關于二次曲線切線的研討

黃振華

(湖北師范學院 數學與統計學院， 湖北 黃石 435002)

1 記號

為了方便起見，本文引進下面的一些常用記號[1]：

F(x,y)≡a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33

F1(x,y)≡a11x+a12y+a13

F2(x,y)≡a12x+a22y+a23

F3(x,y)≡a13x+a23y+a33

Φ(x,y)≡a11x2+2a12xy+a22y2

二次曲線的方程為

F(x,y)≡a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0

(1)

過M0(x0,y0) 點，且具方向X,Y的直線方程為

(2)

將直線(2) 代入二次曲線(1) 得方程:

Φ(X,Y)·t2+2[F1(x0,y0)·X+F2(x0,y0)·Y]t+F(x0,y0)=0

(3)

2 概念

定義1[1]如果直線與二次曲線相交于相互重合的兩個點，那么這條直線就叫做二次曲線的切線，這個重合的交點叫做切點；如果直線全部在二次曲線上，我們也稱它為二次曲線的切線，直線上的每一個點都可以看成是切點.

定義2[1]二次曲線(1) 上滿足條件F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0的點M0(x0,y0)叫做二次曲線的奇異點.即：二次曲線的奇異點就是二次曲線的中心在二次曲線上的點.二次曲線的非奇異點叫做二次曲線的正常點.

引理 二次曲線上若有奇異點，則此二次曲線必為退化二次曲線.

證明 對于奇異點M0(x0，y0) ，有

F(x0,y0) =F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0

因為

F(x0，y0)=x0F1(x0,y0)+y0F2(x0,y0)+F3(x0,y0)=0

所以有

F3(x0，y0)=0，

從而線性方程組

有解(x0,y0) .即齊次線性方程組

有非零解(x0，y0,1),所以I3=0.故二次曲線為退化二次曲線.

由定義及直線與二次曲線的相關位置的討論，二次曲線的切線是以下兩種情形：

情形1.Φ(X,Y)≠0 時，(3) 是關于t的一元二次方程，當

△=[F1(x0,y0)·X+F2(x0,y0)·Y]2-Φ(X,Y)·F(x0,y0)=0

時，直線(2) 與二次曲線(1) 相切；

情形2.Φ(X,Y)=0 時，F1(x0,y0)·X+F2(x0,y0)·Y=0，且F(x0,y0)=0 時，(3) 是恒等式，任何t值(實的或虛的)都滿足，直線(2) 全部在二次曲線(1) 上，成為二次曲線的組成部分，直線 (2)與二次曲線(1) 也相切.

3 二次曲線過一定點的切線

下面就點M0(x0,y0)及二次曲線(1)的特征對二次曲線的切線進行研討.

3.1 點M0(x0,y0)在二次曲線上

3.1.1 若M0(x0,y0) 為二次曲線(1) 的正常點，即F(x0,y0)=0,F1(x0,y0) 與F2(x0,y0) 不全為零時，由直線(2) 與二次曲線(1) 相切的條件F1(x0,y0)·X+F2(x0,y0)·Y=0 得：

X:Y=-F2(x0,y0):F1(x0,y0)

所以過M0(x0,y0) 點的切線方程為

3.1.2 若M0(x0,y0) 為二次曲線(1) 的奇異點，即F(x0,y0)=F1(x0，y0)=F2(x0,y0)=0,此時，任何直線的方向X:Y都滿足相切的條件F1(x0,y0)·X+F2(x0，y0)·Y=0,通過M0(x0,y0)點的任意直線都是二次曲線(1) 的切線.

定理1[1]如果M0(x0,y0)是二次曲線(1) 的正常點，那么通過M0(x0,y0)的切線方程是

是切點；如果M0(x0,y0)是二次曲線 (1)的奇異點，那么通過M0(x0,y0)點的每一條直線都是二次曲線(1)的切線.

3.2 點M0(x0,y0)不在二次曲線上

3.2.1 二次曲線(1)為非退化二次曲線時，二次曲線上沒有奇異點.因為M0(x0,y0)點不在二次曲線上，所以過M0(x0,y0)的切線也不在二次曲線上，故切線是上述情形1，由

[F1(x0,y0)·X+F2(x0,y0)·Y]2-Φ(X,Y)·F(x0,y0)=0

及Φ(X,Y)≠0所確定的X:Y為方向的直線:

即為二次曲線 (1)過M0(x0,y0)的切線.

或者，因為此時二次曲線上沒有奇異點，可設二次曲線上的正常點M1(x1,y1)為切點，則切線方程為[1]：

a11x1x+a12(x1y+y1x)+a22y1y+a13(x+x1)+a23(y+y1)+a33=0

(4)

又M0(x0,y0)點在切線上，所以

a11x1x0+a12(x1y0+y1x0)+a22y1y0+a13(x0+x1)+a23(y0+y1)+a33=0

且

由以上兩方程確定的M1(x1，y1)代入 (4)式便得所求的切線方程.

