基于定權的多因子線性擬合方法研究

趙 言，花向紅，尹志永

（1．武漢大學 測繪學院，湖北 武漢430079；2．天津測繪院，天津300381；3．武漢大學 災害監測與防治研究中心，湖北 武漢430079）

基于定權的多因子線性擬合方法研究

趙 言1，2，花向紅1，3，尹志永2

（1．武漢大學 測繪學院，湖北 武漢430079；2．天津測繪院，天津300381；3．武漢大學 災害監測與防治研究中心，湖北 武漢430079）

通過綜合曲線擬合與多因子線性擬合的特點，提出基于定權的多因子線性擬合方法用于多因子變形監測數據處理，實現基于定權的多因子線性擬合模型的建模過程，并與多元線性回歸結果進行比對，同時對沉降變形監測的沉降量進行預測分析，驗證模型的可行性和實用性。

定權；多因子；線性擬合；變形監測；變形預報

隨著現代測量數據處理技術的不斷發展進步，適用于多因子變形監測數據處理的方法逐漸增多，如多元線性回歸、逐步回歸、GM（1，n）等模型。這些多因子數據處理方法各有其特點和適用性，多元線性回歸是利用所有因子等權重建模，但實際情況則是各個因子對監測變化量的影響程度不同，等權重對待不合理。本文通過多因子變形監測數據處理中權重分配方法的研究，提出基于定權的多因子線性擬合法，即通過單個因子變量建立監測值的曲線擬合模型，利用擬合值與實際監測值之間的差，確定每一個因子對監測變化量的影響程度。根據每個因子對監測變化量的影響程度和曲線擬合模型擬合值進行多因子線性擬合，利用后驗差方法檢驗基于定權的多因子線性擬合模型的精度，并將基于定權的多因子線性擬合模型引入變形監測中處理多因子沉降監測數據，通過對某城市整體下沉監測數據的處理，并與常規多元線性回歸結果進行比較分析，驗證其可行性與實用性。

1 基于定權的多因子線性擬合模型

基于定權的多因子擬合模型由兩部分組成，第一部分是利用每一個因子分別進行曲線擬合和確定每一個因子對監測變化量的影響程度；第二部分是利用第一部分求解得到的每個因子的擬合值和影響程度進行多因子線性擬合。

1．1 曲線擬合與確定因子的影響程度

在變形監測數據處理中，假設某地表沉降監測點變化量為y，y是隨變量因子x1，x2，x3，…，xk變化而變化的函數，分別針對每一個變量因子xi利用曲線擬合法建立相應的yi函數。假設y＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋amxm，令

1．2 多因子線性擬合

根據式（2）求得的每個因子對應的擬合值和式（7）求得的每個因子的影響程度，對監測變化量進行多因子線性擬合，擬合值為＾yi，如式（8）所示。

由式（8）計算得到的值即為基于定權的多因子線性擬合模型擬合值，根據建立的模型公式可以進行監測變化量的內插及預測。

在進行線性擬合過程中，如果某個因子或某些因子的權很小，以至于在擬合過程中可以忽略，那么可以考慮從擬合方程中刪除該因子，此外，如果某個因子的變化趨勢在過程中出現較多次突變，也可以考慮剔除該因子。在剔除時，把刪除因子的權按照剩余因子的權重比值加到其他因子的權上，如第i0個因子權值太小，需要刪除，Pi0的值分配如下：

根據式（9）求得的剩余各因子的權，那么刪除變量因子后的模型擬合預測方程變為

由式（10）計算得到的值即為刪除個別影響很小因子后的基于定權的多因子線性擬合值，可以根據該模型公式進行監測變化量的內插及預測。

2 基于定權的多因子線性擬合模型精度檢驗

對基于定權的多因子線性擬合模型精度（即模型擬合程度）評定的方法可以采用后驗差方法進行檢驗，后驗差檢驗是對殘差分布的統計特性進行檢驗，它由后驗差比值C和小誤差概率P共同描述。

假 設 原 始 觀 測 數 據 序 列 x（0）＝ ｛y（0）（1），y（0）（2），…，y（0）（n）｝，由基于定權的多因子線性擬合模型得xˉ（0）＝｛＾y（0）（1），＾y（0）（2），…，＾y（0）（n）｝，計算殘差

Δ（k）＝y（0）（k）－＾y（0）（k），k ＝1，2，3，…，n．

記原始數列x（0）及其殘差數列Δ的方差分別為S21、S22，則

可得，后驗差比值C＝S2／S1，小誤差概率P＝｛｜Δ（k）｜＜0．674 5 S1｝。

表1列出了根據C、P取值的模型精度等級。模型精度等級判別式為

模型精度等級＝max｛P所在的級別，C所在的級別｝。

表1 模型精度等級

3 實例分析

3．1 基于定權的多因子線性擬合模型與多元線性回歸模型精度比較

根據以上基于定權的多因子線性擬合模型建模原理，利用某城市41年的地表沉降數據和與之相關的3個因子（時間因子、地下水采用量與回灌累積差、降雨量與蒸發量累積差）的監測數據（見文獻［2］），取其中連續的25期（見表2，（前20期用于建模，后5期用于模型預測效果評價））進行建模分析。從表2中可以看出，地表沉降累積量逐漸增大，時間因子、地下水采用量與回灌累積差也是不斷增大的，而降雨量與蒸發量累積差在監測期間呈現升降變化，有時出現突變。因此，考慮連續性變化的要求，不選用第三個因子。對基于定權的多因子線性擬合模型經計算求得P1＝0．498 9，P2＝0．501 2，即線性擬合表達式可寫為式（11）中，y′ik為單因子曲線擬合值，＾yi為基于定權的多因子線性擬合模型擬合值。

