變分法在大學數學研究性教學中的探討

劉艷芹

（德州學院，山東 德州 253023）

變分法是一種研究泛函極值的經典方法。變分的理論和方法不僅在數學的很多分支中，而且在工程技術等眾多領域中都有著廣泛的應用。變分法涉及到泛函分析的知識，一般情況下學生感覺內容晦澀難懂且不易理解，這也是困擾教師教學的一個問題。在當今大學提倡研究型教學，以培養研究型人才為目標的形式下，教師在講授變分的理論和方法的同時，讓學生接觸一些變分法在不同的物理背景以及后續可研究工作中的應用等問題，即教學和科研相結合是值得研究和探討的問題。在保證教學質量的前提下，突出學科的科研優勢是我們追求的目標。在變分法的教學過程中結合教學經驗以及科研工作的體會，從教學內容、教學方法以及研究性應用等方面提出幾點教學改革探討。

一、教學內容方法的創新

在變分學的理論研究和實際應用中，都必須具備一定的數學基礎知識。如微積分、常微分方程等是非常重要的工具［1］。我們希望教學和科研聯系在一起，教師將后續科研問題及時地融入到教學過程中，不斷地更新教學內容，培養學生的創新能力和激發學生的學習興趣，使學生了解到更多的信息和掌握解決問題的技巧。

二、變分法的研究性應用

變分法的提出不但解決了最速降線問題、懸鏈線問題和等周問題等一系列的數學難題，還在彈性力學、流體力學、量子力學和工程技術等眾多領域有著廣泛的應用，目前仍有很多的科學工作者致力于變分法的研究。

（一）歐拉方程的應用

歐拉方程在求解泛函極值問題中起到了非常重要的作用，至今是研究各類問題的有效方法。教師在教學中可適當將最新的前沿知識滲透給學生，如2011年有作者在《低溫建筑技術》發表《利用經典變分法對最小旋轉曲面問題解答》一文［2］，該文主要就是利用變分法經典歐拉方程和傳統做法中歐拉方程的初積分方程分別對最小旋轉曲面問題進行了解答，教師可用此文引導學生思考，即使是經典的知識也可有創新的地方，也可讓學生試著用這種思路去考慮最速降線等其他的問題，從而加深他們對變分法理論知識和應用的理解，提高解決實際問題的能力。

教師豐富的知識體系能使學生體會到學科之間的聯系，任何一門知識都不是孤立存在的，它往往與很多學科領域有著相關性。希望學生能夠從整體上把握知識結構，形成體系，為今后的工作和科研打下堅實的基礎，這也是我們研究性的教學過程中一直探討的問題。

（二）求解非線性問題的應用

結合自己的科研體會，給出變分法在求解非線性問題中的一點應用。研究非線性常、偏微分方程（組）的精確解和近似解是一項非常有價值和重要意義的工作。

考慮如下Fisher型的非線性單種群擴散問題

其中u（x，t）表示種群的密度，反應項F（u）是種群的增長項，初值條件：u（x，0）=1/（1+ex）2，根據變分迭代法的思想［3］建立如下的迭代關系式：

u0（x，t）表示初始近似值，λ（ξ）是Lagrange乘子，即所謂的變分，令廣義泛函取極值，注意到，有

取極值的必要條件為：

得Lagrange乘子λ（ξ）=-1，利用迭代關系式和初值條件進行迭代便得到問題的近似解。變分迭代法求解非線性問題是當今一個非常熱的研究課題。

在保證教學大綱的教學內容得以實現的前提下，教師根據學生已經掌握的基礎知識，做好前期輔導工作，自然地引入研究性的教學內容，并合理的安排教學時間，引導學生課下思考和探究問題，開拓鍛煉學生思考問題的能力［4］。

三、注重數學思想，培養學生素質

1696年Johann Bernoulli提出的“最速降線”問題是向數學家提出的一個難題。Hospital，Leibniz，Newton都得到了解答，直到后來的Euler和Lagrange發明了這一類變分問題的普遍解法，建立了數學的一個新分支—變分學。我國著名的科學家、教育家錢偉長院士從最小位能原理出發將約束條件利用Lagrange乘子引入到泛函中，得到了廣義的變分原理。錢院士在彈性力學、攝動方法和變分原理等方面都有著重要的成就，錢老也致力于當代大學生的教育問題。教師在講授變分法的同時，可以不斷地滲透大師們的研究成果和數學史的介紹，給予學生數學思想方法和精神實質的啟迪，避免數學教學過程的枯燥乏味，對學生數學文化的熏陶和數學素養的形成和提高都有著極其重要的作用。

［1］ 東北師范大學數學系.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［2］ 何東坡，馮寧.關利用經典變分法對最小旋轉曲面問題解答［J］.低溫建筑技術，2011，（3）：46-47.

［3］ Odibat A M.Construction of solitary solutions for nonlinear dispersive equations by variational iteration method［J］.Physics Letters A，2008，372（2）：4045-4052.

［4］ 董立華，于波.關于大學教師進行研究性教學的探討［J］.高等理科教育，2010，（4）：24-27.