最小二乘法在Pt100參數(shù)修正中的應(yīng)用

周雪琴，熊朝暉，陳 衷

（中國(guó)工程物理研究院計(jì)量測(cè)試中心，四川 綿陽(yáng) 621900）

0 引言

工業(yè)鉑電阻溫度計(jì)穩(wěn)定性好、可靠性高，廣泛應(yīng)用于-200～850℃的溫度測(cè)量。我國(guó)2011年即將實(shí)施的工業(yè)鉑電阻檢定規(guī)程[1]中工業(yè)鉑電阻的電阻-溫度特性函數(shù)為

式中：Rt、R0——工業(yè)鉑電阻分別在t、0℃時(shí)的電阻值，Ω；

A=3.9083×10-3℃-1；

B=-5.7750×10-7℃-2；

C=-4.1830×10-12℃-4；

常數(shù)A、B、C——工業(yè)鉑電阻的特征參數(shù)（CVD系數(shù)）。

新、舊規(guī)程中，工業(yè)鉑電阻的檢定都是在0℃和100℃展開(kāi)的。采用對(duì)比法[2]，根據(jù)溫度系數(shù)α和鉑電阻在以上2個(gè)溫度時(shí)的阻值與固定系數(shù)CVD方程之間的偏差判斷其合格等級(jí)。因采用固定系數(shù)的CVD方程以及溫度校準(zhǔn)點(diǎn)較少，降低了合格鉑電阻的測(cè)量準(zhǔn)確度。在實(shí)際應(yīng)用中，可先在實(shí)驗(yàn)室用二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻校準(zhǔn)單只工業(yè)鉑電阻的電阻-溫度特征參數(shù)，用校準(zhǔn)得到的特征方程修正CVD方程[3-5]，提高鉑電阻的測(cè)溫準(zhǔn)確度。

1 數(shù)學(xué)模型

采用四次多項(xiàng)式工業(yè)鉑電阻的電阻-溫度特征函數(shù)關(guān)系：

式中：w=[α0α1α2α3α4]T——工業(yè)鉑電阻的待估特征參數(shù)；

xn=[1 tntn2tn3tn4]——第n次二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻所測(cè)溫度值；

Rtn——工業(yè)鉑電阻第n次實(shí)際測(cè)量電阻值；

δn——n次的測(cè)量誤差。

一共有N（N≥5）個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)，將N次測(cè)量結(jié)果改寫(xiě)為矢量形式：

采用最小二乘算法計(jì)算工業(yè)鉑電阻特征參數(shù)[6-8]，選擇目標(biāo)函數(shù)[9]：

則wLS滿足方程：

該方程也稱(chēng)為正則方程。

當(dāng)系數(shù)矩陣XN受到很小的擾動(dòng)ΔX時(shí)，若引起解向量w很大的變化，則稱(chēng)系數(shù)矩陣XN是病態(tài)矩陣[10]。條件數(shù)就反映了擾動(dòng)ΔX經(jīng)系數(shù)矩陣的傳播之后擴(kuò)大為解向量的誤差程度，是衡量線性方程數(shù)值穩(wěn)定性的一個(gè)重要指標(biāo)。式（6）中系數(shù)矩陣XNTXN的條件數(shù)為

2 特征參數(shù)求解

奇異值分解定理[11]：總存在2個(gè)酉矩陣V和U使得XN可以分解為

其中，σ1，σ2，…，σw是數(shù)據(jù)矩陣 XN的奇異值，σ1≥σ2≥…≥σw≥0，w≤N。將式（8）帶入正則方程，可以得到：

則特征參數(shù)的LS解為

求得的特征參數(shù)是以總體誤差平方和最小為原則，在評(píng)價(jià)修正特征參數(shù)對(duì)溫度測(cè)量誤差的結(jié)果時(shí)也應(yīng)該遵循這個(gè)準(zhǔn)則。

3 實(shí)驗(yàn)方法及結(jié)果分析

校準(zhǔn)系統(tǒng)裝置由1臺(tái)控溫范圍-100～300℃的恒溫槽、二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計(jì)、測(cè)溫電橋組成。隨機(jī)選取3只工業(yè)鉑電阻溫度計(jì)作為校準(zhǔn)對(duì)象。

在使用溫度范圍內(nèi)選取13個(gè)溫度校準(zhǔn)點(diǎn)Tv，從中選取5、6、7個(gè)溫度Tm并測(cè)出對(duì)應(yīng)的電阻值Rm，計(jì)算工業(yè)鉑電阻溫度計(jì)特征參數(shù) w=[α0α1α2α3α4]。并利用校準(zhǔn)溫度點(diǎn)Tv和對(duì)應(yīng)的電阻值Rv評(píng)價(jià)特征參數(shù)對(duì)測(cè)量準(zhǔn)確性的影響。

Tv=[-70，-50，-20，0，50，75，100，125，150，175，200，225，250]

T5=[-70，0，100，150，200]

T6=[-70，0，100，150，200，250]

T7=[-70，-20，0，100，150，200，250]