例1 求二次曲線x2-xy+y2-1=0 通過點(0,2) 的切線方程.

解法一 ∵F(0,2)=3≠0，∴(0,2) 不在二次曲線上，設過(0,2) 的直線為

由相切條件

△=[F1(x0,y0)·X+F2(x0,y0)·Y]2-Φ(X,Y)·F(x0,y0)=0

得:(-X+2Y)2-3(X2-XY+Y2)=0, 即2X2+XY-Y2=0，顯然滿足Φ(X,Y)≠0，所以X∶Y=-1∶1，或X∶Y=1∶2.故所求切線是x-(y-2)(-1)=0，即x+y-2=0或2x-(y-2)=0,即2x-y+2=0.

∴此曲線屬非退化的，設二次曲線上的正常點

M1(x1,y1) 為切點，則切線方程為:

(5)

3.2.2 二次曲線 (1)為退化二次曲線時，退化的中心二次曲線有唯一奇異點(即中心)；退化的線心二次曲線若有奇異點則有無窮多奇異點(它們在一條直線上)，即中心直線上的點都是奇異點.根據定理1和二次曲線的切線定義，過二次曲線外一點M0(x0,y0)的切線就是二次曲線上的奇異點與M0(x0,y0)點 的連線.所以，退化中心二次曲線有唯一一條切線，而有奇異點的退化線心二次曲線有無數條切線.沒有奇異點的退化二次曲線，過二次曲線外一點M0(x0,y0) 的切線不存在.

定理2 有奇異點的退化二次曲線，通過曲線外一點的切線，就是這點與二次曲線上的奇異點的連線；沒有奇異點的退化二次曲線，通過曲線外一點的切線不存在.

4 二次曲線平行于一定方向的切線

下面就方向X:Y及二次曲線(1) 的特征對二次曲線的切線進行研討.

4.1 對于非退化二次曲線

因非退化二次曲線上沒有奇異點，設二次曲線上一正常點M0(x0,y0) 為切點，則切線方程為

a11x0x+a12(x0y+y0x)+a22y0y+a13(x+x0)+a23(y+y0)+a33=0

即xF1(x0,y0)+yF2(x0,y0)+F3(x0,y0)=0.

其方向為-F2(x0,y0):F1(x0,y0) .

設切線平行于一定方向X∶Y，則 -F2(x0,y0):F1(x0,y0)=X∶Y，即得切線平行于一定方向X∶Y的條件為XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)=0 .

另一方面F(x0，y0)=0由此兩方程可確定切點M0(x0，y0)從而得平行于一定方向X∶Y的切線方程為:

例2 求曲線x2+4xy+3y2-5x-6y+3=0 平行于直線x+4y=0的切線方程.

此曲線屬非退化的，設二次曲線上一正常點M0(x0,y0)為切點

4.2 對于退化二次曲線

因退化二次曲線是由兩直線(實的或虛的)組成，且兩直線的方向都是漸近方向，根據二次曲線切線的兩種情形，有：

4.2.1 定方向X∶Y為非漸近方向時，若二次曲線(1) 存在奇異點M0(x0,y0)，則平行于一定方向X∶Y的切線方程為：

若二次曲線(1) 不存在奇異點，則平行于一定方向X∶Y的切線不存在，或也可以用4.1的方法解決.

4.2.2 定方向X∶Y是漸近方向時，則切線是組成二次曲線的直線.

例3 求退化二次曲線(x-y+1)(x-y-1)=0 平行于：

1) 非漸近方向X∶Y=1∶2 的切線方程;

2) 漸近方向X∶Y=1∶1的切線方程.

解 此退化二次曲線即

x2-2xy+y2-1=0

∴F1(x,y)=x-y，F2(x,y)=-x+y

且不存在奇異點，所以：

1) 平行于非漸近方向X∶Y=1∶2的切線不存在，或者設二次曲線上一正常點M0(x0,y0)為切點，由平行條件

x0-y0+2(-x0+y0)=0

聯立兩方程，無解.所以切線不存在.

2) 平行于漸近方向X∶Y=1∶1的切線就是組成二次曲線的兩直線x-y+1=0和x-y-1=0.或也可以用4.1的方法求得.

參考文獻：

[1]呂林根,許子道.解析幾何[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]呂林根.解析幾何學習輔導書[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3]劉耀武.關于二次曲線的切線及奇異點的探討[J].高等數學研究,2010,13(2):14～16.

[4]劉德金.關于二次曲線切線問題的兩點注記[J].高等數學研究,2012,15(2):5～7.