十年考研數學之常微分方程試題分析

張少華

（遵義師范學院數學與計算科學學院，貴州遵義563002）

作者對近十年（2003～2012年）全國研究生入學考試數學一、數學二、數學三試題中的常微分方程試題[1]進行了分析，以期對教師教學[2]和學生復習迎考有所助益。

一、十年考研數學常微分方程試題總體情況分析

十年考題總個數為37個，總分值為247分。填空題及選擇題，每題4分。各類題目的個數和分值見表1，各類試題個數及分值比較，見圖1、圖2（數學一、數學二、數學三中相同的題目，算作一個題（下同）；解答題的分值為本大題分值，包括相關知識，沒有細分）。

表1 十年各類試題總體情況

圖1 各類試題個數柱型圖

圖2 各類試題總分值柱型圖

二、題型分析

題型1求一階線性微分方程的通解或特解（詳見表2）。共有13個題，涉及分值58分。

表2 十年一階線性方程試題情況

題型2求二階齊次或非齊次線性微分方程的通解或特解（詳見表3）。共有10個題，涉及分值74分。

表3 十年二階線性方程試題情況

題型3求三階齊次或非齊次線性微分方程的通解或特解。2010年，數學二，二（9），共1題，分值4分。

題型4已知二階線性齊次或非齊次微分方程的通解或特解，反求微分方程。2006年，數學二，二（10）。共1題，分值4分。

題型5二階可降階微分方程的求解。2007年，數學二，三（19）。共1題，分值10分。

題型6已知三階線性齊次或非齊次微分方程的通解或特解，反求微分方程。2008年，數學一，一（3）。共1題，分值4分。

題型7求歐拉方程的通解或特解。2004年，數學一，一（4）。共1題，分值4分。

題型8常微分方程的應用。由已知條件，建立微分方程，然后求解函數表達式或曲線方程（詳見表4）。共9個題，涉及分值89分。

表4 十年常微分方程應用題情況

三、對幾個典型考題的評析

典型題1（2003年數學三，第七題）

設F（x）=f（x）g（x），其中函數f（x），g（x）在（-∞，+∞）內滿足以下條件：f′（x）=g（x），g′（x）=f（x），且f（0）=0，f（x）+g（x）=2ex，（1）求 F（x）所滿足的一階微分方程；（2）求出 F（x）的表達式。

分析：F（x）所滿足的一階微分方程，必含有F′（x）。這就暗示先要求出F′（x）。因此應先對F（x）=f（x）g（x）求導，再利用f（x），g（x）滿足的條件進行轉化，即可得F（x）滿足的一階微分方程F′（x）+2F（x）=4e2x。

這是常系數的一階非齊線性微分方程，可用公式法、常數變易法、特征根法進行求解。注意初始條件。

此題沒有直接給出微分方程，須先通過對F（x）求導，利用所給條件進行恒等變形，從而推導出微分方程。此題比較新穎。然而，一旦得到微分方程，便有“山窮水復疑無路，柳暗花明又一村”之感，就能順利求解了。

典型題2（2010年數學二，三（17）題）設函數y=f（x）由參數方程

求函數 ψ（t）。

求解方程（3），方法一，是進行降階。令ψ′（t）=p，則可得

從而得解。

方法二，是直接將方程（3）化為

連續施行兩次積分，代入初值條件，即可得解。

方法三，是用二階微分方程的常數變易法來求解。方程（3）所對應的齊次方程為

連續兩次積分得

ψ（t）＝A（t＋1）2＋B，（A，B 為任意常數）

易知方程（4）有基本解組 1，（t＋1）2。

因此，將方程（3）化為

設ψ（t）＝C1（t）＋C2（t）（t＋1）2，代入方程（5），利用二階微分方程的常數變易法，可求出C1（t）、C2（t），從而可得ψ（t）的通解，代入初值條件，即可得解。

此題用參數求導法推出ψ（t）的二階微分方程后，有多種解法，考生可根據自己的情況靈活選擇。此題有一定的難度。對于選拔性考試來說，可以拉開考生的差距。因此，此題是一個較好的考研試題。

典型題3（2012年數學三，三（19）題）若函數f（x）滿足方程

分析：方法一，易知方程（6）是常系數二階齊線性微分方程，其特征方程為 λ2＋λ－2＝0，

因此，可求出方程（6）的通解

現在考慮方程（7），式（8）應滿足方程（7），將式（8）代入（7），比較系數，可求出C1，C2，從而可得f（x）的表達式f（x）＝ex。

方法二，易知方程（7）是常系數一階非齊線性微分方程，可解得其通解為

將（9）式代入（6）式，可求出C＝0，從而得到f（x）的表達式。

方法三，觀察方程（6）、（7）的特點，將方程（7）兩邊對x求導數得

用（10）式減去（6），立即可得f（x）的表達式。這種方法最佳，省時省力。

因而找到了問題2）的密鑰。利用此密鑰，將問題2）轉化，問題2）迎刃而解。

此題步步遞進，連環相扣，有多種途徑，設局甚佳。到了第一個目的地，就知道下一步怎么走。到了第二個目的地，就可遙望最終目標。這樣，在前進的道路上，一直使人信心滿滿，勇往直前，盼著摘取紅彤彤的碩果。此題是一個好的考研試題。

四、幾點建議

（1）考研試題中的常微分方程試題，多為基礎知識題。重點之一是求一階線性微分方程的通解或特解，涉及的有關題目有13個，分值約為58分，占十年常微分方程試題總分值的23．48%。重點之二是求二階齊次或非齊次線性微分方程的通解或特解，涉及的有關題目有10個，分值約為74分，占十年常微分方程試題總分值的30%。此二項分值之和為132分，占十年常微分方程試題總分值的53．44%。若再加上綜合題的分值，這個比例就更高了。因此，考生復習時，須牢固掌握基礎知識，特別是一階線性微分方程、二階線性微分方程。

（2）考研試題中的題型，大多為常見題型。因此，復習時，只要能夠打牢基礎，就能夠應對各種題型的變化。

（3）對于常微分方程的應用題，需要綜合應用相關知識，如物理的、幾何形體方面的、經濟方面的相關知識，才能求解試題。此外，就是一些數學知識與常微分方程的綜合應用。對于應用題這種題型，部分考生感覺有難度。因此，要針對有關知識點進行有目的的教學，再加以適當的練習或模擬考試，使學生掌握解決這類問題的方法，就能攻克這一難關。

（4）常微分方程有關理論知識，也是考生所考相關專業的基礎理論課。若能在本科學習階段打下堅實的基礎，對于將來學習或進行科研工作，都是大有幫助的。

[1]中國教育在線．全國碩士研究生入學統一考試歷年真題集錦——考研數學真題[M]．http：／zhenti．kaoyan．eol．cn／，2012－03－05．

[2]張少華，王思聰．《常微分方程》教學中探究式教學法初探[J]．遵義師范學院學報，2007，9（6）：72－74．