《九章算術》中的運動學題例剖析*

李伯川，化存才，趙奎奇

(1.云南農業大學思想政治理論教研部，云南昆明650201;2.云南師范大學數學學院，云南昆明650092)

《九章算術》成書于公元1世紀(西漢至東漢年間)，為漢代張蒼等輯撰，是中國古代以至東方的第一部自成體系的綜合性數學著作，它匯總了中國先秦至漢代的數學成就，是中國數學體系確立與數學特點形成的核心標志，代表了當時東方應用數學的最高成就。全書共收有246個數學問題，分為九章。分別為“方田”、“粟米”、“衰分”、“少廣”、“商功”、“均輸”、“盈不足”、“方程”和“勾股”。對《九章算術》在數學方面的貢獻和歷史地位，已有很多研究者作過充分的研究和判斷，在此不再贅述。我國當代數學史家嚴敦杰先生的評價是“若把‘原本’比‘算術’，此中翹楚是《九章》”，這一評價是恰當的。

本文主要是針對《九章算術》均輸章和勻不足章所涉及的運動學題例進行剖析，結合劉輝注釋分析其解法，分析揭示理性思維及其在數學思維中的缺陷。

一、《九章算術》中所包含的運動學題例概況

《九章算術》采用例題的形式講解數學，這些例題來源于人們的日常生活，其中的一部分就包含了今天我們稱之為“運動學”的題例?！毒耪滤阈g》中的“均輸章”有7例，“勻不足”章有4例，按今天的運動學分類來說，它們包含了勻速 、變速、單體和雙體、同向和相向運動問題，具體情況表1所示。

表1《九章算術》運動學題例分類

通過表1可以明確地看出，在均輸章中只能解運動問題，且僅是勻速運動問題，其所求解的問題單一;而在盈不足章中主要求解變速運動問題，同時它也可以解勻速運動問題，可以求解2個問題，其中最多也就是兩個問題。同時，在兩章中只有均輸章有1題是關于求解速度問題(日行幾何?)，它反映出了當時人們對于運動類問題所主要關注的是路程(s)和時間(t)。

二、題例解法的比較分析

(一)“均輸”章運動問題解法

均輸，字義為分攤并運輸，在此是用復雜的配分比。本章的7個運動方面問題都是直線往返運動，不考慮曲線運動。其算法都是根據題意將算式直接寫出，沒有今天的推導過程，在全書中亦沒有清晰地交待關于運動的基本概念:路程、速度、時間。從例題中看，對于“路程=速度x時間”關系是明白的，而且可以做變換。對比今天的運動學分析，它沒有給出運動模型。下面以表2中所示第14例題為例進行剖析。

從表2可以看出，題例直接給出答案和算法，算式是算法的數學表達。而就如何得出這個算式(算法)的邏輯推導環節則沒有，也沒有預先的交代，這種演算過程被“神秘化”了。其實，它的解答過程是靠人的直覺完成的?！熬敗闭碌?個題例有7種算法，實為7種樣式，它們就是把這種直覺模式化，后人只需“依葫蘆畫瓢”就行了。均輸章中的題例都是勻速運動，在運動類型中是比較簡單的類型，這說明僅依靠直覺來解題是有限度的。

表2“均輸”章運動問題解法舉例［1］

(二)“盈不足”章運動問題解法

在“盈不足”章中給出了勻不足解法的基本原則。盈不足的算法是:“列出所出率，盈，不足之數各在其下方。令盈，不足數與所出率交叉相乘，所得數相加作被除數。將盈，不足之數相加作除數。除數除以被除數得一結果。若有分數，要通分。盈，不足若與”同買物”相關，列出所出率，以少減多，用所得余數去約除數，被除數。被除數約后為物價，除數約后為人數。另一種算法是:將盈，不足相加作被除數。用所出之率以少減多，余數為除數。以除數去除被除數得結果人數。用所出之率乘結果人數，減盈數或加不足數，即得物價。”［1］

在勻不足章中例10為勻速問題，從物理學的角度看，應該將例10歸入均輸章。由于題型設計原因，在此卻是以數學的原則歸入“盈不足”章。其余三例為變速問題:也是一種勻變速，但是并非今天物理學中的勻變速運動。例19與現代運動學中的勻變速運動一致，只是沒有使用勻加速度概念。例11和例12按今天的運動學理論為非勻變速運動，然而，其速度變化仍是有規則的，是按指數形勢變化①沒有瞬時速度概念，速度變化在此是突變的，而在同一天中速度又是不變的，反映出把變轉換成不變的一種技術思維和技巧。。通過這三個題例，說明即便不用現代加速度概念也可以解決變速運動的某些問題，且其處理的運動類型超出了今天物理學處理的勻變速運動范圍。當然，這種對變速運動的處理是“粗糙的”。