為比較逐步回歸模型的擬合精度，同時對實驗數據做多元線性回歸建模分析，得到多元線性回歸擬合模型方程

利用式（11）和式（12）建立的模型方程，對用于建模的前20期數據進行擬合，具體結果如表2所示。（T為觀測時間，即時間因子，C1、C2分別對應其他2個變量因子（地下水采用量與回灌累積差和降雨量與蒸發量累積差），Δh為沉降監測值，Δh′為基于定權的多因子線性模型擬合值，Δh″為多元線性回歸模型擬合值）

對以上建立的基于定權的多因子線性擬合模型和多元線性回歸模型進行模型精度檢驗，驗證其與實際監測值擬合程度的效果。根據后驗差法［1］模型檢驗原理，分別計算S21、S′22和S″22。

表2 沉降監測值與2種擬合模型比較

根據后驗差法模型精度等級表［1］可知，基于定權的多因子線性擬合模型C′＜0．35且P′＞0．95，即模型等級為1級（好）；多元線性回歸模型，C″＜0．35且P″＞0．95，即模型等級為1級（好）。結果表明，處理監測變化量和因子變化量都呈線性變化的數據時，基于定權的多因子線性擬合模型精度要比多元線性回歸模型精度高或者二者精度相當。

因此，在處理呈線性連續變化的多因子監測數據時，除了選擇多元線性回歸外，可以考慮采用基于定權的多因子線性擬合模型。

從以上實驗數據檢驗可以看出，基于定權的多因子線性擬合模型是在曲線擬合模型的基礎上，分別就單一因子變量建立曲線擬合模型，然后再根據擬合模型差值求出各個因子對監測變化量的影響程度，進而確定各因子線性擬合方程的系數，實現對多因子監測數據的建模和擬合過程，在處理呈線性連續變化的多因子數據時表現出比多元線性回歸模型更高的精度?；诙嗟亩嘁蜃泳€性擬合模型與多元線性回歸模型擬合效果對比如圖1所示。

圖1 實際沉降監測值與基于定權的多因子線性擬合值及多元線性回歸擬合值比較

從圖1中可以看出，基于定權的多因子線性擬合模型擬合效果比多元線性回歸的擬合效果好一些，且同實際沉降變化線的擬合程度很高。

3．2 基于定權的多因子線性擬合模型預測分析

根據建立的基于定權的多因子沉降監測線性擬合模型，對未來5期沉降量進行預測，如表3（T為觀測周期，Δh為實際沉降監測值，Δh′為多基于定權的多因子線性擬合模型預測值）所示。

表3 基于定權的多因子線性擬合模型預測值

由表3可以看出，95年沉降預測值誤差為0．010 4 m，96年沉降預測值誤差為 0．025 7 m，97年沉降預測值誤差為0．003 53 m，模型預測值與實際測量沉降值相差較小，誤差率低，但是，隨著預測期數的增加誤差率逐漸增大，當誤差率增大到一定值（一般為10%）則建立的擬合模型不再適用于預測。因此，在實際預測分析中要控制預測的周期數（一般控制在3期內），進行短周期預報分析。

4 結束語

通過對曲線擬合與多因子線性擬合模型的研究，提出基于定權的多因子線性擬合模型，給出模型的建模原理，用后驗差方法檢驗其模型精度，并以分析處理沉降變形監測數據為例，利用沉降變化數據建立基于定權的多因子線性擬合模型，進行數據分析處理并與常規多元線性回歸模型擬合值相比較。結果表明，基于定權的多因子線性擬合模型具有較好的預測分析效果，可用于處理變形監測中與多個因子相關且呈線性連續變化的測量數據。

［1］黃聲享，尹暉，蔣征．變形監測數據處理［M］．武漢：武漢大學出版社，2010．

［2］陳正松．上海地區地面沉降的分析與預測［D］．武漢：武漢大學，2008：30－31．

［3］陶本藻，藍悅明．數字化曲線的最佳擬合［J］．工程勘察，2004（3）：46－47．

［4］葛朝霞，薛梅，宋穎玲．多因子逐步回歸周期分析在中長期水文預報中的應用［J］．河海大學學報：自然科學版，2009，37（3）：255－257．

［5］楊敏，盧俊義．上海地區深基坑周圍地面沉降特點及其預測［J］．同濟大學學報：自然科學版，2010，38（2）：194－198．

［6］丁克良，歐吉坤，趙春梅．正交最小二乘曲線擬合法［J］．測繪科學，2007，32（3）：18－21．

Study on the multiple factors linear fitting methods based on weights－making

ZHAO Yan1，2，HUA Xiang－hong1，3，YIN Zhi－yong2
（1．School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan 430079，China；2．Tianjin Institute of Surveying and Mapping，Tianjin 300381，China；3．Hazard Monitoring and Prevention Research Center，Wuhan University，Wuhan 430079，China）

By synthesizing the characteristics of curve fitting and multiple factors linear fitting，the multiple factors linear fitting model was presented to dispose the displacement monitoring data，realized the modeling process，and compared with the result of multivariate linear regression．Then by analysing the model of displacement monitoring data to verify the feasibility of the application of multiple factors linear fitting model to subsidence monitoring．

weights－making；multiple factors；linear fitting；deformation monitoring；deformation predicting

TU196

A

1006－7949（2012）04－0005－04

2011－07－09

國家自然科學基金資助項目（41074025）

趙 言（1988－），男，碩士研究生．

［責任編輯劉文霞］