一類具有分布時滯的SIR傳染病模型的穩定性分析

王桂臻，李必文(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

0 引 言

數學模型在分析傳染病的傳播和控制方面已經成為重要的工具.近幾十年來,國際上傳染病動力學的研究進展十分迅速,大量的數學模型被用于分析各種各樣的傳染病問題,所涉及的因素也不斷增多,方程的形式越來越復雜,如引起廣泛關注的時滯微分方程模型.時滯在傳染病模型中是廣泛存在的，Betertta等在文獻中研究了一類具有時滯的SIR傳染病模型,他們得到了無病平衡點的全局穩定性和地方病平衡點的局部穩定性;如果時滯充分小,地方病平衡點還是全局穩定的.這是時滯模型的一個基本結果,即地方病平衡點對于小時滯是全局穩定的.2000年,Taketlchi、Ma和Betertta又研究了另一個時滯SIR模型,得到了類似的結果.2002年,Ma和Taketlchi研究了一類具有分布時滯的SIR傳染病模型,得到了只要地方病平衡點存在,模型就是持久的.

在[1]中，已經研究了下面的分布時滯模型

(1)

(2)

滿足初始條件S(0)≥0,I(0)≥0,R(0)≥0.

1 平衡點分析

令系統(2)的右端為零, 可給出系統(2)的平衡點:

2 全局漸近穩定性

由于系統(2)的前兩個方程不依賴于變量R，因此我們僅考慮前兩個方程的穩定性.

定理1 若R0>1 ，那么E*是全局漸近穩定的.

b=βm(S*)I*+μ1S*

(3)

(μ2+λ)I*=βm(S*)I*

(4)

(5)

下面我們來研究Lyapunov泛函的表現形式，定義如下

(6)

用(3)替代b，得到

(7)

用(4)代替(μ2+λ)I*，得

(8)

用定積分的分部積分法，我們有

(9)

(10)

結合式(7)，(8)，(10),可得

對上式進行變形，得到

參考文獻:

[1]Takeuchi Y,Ma W,Beretta E.Global asymptotic properties of a delay SIR epidemic model with finite incubation times[J]．Nonlinear Anal，2000,42:931～947.

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