表3“盈不足”章運動問題算法舉例［1］

在這里，盈不足法是這類題例的邏輯起點，通過盈不足法先算出兩鼠相遇的時刻，往往不是一個整數，由于題例一般設計的數值不大，后面可以用列舉法算出最終結果。在《九章算數》中古人往往只給出了盈不足算法，后面的計算被省略了。在總體上，盈不足法給出了通用公式，邏輯上更順暢，也更容易理解，它使一個更為復雜的問題變得更“簡單”了。由于有了“盈不足法”的邏輯起點，使這類題例的計算“似乎”更有邏輯性，也更容易把握。

“盈不足”術給出的經驗公式在計算上較為簡便，比較今天物理學分析過程計算，它也有優勢?？紤]到“盈不足”術不僅僅運用在運動學中，其它題例也用此法。在此，我們認為，它更多的是一種數學的計算技巧，而不是一種物理的必然。這樣就不難理解，此法在解決變速運動問題時表現出來的局限性，它要求一定要給出運動速度，都是兩體問題，能夠預先計算出盈和不足，即:先要有一個猜測(即假設)，其題例必然有一定限制。同時說明，沒有必要去探討這種算法的物理意義。

這里值得指出的是，“盈不足”術對變速運動的處理，在當時并沒有運動學的理論，它所遵循的是中國傳統數學的原理，卻也得到與今天物理學理論幾乎一致的結果，這是一個巨大的進步。在西方，直到伽利略時期，才對變速運動給出正確的解法。

總體上說，無論是均輸章，還是盈不足章，其對運動學題例的解法都與我們今天的運動學方法不同。二者的解法都是建立在直覺的基礎上的，并沒有區分運動的類型，其“均輸”與“盈不足”的劃分本身就是以其算法差異所做的劃分，而非“運動”這種自然現象的劃分。

三、結論與評議

(一)沒有建立一套關于運動學的概念框架體系

科學的理性思維需要相應的一組概念框架來進行表達。“如果沒有適當的概念框架，科學研究要么是盲目的，要么是毫無成效的”，“好的概念框架是所有科學之基本的漸增要素”。［2］在《九章算術》中，雖然存在著數學的“算”的邏輯和相關的概念，但是，對運動學的距離、速度、時間都沒有清晰的說明，運動問題就是數學(實為算數)的一個題例，它并沒有對其進行專項的、分門別類的研究，也沒有構建出專有的概念，其使用的基本上是“自然概念”。這種自然概念來源于經驗常識，符合人們的直覺，沒有嚴格的定義，且自然概念是零碎的、相互之間沒有內在的邏輯聯系，即沒有組建成一個邏輯完整的概念體系。這在整個中國傳統科學思想上是一個常態，而非數學或運動學所獨有。

造成這一現實的原因在于:中國文化傳統中哲學思辨的缺失，這種缺失形成了對問題的遮蔽。如我國古人在(漢)《尚書緯考靈矅》中早就有了這樣的認識:“地恒動不止，而人不知。譬如人在大舟中，閉牖而坐，舟行而人不覺也”，［3］他與伽利略在《兩大世界體系的對話》中關于運動相對性的闡述是幾乎一致的，且時間更早;然而，時至今日，人們卻只能把發現運動的“相對性原理”的榮耀歸之于伽利略。今天的人們對此略知一二的也是微乎其微。

可以看出，在《九章算術》成書年代以及后來相當長時期內，我國都沒有把運動現象當作一個明確的研究對象，沒有對其進行科學分類、沒有構筑統一相關的理論體系、沒有提出特定的理論概念(使用停留于自然的或常識的概念)，即:沒有構建出關于運動學的概念框架體系。而那些大量的、零散的、片段的認識不足以構建一個完整的理論體系 ，還完全停留在經驗常識的基礎上。

自然概念是以經驗常識為基準的，而科學概念則是以理論為基準的?？茖W家的任務就是要把豐富生動的“感性世界轉化為干巴巴的術語和公式，后者構成科學產品?！保?］自然概念是科學思維最初的也是最原始的出發點，而其能發展到最后處就是科學概念。科學的功勞在于:它對自然概念的超越，只有在理性思維從自然概念發展為科學概念時候，科學的理性思維才具有內在的自我發展的邏輯力量，并最終發展出科學理論來。停留于自然概念的，還不能稱之為科學理論。

(二)重視結果而不重視得到結果的邏輯過程，使數學思維未能很好地展開，也約束了理性思維的發展

《九章算術》的完成標志著中國數學體系的形成，其以“算”為中心的特色，邏輯結構和邏輯構造與西方“概念論證”邏輯體系有較大的差別。而劉徽注《九章》，使《九章算術》數學體系有了嚴密的理論依據?！皠⒒瞻崖实母拍詈屠碚撟鳛闃嫿ā毒耪隆防碚擉w系的邏輯起點，各章諸術的注文，其理論闡述都是奠定在這個理論基礎之上。”［5］劉徽提出率的三種等量變化:“乘以散之、約以聚之，齊同以通之?！保?］可見，“率”的概念和理論是《九章》乃至中國算學構造數學理論體系的邏輯起點，這是一種“算”的邏輯。雖然這種邏輯也有其上升和遞進的邏輯軌道，但是，劉徽與西方數學以“論證為中心”的邏輯演進軌道不一致。

