緊致性定理在近世代數中的應用

段彥峰，陳國龍，武成偉(淮北師范大學數學科學學院，安徽 淮北 235000)

緊致性定理在近世代數中的應用

段彥峰，陳國龍，武成偉(淮北師范大學數學科學學院，安徽 淮北 235000)

模型論中緊致性定理在代數中有很廣泛的應用。用緊致性定理證明了若L中的理論Τ有任意大特征的整環或除環模型，則Τ有特征為0的整環或除環模型；若一個語句φ在任意一個特征為零的整環或除環中為真，則對任意的自然數n，存在素數pgt;n，使φ在特征為p的整環或除環中真。

模型論；緊致性定理；整環；除環

1 一階形式語言及理論

定義1[1]設Τ是L中的一個語句集，則也稱Τ是L的一個理論。

定義2[1]設Τ是L中的一個理論，μ是L一個模型，如果對每個σ∈Τ都有μ滿足σ，則稱μ是Τ的一個模型。

定義3[1]形式系統L的一個理論Σ稱為不和諧，如果對L中的每一個公式都能由Σ推出；否則稱Σ是和諧的。

2 基本概念

定義4設L={+,·,0,1}，+,·是二元函數符號，0,1是常量符號，μ是L的一個模型，Γ是由下列語句組成的理論：

1)(x+y)+z≡x+(y+z) (加法結合律) ;

2)(x·y)·z≡x·(y·z)(乘法結合律);

3) ?x，?y，使y+x≡0∧x+y≡0(有逆元);

4)x+y≡y+x(加法交換律);

5)x+0≡x∧0+x≡x(0是加法單位元)；

6)1·x≡x·1(1是乘法單位元)；

7)x·(y+z)≡x·y+x·z;(y+z)·x≡y·x+z·x(分配律)；

8)x·y≡0→x≡0∨y≡0；

9)x·y≡y·x(乘法交換律)；

10)1≠0；

11)x≠0，?y，使x·y≡1。

若μ滿足1)～9)，則稱μ是整環；若1)～11)中，除9)外，μ都滿足，則稱μ是除環；若μ滿足1)～11)，則稱μ是域。

注：由文獻[2-3]知整環、除環、域都是無零因子幺環，因此，整環、除環、域模型都滿足定義5。

引理1[1]設Τ是語言L中的理論，則Τ為和諧的充分必要條件是Τ有模型。

引理2[1](緊致性定理)L中的一個理論Τ有模型的充分必要條件是的Τ每一個有限子集都有模型。

3 主要結論

定理1設L={+,·,0,1}，L中的理論Τ有任意大特征的整環模型，則Τ有特征為0的整環模型。

證明令Σ=Τ∪Γ∪{p·1≠0,p是任意素數}，其中Γ是整環公理，令Σ′是Σ的任意一個有限子集，則Σ′中至多含有有限多個p·1≠0(p為素數)，取一個素數q大于所有上述的p，由題設可知Τ有一個特征為q的整環模型，由環論知識可知，這個模型也是Σ′的模型，由Σ′的任意性可知Σ的每個有限子集都有模型，由緊致性定理Σ有模型μ，由Σ的設法和定義5可知這個模型μ是Τ的特征為零的整環模型。

推論1設L={+,·,0,1}，L中的理論Τ有任意大特征的除環模型，則Τ有特征為0的除環模型。

證明令Σ=Τ∪Γ∪{p·1≠0,p是任意素數}，其中Γ是除環公理，令Σ′是Σ的任意一個有限子集，則Σ′中至多含有有限多個p·1≠0(p為素數)，取一個素數q大于所有上述的p，由題設可知Τ有一個特征為q的除環模型，由環論知識可知，這個模型也是Σ′的模型，由Σ′的任意性可知Σ的每個有限子集都有模型，由緊致性定理Σ有模型μ，由Σ的設法和定義5可知這個模型μ是Τ的特征為零的除環模型。

推論2設L={+,·,0,1}，L中的理論Τ有任意大特征的域模型，則Τ有特征為0的域模型。

推論2的證明與定理1和推論1的證明類似。

定理2一個語句φ在任意一個特征為零的整環中為真，則對任意大的自然數n，都存在素數pgt;n，使φ在特征為p的整環中真。

證明 用反證法證明。假設存在自然數n，對任意的素數pgt;n，φ在特征為p的整環中都假。設Σ={φ}∪Γ∪{p·1≠0，p為任意素數}，其中Γ是整環公理，令Σ′是Σ的有限子集，則Σ′中至多含有有限多個p·1≠0(p為素數)，取一個素數q大于所有上述的p，則存在一個特征為q的整環是Σ′的模型，由Σ′的任意性可知Σ的每一個有限子集都有模型，由緊致性定理Σ有模型μ，即μ滿足Σ，由μ滿足Γ∪{p·1≠0,p為任意素數}知μ是一個整環模型，由μ滿足{φ}知φ在μ中假，這與φ在任意一個特征為0的整環中真相矛盾。

推論3一個語句φ在任意一個特征為零的除環中為真，則對任意大的自然數n，都存在素數pgt;n，使φ在特征為p的除環中真。

證明用反證法證明。假設存在自然數n，對任意的素數pgt;n，φ在特征為p的除環中都假。設Σ={φ}∪Γ∪{p·1≠0，p為任意素數}，其中Γ是除環公理，令Σ′是Σ的有限子集，則Σ′中至多含有有限多個p·1≠0(p為素數)，取一個素數q大于所有上述的p，則存在一個特征為q的除環是Σ′的模型，由Σ′的任意性可知Σ的每一個有限子集都有模型，由緊致性定理Σ有模型μ，即μ滿足Σ，由μ滿足Γ∪{p·1≠0,p為任意素數}知μ是一個除環模型，由μ滿足{φ}知φ在μ中假，這與φ在任意一個特征為0的除環中真相矛盾。

推論4一個語句φ在任意一個特征為零的域中為真，則對任意大的自然數n，都存在素數pgt;n，使φ在特征為p的域中真。

推論4的證明與定理2和推論3的證明類似。

[1]王世強.模型論基礎[M].北京：科學出版社，1987.

[2]張禾瑞.近世代數基礎[M].北京:高等教育出版社，2005.

[3]聶靈沼，丁石孫.代數學引論[M].北京:高等教育出版社，2005.

[編輯] 洪云飛

O152

A

1673-1409(2012)05-0009-02

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.05.004

2012-02-20

安徽省高校自然科學研究重點項目(2005KJ032ZD)。

段彥峰(1978-)，男，2002年大學畢業，碩士生，中教二級，現主要從事數理邏輯及應用方面的教學與研究工作。