缺失數(shù)據(jù)p-范分布的極大似然估計(jì)

伍 麗，盧冬暉，李邦榮(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

文獻(xiàn)[1]根據(jù)偶然誤差的基本統(tǒng)計(jì)特性推導(dǎo)了偶然誤差的一般分布密度函數(shù)——p范分布.對(duì)于一元的情形，該分布由μ,σ和p三個(gè)參數(shù)確定。常用的退化分布、拉普拉斯分布、正態(tài)分布和均勻分布都是這一分布的特列(分別對(duì)應(yīng)于p→0,p=1,p=2和p→+∞).這些分布在生產(chǎn)實(shí)踐中有著大量的應(yīng)用，對(duì)于其優(yōu)良性質(zhì)都有大量研究.在缺失數(shù)據(jù)類型中有一種非常重要的形式，即為每次觀測(cè)時(shí)觀測(cè)值以一定的概率被觀測(cè)到，對(duì)于部分缺失數(shù)據(jù)指數(shù)分布、 poisson分布、幾何分布總體的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題在一些文獻(xiàn)中已經(jīng)進(jìn)行了較深入地討論[2～4].但對(duì)于p-范分布在缺失數(shù)據(jù)情況下的研究較少，本文利用具有部分缺失數(shù)據(jù)的總體統(tǒng)計(jì)推斷方法[5]，得到一元p-范分布的未知參數(shù)σ的極大似然估計(jì)，并證明了此參數(shù)極大似然估計(jì)具有強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性。

1 極大似然估計(jì)

定義1 均值為零(否則以ξ-Eξ代替ξ)的隨機(jī)變量ξ的密度函數(shù)為

下面在p已知的條件，用極大似然法估計(jì)未知參數(shù)σ，為此先介紹如下性質(zhì).

取對(duì)數(shù)得

對(duì)σ求偏導(dǎo)，并令之為0，得

有此得σp的極大似然估計(jì)為

從而由性質(zhì)1得

2 極大似然估計(jì)量的漸近性質(zhì)

為了證明以下結(jié)論，我們首先介紹3個(gè)引理．

證明 由強(qiáng)大數(shù)定律可知：

(1)

(2)

又有

由引理1有

證明 因?yàn)?/p>

則有

I1+I2

(3)

(4)

由(2)(4)或引理2知

I1→0a.s

(5)

由中心極限定理有

(6)

由(3)(5)(6)及引理2有

由引理3有

即

證畢.

注:本文僅對(duì)特殊的只含一個(gè)未知參數(shù)的一元p-范分布在缺失數(shù)據(jù)情況下，利用所觀測(cè)到的數(shù)據(jù)對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行了極大似然估計(jì)，并證明了它的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性。但對(duì)于一般情況還有待進(jìn)一步研究。

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