定積分在證明初等不等式中的應用

余盛利，程 艦(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

不等式在數學中占有重要地位。而證明不等式的方法多種多樣，數學上常用的解題方法基本上都可用來證明不等式，又由于不等式本身的完美性以及證明的困難性，使得不等式成為數學競賽和高考的重點內容之一。有些不等式，尤其是初等超越不等式，用初等數學中熟知的方法和技巧難以證明。本文利用定積分的概念、幾何意義及其性質證明初等不等式，方法巧妙、證明簡捷。下面就應用該方法證明不等式舉例。

證明 1)當x∈[a,a+1] 時，由于a>1,-1<λ< 0,因此，有xλ≤aλ(僅當x=a取等號),

2)當x∈[a-1,a]時，由于a>1,-1<λ<0, 因此，有aλ≤xλ(僅當x=a取等號),

由(1)，(2)知，原不等式成立。

在參考文獻[1]中，題3是用貝努利(Jac.Bernoulli)不等式證明的。

證明 當λ>0,x>0 時，函數f(x)=xλ是單調遞增的，于是有

由此不等式，得

即原不等式得證。

……

題7(2010年湖北省高考理科試卷第21題)

原不等式得證。

利用定積分在證明初等不等式時，可得到加強的不等式。

原證明用數學歸納法，當n=k+1 時，

參考文獻：

[1]余元希,田萬海,毛宏德.初等代數研究下冊[M].北京:高等教育出版社,1988.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M]. 北京:高等教育出版社,2001.

[3]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心. 高中數學,選修4-5 不等式選講[M]. 北京：人民教育出版社，2007.

[4]李盤喜，祝承亮，隋福林. 高中數學解題題典[M].長春：東北師范大學出版社，1998.