一類二維差分方程中的混沌現(xiàn)象

戴華煒,程曉勝

(惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣東 惠州 516007)

0 引言

在某一些非線性差分方程中，存在著一種有趣的現(xiàn)象——混沌現(xiàn)象。第一個混沌模型是20世紀70年代初美國氣象學(xué)家Lorenz發(fā)現(xiàn)的，之后，混沌現(xiàn)象便引起了學(xué)者們的極大關(guān)注和研究興趣。雖然，混沌還沒有一個公認的普遍適用的定義，但一般地，將發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機的不規(guī)則運動稱為混沌[1]，混沌系統(tǒng)具有對初值的敏感性的特征。

差分方程在經(jīng)濟領(lǐng)域、動力系統(tǒng)和生態(tài)系統(tǒng)等多方面都有廣泛應(yīng)用[2]。二維差分方程起著從一維到高維的銜接作用，對二維差分方程的混沌研究有助于認識和預(yù)測更復(fù)雜的高維動力學(xué)系統(tǒng)的性態(tài)[3]。因而, 對二維差分方程中混沌現(xiàn)象的研究不論在理論上還是在實際應(yīng)用上都具有重要的意義。

本文將研究一個二維差分方程——宿主-寄生物模型，利用分岔圖、 Lyapunov 指數(shù)圖、時間序列圖和相圖分析該方程由周期運動到混沌運動的變化過程，研究該方程的混沌現(xiàn)象。

1 二維差分方程——宿主-寄生物模型

生態(tài)系統(tǒng)中對于單種群模型已有不少研究，而對種間相互作用的種群模型的研究主要集中在含有兩個變量的時間連續(xù)的相互作用的Lotka-Volterra種群模型，但Nicholson與Bailey認為Lotka-Volterra種群模型沒有考慮種內(nèi)競爭效應(yīng)，不適用于離散世代物種，于是建立了以宿主-寄生蜂系統(tǒng)為對象的Nicholson- Bailey模型。種群生態(tài)學(xué)家又改進Nicholson- Bailey模型，提出了各種離散世代的宿主-寄生物模型[4]。

本文所要研究的二維差分方程如下：

(1)

其中，Nt,Pt分別為宿主和寄生物在世代t的種群個體數(shù)；Nt+1,Pt+1分別為宿主和寄生物在世代t+1的種群個體數(shù)；r為宿主的內(nèi)稟增長率；a為寄生物的搜尋效率；K為環(huán)境容納量。

該二維差分方程為各種離散世代的宿主-寄生物模型中的一種，是生態(tài)學(xué)中一個重要的數(shù)學(xué)模型。它考慮了種群密度對種群規(guī)模增長的影響，且宿主與寄生物隨機相遇，搜尋效率與每個寄生者單位時間遇到的宿主成正比例關(guān)系。該方程形式較復(fù)雜，其動力學(xué)行為由參數(shù)r，K，a決定。

2 分岔圖

為了研究二維差分方程(1)中的混沌現(xiàn)象，可以利用分岔圖。方程的分岔圖就是以變化的參數(shù)為橫坐標(biāo)，方程迭代的極限為縱坐標(biāo)所作的圖。這樣得到的圖形能夠觀察出方程不動點、周期點隨參數(shù)的變化情況。我們選取r=3，K=1來觀察a的變化對系統(tǒng)動態(tài)的影響。使用MATLAB編程，初始點在[0,1]間隨意取值，為保證計算時方程的軌道已收斂到吸引子上，讓方程 (1) 迭代1000次，再繪制最后10個點，圖1是方程(1)以a為參數(shù)在區(qū)間[2，6]關(guān)于N，P的分岔圖。從圖1可以看出，圖像在a∈[2,3.22]時為一段曲線，則方程在a∈[2,3.22]時收斂，宿主與寄生物穩(wěn)定共存；方程在a=3.23時出現(xiàn)Hopf分支，在a∈[3.23,3.62]時做概周期運動；圖像在a∈[3.63,3.90]時突然變?yōu)樗亩吻€，即方程出現(xiàn)4周期運動；方程在a>3.91時，隨著a的增大，開始沒有規(guī)律性，方程逐漸進入混沌。

圖1 2≤a≤6范圍關(guān)于N，P的分岔圖

3 Lyapunov 指數(shù)

Lyapunov 指數(shù)是目前在表征混沌運動方面顯示出重大意義的統(tǒng)計特征量之一，它是用來度量相空間中兩條相鄰的軌跡隨時間變化按指數(shù)規(guī)律吸引或分離的程度，指數(shù)的正負可以表征系統(tǒng)運動的特征。正的Lyapunov指數(shù)對應(yīng)本征矢方向上的位移初始點,其發(fā)展出來的軌道會呈指數(shù)化分離趨勢；在負的Lyapunov指數(shù)對應(yīng)本征矢方向上,相空間軌道會相互吸引趨近。因此,在非線性動力系統(tǒng)的研究中經(jīng)常將正的Lyapunov指數(shù)作為混沌是否出現(xiàn)的一個判據(jù)。

對于離散系統(tǒng)，Rn空間上的差分方程

xn+1=f(xn)xn∈Rn

(2)