論證或證明是對邏輯概念的操作過程，證明的前提是對概念的清晰定義以及概念之間邏輯關系、邏輯規則的約定。而在中國，“算”的理念中這類邏輯是不必要的。沒有對概念的清晰定義，沒有概念框架體系，這種概念操作就不可能存在。概念框架的缺失與中國算學沒有“證明”的追求形成了一種“惡循環”。正因為如此，在中國最早才稱“數學”為“算學”或“算術”。因此，在最需要邏輯的數學領域，數(算)學的邏輯就缺失了。這也說明，在中國傳統的數學思維中沒有對概念邏輯進行操作的習慣，而這個缺失，也延伸到了對計算方法的解釋。

這種邏輯的缺失也具體地反映到《九章算術》中的“均輸”章和“勻不足”章的運動學題例。對運動題例計算的邏輯過程不夠明晰，依賴于直覺，未能揭示出計算的“理由”，有的只是一種技術性的計算“技巧”。由于只重視結果，故長期以來，國人從沒有去追尋如此計算的理由，在其中更是有意和無意地將這種技巧“神秘化”。沒有清晰的邏輯過程，結果的得出就變得很神秘，是不利于學科的發展的。給出計算的算法，而沒有給出要如此計算的理由，需要學習者自己領悟內在的機理。而這個方法并不是運動學某種特定的計算方法。結果，這種計算的技術就不能明述，全靠領悟。

另外，只重視結果導致對其運動過程不關注，沒有把這些運動過程具體的、形象的展示出來，對過程的不清楚和不追尋，也阻礙了對運動問題的認知，沒有把運動的問題作為一個獨立的對象進行歸納、總結。這樣，對運動學討論停留在粗糙的一般(直觀感性)認識中，沒有進一步提升。

這種只要結果不要過程的計算模式，也直觀地反映在我國偉大計算工具發明方面:算盤。利用算盤進行珠算運算，最終保留的只是一個結果，而把計算的每一步都及時的“刪除”了。在此，邏輯思維的過程再次被“壓縮”和“隱藏了”，當然也就變得神秘了。

(三)用案例闡述內容形成特有的教學形式，例題來源于日常生活，有趣味性，形成我國實用的思維傳統

趣味是最好的老師。特別是在初等教育中，保持趣味性就是最好的教學方法。九章算術運動學這幾個題例來源于日常生活，沒有那種抽象，且充滿了生活的氣息，這是很值得初等教育者學習的地方。

以案例的形式來進行教育活動，既是它的特點，也是它的缺點。作為“翹楚”的《九章算術》，它的案例教學模式形成了我國傳統科學教育的方式，同時又直接影響了我國科學思維的發展道路，在增強學習的實用性方面具有較大的影響，這種實用性也助推了學習的功利化傾向。像古希臘人那種對純思維快感的追求，以及在近代出現的為科學而發展科學的純科學思維，在中國廣袤大地上是沒有生長的土壤的。追求科學真理讓位于追求自然的功效，“有用才是真理”是中國自古至今的社會邏輯。它對邏輯思維和抽象理性的發展必然帶來某種抑制。最直接的就是思維未能從日?，F象中獲得進一步的提升，因為這種思維抽象過程在開始時以致在相當長的時間內，都是沒有實際功用的。

運動學是近代自然科學發展的起點。在中世紀相關成果基礎上，伽利略通過斜面實驗，把數學與實驗結合，在對運動問題研究中，數學有了具體的運用，也開創了近代以來人類對自然過程的數學化認識路徑。通過數學，自然過程才成為可以精確計算和測量、可以預測、并精確推導的。對運動的研究是人類第一次對自然過程具體、精確的把握?！毒耪滤阈g》運動學題例，也反映出數學在早期運動學研究中的作用，這種結合與西方古代基本上是同步的。然而《九章算術》并未能在后世中發展出中國體系的運動學來，實為憾事。

［1］張蒼等輯撰.九章算術［M］.曾海龍，譯.重慶:重慶大學出版社，2006.

［2］［美］巴伯.科學與社會秩序［M］.北京:生活、讀書、新知三聯書店，1991:13.

［3］戴念祖，老亮.中國物理學史大系·力學史［M］.長沙:湖南教育出版社2011:181.

［4］陳嘉映.哲學·科學·常識［M］.北京:東方出版社，2007:131.

［5］郭金彬，孔國平.中國傳統數學思想史［M］.北京:科學出版社，2007:104.