圖1是3只工業(yè)鉑電阻在13個(gè)溫度校準(zhǔn)點(diǎn)，采用CVD方程和不同校準(zhǔn)溫度點(diǎn)得到的特征方程估計(jì)的溫度值與二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻實(shí)際測(cè)量溫度值之間的誤差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，隨著校準(zhǔn)溫度點(diǎn)數(shù)的增加，用計(jì)算得到的特征參數(shù)估計(jì)溫度值，就越能反映測(cè)量的真實(shí)溫度。實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，只要在使用溫度范圍內(nèi)均勻選取6個(gè)溫度點(diǎn)校準(zhǔn)工業(yè)鉑電阻的特征參數(shù)方程，其溫度測(cè)量誤差可以控制在±0.1℃以?xún)?nèi)。

工業(yè)鉑電阻特征參數(shù)修正對(duì)溫度測(cè)量誤差的影響與校準(zhǔn)特征參數(shù)的溫度點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，它們之間的關(guān)系定義為特征參數(shù)修正影響因子。首先給出特征參數(shù)修正影響因子的定義：

式中：s——校準(zhǔn)溫度點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

m——驗(yàn)證溫度點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

圖1 3只工業(yè)鉑電阻在驗(yàn)證點(diǎn)的測(cè)量誤差

tjcvd（s）——CVD方程計(jì)算的溫度值；

從式（11）中可以看出，特征參數(shù)修正影響因子直接說(shuō)明了用SVD方法計(jì)算得到的特征參數(shù)修正CVD特征方程的效果。當(dāng)λ（s）的值小于1時(shí)，特征參數(shù)修正后總體的測(cè)量誤差在數(shù)值上比CVD特征方程的小；λ（s）數(shù)值上越小，修正特征參數(shù)的效果越明顯。表格1是溫度校準(zhǔn)點(diǎn)個(gè)數(shù)不同時(shí)得到特征參數(shù)修正影響因子的值。從表1中可以看出，λ（s）的值均小于1，說(shuō)明通過(guò)對(duì)特征參數(shù)的修正，有效地減小了CVD特征參數(shù)引入的系統(tǒng)誤差。

表1 特征參數(shù)修正影響因子

4 結(jié)束語(yǔ)

采用SVD計(jì)算Pt100工業(yè)鉑電阻的特征參數(shù)，分析不同校準(zhǔn)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)對(duì)校準(zhǔn)結(jié)果的影響。試驗(yàn)結(jié)果表明，用6個(gè)以上校準(zhǔn)溫度點(diǎn)計(jì)算得到的特征參數(shù)代替CVD參數(shù)擬合Pt100工業(yè)鉑電阻在-70～250℃范圍內(nèi)的特征曲線，有效地減小了統(tǒng)一分度公式引入工業(yè)鉑電阻的系統(tǒng)誤差，提高了工業(yè)鉑電阻的測(cè)量準(zhǔn)確度。修正特征參數(shù)方法是在原有測(cè)溫系統(tǒng)的基礎(chǔ)上運(yùn)用軟件方法提高Pt100工業(yè)鉑電阻的測(cè)溫準(zhǔn)確度，其方法簡(jiǎn)單可行。并且只需將擬合方程作相應(yīng)的修改，就可以運(yùn)用到其他溫度傳感器系統(tǒng)誤差的修正，如銅熱電阻、熱敏電阻、熱電偶等。

[1]JJG 229—2010工業(yè)鉑、銅熱電阻檢定規(guī)程[S].北京：中國(guó)計(jì)量出版社，2010.

[2]國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局計(jì)量司.溫度計(jì)量[M].北京：中國(guó)計(jì)量出版社，2007：256-260.

[3]朱育紅.工業(yè)鉑電阻精確測(cè)溫方法[J].中國(guó)測(cè)試技術(shù)，2007，33（4）：50-52.

[4]葛恒建，高國(guó)君，薛洪升，等.提高工業(yè)鉑、銅熱電阻和熱電偶測(cè)溫準(zhǔn)確度的方法[J].計(jì)量技術(shù)，2003（9）：28-30.

[5]熊朝暉.利用ACCESS提高工業(yè)鉑電阻溫度計(jì)測(cè)量準(zhǔn)確度[C]∥第二屆全國(guó)信息與電子工程學(xué)術(shù)交流會(huì)暨第十三屆四川省電子學(xué)會(huì)曙光分會(huì)學(xué)術(shù)年會(huì)論文集，2006：537-543.

[6]仲崇權(quán)，陳育斌，邵軍哲.一種鉑熱電阻測(cè)溫電路參數(shù)的計(jì)算方法[J].大連理工學(xué)報(bào)，1995，35（5）：727-731.

[7]王俊杰，張偉.最小二乘法在鉑電阻測(cè)溫中的應(yīng)用[J].儀表技術(shù)與傳感器，1999（5）：35-36.

[8]趙新宇，何怡剛.車(chē)用鉑電阻溫度傳感器非線性校正[J].計(jì)量與測(cè)試技術(shù)，2005，32（5）：9-10.

[9]張旭東.離散隨機(jī)信號(hào)處理[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

[10]張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004：357-364.

[11]Kincaid D，Cheney W.數(shù)值分析[M].王國(guó)榮，愈耀明，徐兆亮，譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005：227-228，234-236.