圖2 2≤a≤5范圍的Lyapunov指數(shù)圖

從圖2中可見，當(dāng)a>4.04時，Lyapunov 指數(shù)大于零，這說明方程進入混沌現(xiàn)象。圖2 驗證了該二維差分方程的Lyapunov 指數(shù)圖與分岔圖吻合，該方程隨參數(shù)a在區(qū)間[2，6]的變化表現(xiàn)出豐富的動力學(xué)行為。

4 時間序列圖和相圖

分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖從總體上反映了方程(1)從收斂到混沌的整個變化過程，而從方程的時間序列圖和相圖中，可以具體了解方程(1)從收斂到混沌的變化過程[7]。時間序列圖是以迭代次數(shù)為橫坐標(biāo)，方程每次迭代的值為縱坐標(biāo)所作的圖。相圖是分別以兩個變量為橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，作出方程迭代軌跡的圖。時間序列圖和相圖是研究混沌現(xiàn)象的一個有用的工具。圖3～5是參數(shù)a分別等于3，3.4，5時關(guān)于N的時間序列圖及相圖。

圖3 a=3時關(guān)于N的時間序列圖及相圖

圖4 a=3.4時關(guān)于N的時間序列圖及相圖

圖5a=5時關(guān)于N的時間序列圖及相圖

從圖3～5可看出，當(dāng)a=3時，方程振蕩地收斂于一個平衡點，說明宿主與寄生物穩(wěn)定共存。當(dāng)a=3.4時，方程出現(xiàn)極限環(huán)。當(dāng)a=5時，方程的時間序列圖與相圖都是一片混亂，沒有規(guī)律，這說明了方程處于混沌狀態(tài)。

5 混沌現(xiàn)象

根據(jù)以上分析，二維差分方程(1)在r=3，K=1，a>4.04時逐漸進入混沌。混沌是由確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的貌似隨機的現(xiàn)象。一般認為混沌現(xiàn)象有如下幾個特征[8]:

1)遍歷性。當(dāng)方程處于混沌狀態(tài)時，方程迭代的極限值是取遍整個區(qū)間的。從圖5可以看出當(dāng)a=5時，方程(1)的N值取遍了區(qū)間[0，2.5]，P值取遍了區(qū)間[0，0.9].

2)非周期運動性。當(dāng)方程處于混沌狀態(tài)時，方程的運動是非周期的。從圖3～4可以看出，當(dāng)方程不是處于混沌狀態(tài)時，它的運動是有周期性的，而從圖5看出，當(dāng)方程處于混沌狀態(tài)時，它的運動呈現(xiàn)一片混亂，沒有周期。

3)初值的敏感性。當(dāng)方程處于混沌狀態(tài)時，不管初值取值多么接近，最終迭代的結(jié)果卻會相差極大。

對初始條件的敏感性是混沌現(xiàn)象的一個典型特征，正是這一特征使得具有混沌現(xiàn)象的模型，明明是確定的系統(tǒng)，卻無法預(yù)知結(jié)果。

通過MATLAB編程，分別作出當(dāng)a=3，a=5時在初值取(0.5，0.5)與(0.50001，0.50001)時迭代200次后結(jié)果的誤差圖。圖6a，6b為所作的圖。

圖6aa=3時，初值分別取(0.5，0.5)與(0.50001，0.50001)時迭代200次結(jié)果的誤差圖 圖6ba=5時，初值分別取(0.5，0.5)與(0.50001，0.50001)時迭代200次結(jié)果的誤差圖

從圖6可以看出，當(dāng)a=3時，即方程收斂時，初值差距0.0001的迭代結(jié)果的差距也幾乎為0.當(dāng)a=5時，即方程處于混沌狀態(tài)時，初值差距0.0001的迭代結(jié)果的差距卻極大，有的甚至可以相差高達2.

混沌現(xiàn)象是非線性動力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象，它廣泛存在于現(xiàn)實生活和實際工程技術(shù)問題中。對混沌現(xiàn)象的研究是極其必要的，它有助于我們更加了解生活中看似無規(guī)律的現(xiàn)象。混沌現(xiàn)象表明我們無法對系統(tǒng)的長期行為進行預(yù)測，但是混沌現(xiàn)象中還是存在著規(guī)律的，因此可以利用混沌中的規(guī)律對系統(tǒng)進行短期的行為預(yù)測。

6 小結(jié)

本文研究了一個二維差分方程，且該方程為宿主-寄生物模型。通過MATLAB編程，先作出了該方程的分岔圖，找出參數(shù)在什么范圍時，方程出現(xiàn)收斂、周期和混沌。再結(jié)合 Lyapunov 指數(shù)圖從總體上分析了方程從收斂到混沌的整個變化過程，分析結(jié)果與分岔圖的分析結(jié)果吻合。接著利用時間序列圖和相圖，具體了解方程從收斂到混沌的過程。分析發(fā)現(xiàn)該方程隨著參數(shù)的變化表現(xiàn)出豐富的動力學(xué)行為，也研究了該方程的混沌現(xiàn)象，研究表明混沌現(xiàn)象具有遍歷性、非周期運動性、初值敏感性的特征。

參考文獻：

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