b]上嚴格單調并連續，若存在y0∈[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]，使得[f-1(y0)]′≠0，則：

定理2設函數y=f(x)在[a,b]上嚴格單調并連續，則：

證明根據題意及引理1，2可知，函數y=f(x)存在反函數x=f-1(y)，且x=f-1(y)在[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上連續，即x=f-1(y)在[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上存在原函數。

根據分部積分公式，可知：

定理3設函數y=f(x)在[a,b]上嚴格單調，則:

證明不妨設函數y=f(x)在[a,b]上嚴格單調遞增。此時f(x)的值域即反函數x=f-1(y)的定義域為[f(a),f(b)]，并且反函數x=f-1(y)在[f(a),f(b)]上也嚴格單調遞增。

根據題意及引理1，4可知，函數y=f(x)在[a,b]上可積，其反函數x=f-1(y)在[f(a),f(b)]上可積。

(1)

即：

(2)

此時，可在分割T上選取點集{ξi}={xi-1}，結合式(1)可知：

即有:

又由式(2)，得：

即:

3 應 用

無論是在極限、導數或是積分的教學中，都能看見反函數存在的縮影。下面著重以函數y=arcsinx為例，對高職數學中反函數的應用進行歸納。

例1已知y=arcsinx，求導數y′。

解設y=arcsinx，其反函數為x=siny。根據定理1，可知：

解設y=arcsinx，其反函數為x=siny，則當x=a時，y=arcsina；當x=b時，y=arcsinb。根據定理3，可知：

例4求微分方程y′=arcsinx。

[1]傅湧.反函數求定積分[J].大學數學，2009，6(3)：157-160.

[2]何曉娜.應用反函數求不定積分[J].高等函授學報(自然科學版)，2010，2(1)：40-41.

[3]沈晨，金貴榮.關于反函數求導定理的注記[J].高等數學研究，2007，9(5)：43-44.

[4]華東師范大學數學系.數學分析(上冊)[M].第3版.北京：高等教育出版社，2001.

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.08.057

O171.2

A

1673-1409(2012)08-N172-02

2012-04-23

王偉(1983-)，女，2005年大學畢業，碩士，講師，現主要從事高等數學教育方面的教學與研究工作。

[編輯] 洪云飛