形似高考實不同 歷經風雨顯彩虹
——高考數學模擬試題命制之我見

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(青田縣教師進修學校 浙江青田 323900)

形似高考實不同歷經風雨顯彩虹
——高考數學模擬試題命制之我見

●蔣海甌

(青田縣教師進修學校 浙江青田 323900)

高考是知識和能力的雙重較量，更是意志和品質的兩重競爭.高考模擬考試是高考前的一種模擬演練，更是一種仿真的實戰演習.毋庸置疑，高考模擬試題必須和高考試題保持高度的一致，包括試卷結構、題型布局、考核目標、考查要求、命題思想、命題原則、內容分布、難度控制等都必須一脈相承，嚴格按考試大綱來命制，遵循高考命題的所有規則.如高考數學模擬試題必須按照“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導思想，將知識、能力和素質融為一體，全面檢測考生的數學素養，同時兼顧文理考生的素質差異，試題應具有較高的信度、效度、必要的區分度和適當的難度等.盡管如此，高考模擬考試與高考畢竟是2種不同性質的考試，兩者之間有著不同的測試功能，相對于高考而言，模擬試題的命制有其自身獨有的視角與定位，有著自身獨特的切入點與著力點.

1 高考模擬試卷命制的視角與定位

不同類型的考試有著不同的測試功能.高考是選拔性考試，是一種終結性考試，其優勝劣汰的結局涇渭分明，短時間內無法補救更無法重來，正所謂“一卷定終生”、“此去不復返”，高考試卷極具“選拔功能和教育導向功能”.高考模擬考試是正式高考的熱身賽與前哨戰，通過模擬考試“旨在診斷前一階段全面復習的教學效果，及時檢測學生對基礎知識、基本技能和基本思想方法的掌控程度，及時反饋學生運用所學知識與方法解決問題的能力水平，從而為調整下一步復習進程與提高復習效應，收集翔實可靠的現實信息，提供真實有效的決策依據，進而為決勝最后的高考大戰鋪平道路”.因而高考模擬試卷側重于“診斷、檢測及反饋”、“能力水平測試”與“階段形成性考核”功能，它是一種階段性考試，成則更好而敗也無妨.依筆者之見，為了讓高考模擬考試“診斷、檢測、反饋與水平測試”的功能發揮極致直至產生最大的效應，應當秉持“將暴露進行到底，把考驗演繹徹底”的思想理念.高考模擬試題除了嚴格按高考考試大綱命制以外，設計可更具“誘惑性、迷惑性乃至疑惑性”，策劃更富“警示性、啟發性乃至挑戰性”，考問更有“思想性、思辨性乃至交匯性”，以便使學生的各種“思維誤區、思想障礙、解法錯誤、知識缺陷”都能“充分暴露在模擬考試之中，完全消除在正式高考之前”，使學生的“數學基礎知識、數學思想方法、數學基本能力”都能得到“更有效的強化性演練、更科學的針對性提高”，從而“實現高考模擬考試模擬價值的最大化”，進而“全面奪取高考的終極勝利”.

2 高考數學模擬試題命制之我見

2.1 試題設計“巧設疑惑，善作隱藏”，考題未必“那么難”，但思考求解“有糾纏”，力求“查漏補缺匠心獨運，強基固本別出心裁”

模擬考試的宗旨是“為了高考，服務高考，劍指高考”.為了診斷學生的思維缺失，暴露學生的思維誤區，檢測學生的解題缺陷，模擬試題要巧妙地設置一些“誘惑性、迷惑性、疑惑性”的條件或結論，讓學生思考求解時產生一定的干擾性與糾纏性.學生若對此“誘而不惑”，那是教師的渴望；若“誘而致憾”，教師便找到了教學的缺憾，只要據此強化下一步的訓練使其“不重犯”，就有可能實現高考時的“不遺憾”.要善于將有關知識內容有意識地加以“替換、變換乃至隱含、隱藏”，由此可以較好地測試學生的觀察分析、閱讀理解、化歸轉化等數學基本能力，從而發揮模擬試題查漏補缺、強基固本的最大功效.

例1把形狀大小完全相同分別標有1，2，3的3個小球隨機地放在編號分別是1，2，3，4的4個盒子中，則1號盒子內有球的不同放法有

( )

A．10種 B．24種 C．37種 D．48種

試題簡解

方法1(正面直接求解) 按第1號盒內“放1個小球、2個小球、3個小球”求解，有

故選C.

方法2(正難則反，反面排除求解) 3個球任意放置有43種放法，而其中第1號盒子無球的有33種，故有43-33=37種.

評注本題若設計成“填空題”，則會出現更多不同的答案，得分率會更低.由此引導學生解排列組合問題一般采用“整體分類，局部分步，不重不漏，多方求解，殊途同歸”，最后找到正確答案.

圖1

例2函數y=f(x)的圖像是圓心在原點的單位圓的2段圓弧(如圖1所示)，則不等式f(x)

設計意圖數學語言是數學思維的載體，數學學習實質上是數學思維活動.數學語言又可歸結為文字語言、符號語言、圖表語言3類.本題將函數的表達式(符號語言)用圖形(圖形語言)來表示(實際上將

隱含在圖形之中)，而將函數的奇偶性悄悄地蘊含與隱藏在圖形的對稱性之中，可以很好地診斷與檢測學生的看圖、識圖、用圖能力，信息處理能力，數形結合能力和不等式與方程之間的相互轉化、化歸能力以及思維的靈活性與變通性.事實上,本題的簡明設計是在考查直線與圓的位置關系，可以避開函數的解析式而利用“平面幾何中圓的性質”快速得出問題的答案；若用解“由圓弧方程與直線方程組成的方程組”的方法來求解，反而不簡便也不方便，問題的處理測試與考驗著學生的基本數學素養.

