基于正則化方法的不確定參數反演

宋碧宏，鄧潮鈴，朱蔚蔚，袁 菊，韓 聰

（1.西北核技術研究所，西安 710024；2.重慶大學 土木工程學院，重慶 400045）

結構損傷識別的基本問題是如何從給定的結構力學特性測量中，確定結構損傷的出現、位置和程度，屬力學反問題研究范疇。由于實際工程中測量信息的不充分和不準確，使得反問題的解往往是不適定的，也即是解不同時滿足下列3個條件：1）解的存在性；2）解的唯一性；3）解的收斂性。在工程實際中反問題的求解都是根據實際問題建立優化目標函數，求反問題的優化解，從而反問題的求解問題可歸結為非線性泛函的極值問題。由于結構損傷識別問題的非線性和解的不適定性，使得結構損傷識別問題的求解變得極為困難，因此，研究高效實用的反演方法顯得十分重要和必要。

筆者采用正則化迭代反演方法，通過結構的固有頻率和振型聯立進行結構的損傷識別，并用算例驗證該方法的可行性。

1 正則化方法簡介

正則化方法是一種行之有效且廣泛使用的用于求解病態反問題（不適定性反問題）的穩定近似解的數值方法。反問題的不適定性特性將對整個數值求解產生本質的影響，可以把不適定性問題的數值逼近看成是其擾動數據的解（包括算子擾動和輸入數據擾動），因此直接將方程近似求解的標準方法用于不適定性方程時將產生無意義的數值結果。問題病態性的程度可由映射算子的條件數大小來判定，條件數越大則問題的病態性越嚴重。正則化方法是為處理不適定性反問題而提出的。

所謂正則化（regularization），就是通過對不適定的原問題進行適當的調整，使之變成與原問題相臨近的適定問題，從而用該適定問題的穩定解去逼近原問題的不穩定解。

2 鎮定泛函（穩定泛函）的構造

線性或非線性參數系統的識別方程可以統一描述為：

F：｛θ｝→｛P｝是Hilbert空間的有界算子。當算子為病態時，可采用Tikhonov正則化方法來構造該問題的有效算法，即將式（1）化為如下的泛函（展平泛函）極小問題：

其中 Ω（｛θ｝）是定義在空間｛θ｝上的鎮定（穩定）泛函。Ω｛θ｝與某些先驗知識，或是先驗解有關。表示歐氏2－范數；λ＞0為正則化參數，決定了殘差范數和鎮定泛函范數之間的一種協調關系。

在沒有任何先驗知識的情況下，對于有限維離散的參數識別問題，鎮定（穩定）泛函通常可選擇為：

其中，[L]是正則化穩定矩陣，其選擇主要考慮算子的條件數和奇異值分布，[L]的不同取法會影響到近似解的精度和穩定性。

在結構系統識別中，結構參數的取值分布往往有一些先驗的知識，將這些先驗知識構成的參數約束條件取為Tikhonov鎮定泛函，從而可以將不適定問題轉化為所謂的條件適定問題求解。常用的參數約束條件是給定參數的取值范圍，認為參數｛θ｝在某一預估值｛θ0｝（如參數設計值）附近波動，即：

在結構系統識別中，另一個常用的參數約束條件是某些參數的取值接近相等，如可以認為同一構件中各單元的物理參數或同一類型構件的物理參數接近相等。即有：

綜合式（4）、（5），參數約束方程可合寫為：

考慮約束條件（6）的參數識別問題（1）可化為如下優化問題求解：

按照Lagrange乘子法，該優化問題等效于正則化問題：

其中[L]／｛θ0｝＝｛d｝。

針對病態不適定問題，Hoerl和Kennard提出了用嶺估計的方法來克服矩陣的病態性。它是一種在均方誤差意義下優于最小二乘法估計的有偏估計方法。結合式（1）并且對式（2）求導，得到嶺估計的解為：

其中｛θ｝為嶺估計解；λ為嶺參數；I為單位矩陣，Q為權重矩陣；表示歐氏2－范數。

3 Landweber迭代法

數學物理中的反問題往往是不適定的，而不適定問題的求解所面臨的本質困難是解的不穩定性，若不通過特殊的方法求解就不會得到合理的結果。Landweber迭代法對于求解大規模問題是十分有利的，而且比較穩定。目前，Landweber迭代法已進一步發展于求解非線性的不適定問題。

Landweber迭代法基于嶺估計，其迭代格式為：

4 算例

4.1 平面26桿桁架結構模型

如圖1所示的平面26桿桁架結構，桿的截面面積為10－4m2，彈性模量和密度均未知。

圖1 平面26桿桁架結構

4.2 區間參數反演

已知前5階特征值的上下限見表1。

表1 平面26桿桁架前5階特征值的上下限（×106）

分別對特征值的上下限采用正則化方法，通過L曲線（圖2、圖3）獲得嶺參數，經過Landweber迭代法，迭代次數為6次。從而得到結構各個桿件的彈模上下限如表2所示。

圖2 彈模密度上限L曲線

圖3 彈模密度下限L曲線

表2 平面26桿桁架各桿件彈模的上下限

在計算過程中，由于彈性模量和質量密度的數量級不同，并且相差較大，故在計算處理過程中，將彈性模量和質量密度統一到較小的數量級上來，這樣會在一定程度上降低反問題的不適定性和病態性，從而使反演解達到穩定且收斂。

從計算反演結果來看，特征值的上限反演得到彈性模量的上限，特征值的下限反演得到彈性模量的下限，除此之外，還能看出反演的結果完全與真實解符合，這說明反演很成功，理論得到證明。

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