一個常見不等式的推廣及其應用

黃華平，胡松林(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

眾所周知，不等式不僅在數學的其它學科，諸如高等代數、微分方程、概率論、數理統計、離散數學、運籌學、復變函數、實分析與泛函分析等方面有重要的應用，而且在普通物理學、量子力學、材料學、建筑學等其它學科也有廣泛的應用. 所以探討各種不等式的性質，想辦法把它應用到實際生活生產中顯得尤為必要. 本文首先將初等數學中一個常用的不等式進行了各種形式的推廣，然后給出了它的一些應用.

1 主要結果

初等數學中有這樣一個不等式：

此式當且僅當x=y時取等號. 這是一個非常重要的不等式，在中學數學或高等數學中會經常碰到. 下面給出上述不等式的幾種推廣形式.

定理1 設p≥1,x≥0,y≥0,則有不等式：

(1)

此式當且僅當x=y或p=1 時取等號.

證明 當x=y=0 時不等式顯然成立. 當x+y>0 時不等式(1)等價于

(2)

L(u,v,λ)=up+vp+λ(u+v-1)

所以

注意，上述證明過程首先考慮了將原不等式轉化二元函數的條件極值問題，然后充分利用了Lagrange乘數法，從而將問題迎刃而解. 此方法有一定的優越性，但是計算量比較大. 下面首先給出(1)式的幾種推廣形式，然后給出了詳細的證明過程. 證明中避開了利用Lagrange乘數法的解題思想，進而將問題大大簡化.

定理2 設0≤λ≤1,x≥0,y≥0,p≥1,則有

λxp+(1-λ)yp≥[λx+(1-λ)y]p

(3)

此式當且僅當x=y或p=1 時取等號.

證明 當x,y中至少有一個為 0時，結論顯然成立. 下設x>0,y>0, 將(3)式不等號兩端同除以xp可得

(4)

下證(4)式成立. 事實上，令

f(t)=λ+(1-λ)tp-[λ+(1-λ)t]p

則f′ (t)=p(1-λ)tp-1-p(1-λ)[λ+(1-λ)t]p-1=p(1-λ){tp-1-[λ+(1-λ)t]p-1}

下面分兩種情況討論.

1)當t≥1 時，t≥λ+(1-λ)t,從而tp-1≥[λ+(1-λ)t]p-1，進而f′(t)≥0, 導致f(t) 在[1,+∞)上單調遞增，于是f(t)≥f(1)=0，即得(4)式.

2)當t≤1 時，t≤λ+(1-λ)t,從而tp-1≤[λ+(1-λ)t]p-1，進而f′(t)≤0, 導致f(t)在 (0,1]上單調遞減，于是f(t)≥f(1)=0，即得(4)式.

推論1 設α,β≥0,α+β=1,x,y≥0,p≥1,則有

αxp+βyp≥(αx+βy)p

(5)

此式當且僅當x=y或p=1 時取等號.

(6)

此式當且僅當x1=x2=…=xn或p=1 時取等號.

證明 當n=1 時結論顯然成立. 當n=2 時，由推論1得到結論也成立. 下面先假設(6)式成立，要證

由(6)式和(5)式得到

(λ1x1+λ2x2+…+λn+1xn+1)p

最后由數學歸納法即得結論.

注1 顯然(6)式將(5)式進行了大大的推廣.

注2 上述各結論中，若p<0 ，其它條件不變，則不等號同樣成立；若0

定理4 設p≥1,x≥0,y≥0,則

xp+yp≤(x+y)p≤2p-1(xp+yp)

當且僅當p=1時上式都取等號.

證明 首先，直接由(1)式得出

(x+y)p≤2p-1(xp+yp)(x,y≥0)

故只需證

xp+yp≤(x+y)p(x,y≥0)

(7)

1+tp≤(1+t)p

(8)

推論2 設p≥1,0≤x≤1, 則

當且僅當p=1 時上式都取等號.

證明 由定理4得

由于 0≤x≤1， 上式取y=1-x即得結論. 或者這樣證：考慮f(x)=xp+(1-x)p在[0,1] 上的最大值和最小值即可.

定理5 設p≥1,xi≥0,i=1,2,… ，n,則

當且僅當p=1 時上式都取等號.

下證

(9)

事實上，當n=1 時顯然成立. 當n=2 時，即為(7)式. 下面假設(9)式成立，然后由(7)式和(9)式得到

于是由數學歸納法即得(9)式.

注 當0

其中x=(x1,x2,…,xn,…)∈lp,y=(y1,y2,…,yn,…)∈lq.

定理6 設x=(x1,x2,…,xn,…)∈lp,y=(y1,y2,…,yn)∈lq, 若規定

xy=x1y1+x2y2+…+xnyn+…

則

‖xy‖1≤‖x‖p‖y‖q≤‖x‖1‖y‖1

證明 ‖xy‖1≤‖x‖p‖y‖q即為引理1中的H?lder不等式. 下證

‖x‖p‖y‖q≤‖x‖1‖y‖1

(10)

由定理5得到

上式不等號兩邊分別讓n→∞ ,得到 ‖x‖p≤‖x‖1，同理可得‖x‖q≤‖y‖1.此兩式相乘即得(10)式.

2 應用

定義1[5]設X為一個非空集合，K≥1為一常數. 如果映射ρ:X×X→[0,+∞)對于?x,y,z∈X，滿足下述條件：

i)ρ(x,y)≥0,?x,y∈X,ρ(x,y)=0?x=y;

ii)ρ(x,y)=ρ(y,x);

iii)ρ(x,y)≤K[ρ(x,z)+ρ(z,y)].

則稱(X,ρ) 為度量型空間.

注 當K=1 時，度量型空間退化為度量空間，從而可以知道度量型空間是度量空間的大大推廣.

例1 設p≥1,X=K，K為實數域或復數域. 定義

則 (X,ρ)為度量型空間.

證明 定義1中的i)、ii)顯然成立. 下面只驗證iii). 如下：

?x,y,z∈X,由(1)式得到

從而

ρ(x,y)≤2p-1[ρ(x,z)+ρ(z,y)]

所以結論成立.

例2 設ai≥0,i=1,2,… ，9,證明

證明 注意到

于是由定理3即得結論.

參考文獻：

[1]朱來義.微積分(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社, 2009.

[2]陳慶華.高等數學(第一版)[M]. 北京：高等教育出版社, 1999.

[3]華東師范大學數學系.數學分析[M]. 北京：高等教育出版社, 2002.

[4]張恭慶，林源渠.泛函分析講義(上冊) (第一版) [M]. 北京：北京大學出版社, 1987.

[5]Khamsi M A, Hussain N. KKM mappings in metric type spaces[J]．Nonlinear Analysis，2010, 73: 3123～3129.