齊次Morrey-Herz空間上的參數型Marcinkiewicz積分

王海蓮 王良龍 謝如龍

（1安徽大學數學科學學院，安徽 合肥 230039）（2巢湖學院數學系，安徽 巢湖 238000）

齊次Morrey-Herz空間上的參數型Marcinkiewicz積分

王海蓮1,2王良龍1謝如龍2

（1安徽大學數學科學學院，安徽 合肥 230039）（2巢湖學院數學系，安徽 巢湖 238000）

本文證明了參數型Marcinkiewicz積分是齊次 M orrey-Herz空間 M（Rn）上的有界性算子.

Morrey-Herz空間；參數型Marcinkiewicz積分；Lr-Dini條件

1 引言及主要結果

設Sn-1是Rn上的單位球面,dσ是Sn-1上的通常Lebesgue測度.Ω∈L1（Sn-1）是Rn上的零次齊次函數且滿足

1960年，HO¨rmander在[1]中定義了高維的參數型Marcinkiewicz積分如下：

其中 ρ＞0 且

他證明了如果 Ω ∈Lipα（Sn-1）（0＜α≤1）,則對 ρ ＞0,是（p,p）（1＜p＜∞）型的.后來，Sakamoto 和 Y abuta[2]證明了的 Lp有界性，這里 ρ 是一個復數且 Ω ∈Lipα（Sn-1）（0＜α≤1） .近來，文獻[3]減弱了 Ω 上 的光滑條件，得到了如下結果.

定理 A[3]設 Ω∈Lr（Sn-1）（r＞2）是 Rn上的零次齊次函數且滿足（1）式和 Lr-Dini條件.若 ρ＞0,則存在僅依賴于ρ的常數C＞0,使得

陸善鎮等在[4]中確立了粗糙奇異積分算子在齊次Morrey-Herz空間上的有界性.本文考慮了參數型Marcinkiewicz積分在齊次Morrey-Herz空間上的有界性.在給出主要結果之前，先介紹一些基本的概念和定義.

2 定理的證明

為了證明定理,先介紹下面引理.

[1]HO¨rmander L.Translation invariant operators[J].Acta Math,1960,104:93-139.

[2]Sakamoto M,Yabuta K.Boundedness of Marcinkiewicz functions[J].Studia Math,1999,135:103-142.

[3]程美芳,束立生.參數型Marcinkiewicz積分算子在Lp空間上的有界性[J].南京大學學報數學半年刊,2005,22(1):134-142.

[4]Lu Shanzhen,Xu Lifang.Boundedness of rough singular integral operators on the homogeneous Morrey-Herz spaces[J].Hokkaido Mathematic Journal,2005,34(2):299-314.

[5]Ding Yong,Lu Shanzhen,Xue Qingying.On Marcinkiwicz integral with homogeneous kernels[J].Journal of Mathematical Analysis and Application,2000,245:471-488.

[6]Muckenhoupt B,Wheeden R L.Weighted norm inequalities for singular and fractional inte-grals[J].Trans.Amer.Math.Soc.J.,1971,161：249-261.

PARAMETRIC MARCINKIEWICZ INTEGRAL ON HOMOGENEOUS MORREY-HERZ SPACES

WANG Hai-lian1,2WANG Liang-long1XIE Ru-long2
（1 School of Mathematical Science,Anhui University,Hefei Anhui 230039）（2 Department of Mathematics,Chaohu University,Chaohu Anhui 238000）

In this paper,it is proved that the parametric Marcinkiewicz integralis bounded on homogeneous Morrey-Herz spaces.

Morrey-Herz spaces;parametric Marcinkiewicz integral;Lr-Dini condition

O174.2

A

1672-2868（2012）03-0004-06

2012-03-16

安徽省高校自然科學基金項目(項目編號：KJ2009A49；KJ2012B116)；巢湖學院教研項目（項目編號：Jyxm201127)

王海蓮（1981-），女，安徽定遠人。安徽大學碩士研究生，研究方向：泛函微分方程與動力系統。

責任編輯：陳 侃