試題簡解由y=f(x)的圖像關于原點對稱，知y=f(x)是奇函數.由f(x)

f(x)<-f(x)+x，

即

評注本題若設計成“選擇題”，用“特值排除法”很容易剔除掉不正確的答案，使試題達不到應有的檢測效果.

2.2 試題設計“看似平常，實則新奇”，考題未必“那么深”，但思維測試“顯本真”，力求“思想方法融里邊，知識技能兩相兼”

高考命題“以知識為基礎，以問題為載體，以思維為主線，以能力為準繩”，堅持能力立意不動搖，注重對數學思想方法的考查，注重對以思維能力為核心的各種數學能力的考查.事實上，數學思想方法是數學知識在更高層次的概括與提煉，是將知識轉化為能力的橋梁和紐帶.數學思想與方法常?！坝谄椒仓庯@神力，于細微之處見真功”，有著“以不變應萬變”的奇妙效應，在許多問題的求解中發揮著獨有的作用，煥發出獨特的魅力.高考模擬考試對此必須做到足夠的重視與全面的演練，要善于設置一些問題——將“基礎的知識、熟悉的載體、常見的背景、基本的方法”巧妙地融合在一起，看似平常、貌似平淡但運用特定數學思想方法方能破解或用數學思想方法能夠簡化求解.從而進一步引領學生“不僅要學會用數學知識解決數學的問題，更要善于運用數學的思想與方法破解數學的問題”，著力彰顯數學思想與方法在應對各種問題時的技術功力與非凡功能，凸現其“四兩撥千斤，不變應萬變”的神奇效力.

(2)發現對于等差數列{an}中的任意3項am,an,ak(m,n,k互不相同)，有下列等式

(n-k)am+(k-m)an+(m-n)ak=0

成立.記等差數列{an}的前m,n,k項的和依次為Sm,Sn,Sk，則類似地，在等差數列{an}中，對于Sm,Sn,Sk有等式________成立.

設計意圖近幾年的數學高考頻頻出現簡單的合情推理試題，如2010年浙江省數學高考理科試題第14題：

試題簡解(1)由

得

(2)由等差數列的求和公式，得

例4已知圓的極坐標方程為

(1)求這個圓的普通方程和一個參數方程；

(2)設P(x,y)為上述圓上的任意一點，求xy的最值．

設計意圖試題表面非常平實，題面干練簡潔，考查圓的普通方程(直角坐標方程)、極坐標方程、參數方程及其3種方程之間的互化等基礎知識．但平實之中有驚險，通過“求xy的最值”這一問題的設計，提升了檢測功能，能綜合考查學生思維的靈活性，考驗學生能否選用“圓的參數方程”來簡化問題的求解過程以及是否掌握用“代數換元法”來求解“含有sinθ+cosθ與sinθcosθ的三角函數最值”等基本技能．

試題簡解(1)原方程可化為

即

此即為所求的一個參數方程.

(2)由第(1)小題知

從而

2.3 試題設計“知識交匯，方法交融”，考題未必“那么繁”，但考查內涵“更周全”，力求“會一題便能通一片，牽一發就可動全身”

注重學科的內在聯系和知識的綜合性，從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網絡交匯點設計試題，使對數學基礎知識的考查達到必要的深度，這是高考數學向來的命題方向.高考模擬考試要堅持不出偏題、難題與怪題，考題要注重利用學生熟悉的與常見的問題為背景.通過條件的巧妙設計、問題的精心設置，著力于數學學科知識間的交匯與方法間的交融，努力拓展問題考查的知識點與輻射面，力求對有關支撐學科知識體系的重點內容與主干知識的考查達到“橫向到邊，縱向到底，不留死角，一網打盡”之境地，力圖步入“會一題便能通一片，牽一發就可動全身”之境界，從而發揮模擬考題功能的最大效應.

例5已知向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·n=sin2C,且A,B,C分別為△ABC的邊a,b,c所對的角.

(1)求∠C的大??；

試題簡解(1)由題意得

m·n= sinA·cosB+sinB·cosA=

sin(A+B)=sinC，

因為

m·n=sin2C，

所以

sin2C=sinC.

(2)由已知2sinC=sinA+sinB，又由正弦定理，得

2c=a+b.

abcosC=18,ab=36,

從而

由余弦定理，得

c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=

4c2-3ab，

從而

c=6．

圖2

(1)求橢圓的方程；

設計意圖解析幾何的綜合問題在高考中每年都有一道大題，主要考查直線與圓錐曲線的位置關系以及解析幾何的基本思想.由于對雙曲線的考查要求降低，一般以直線與橢圓、拋物線的位置關系為考查重點.而平面向量知識的加盟，又給此類問題的設計與布局展現了新的風姿，平添了新的視角，增添了新的考查內涵.問題的求解常常要用到“數形結合、化歸轉化、分類討論、設而不求、減元消元”等重要的數學思想與方法，綜合測試學生分析問題、解決問題的能力.事實上，求解直線與圓錐曲線的位置關系這類問題，一般會用到以下基本思想和方法：

(3)易知F1(-1,0),F2(1,0).

②若AB與x軸不垂直，設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k(x+1).由

得

(1+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0.

因為Δ=8k2+8>0,所以方程有2個不等的實數根．設A(x1,y1)，B(x2,y2),則

(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)=

(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2=

模擬試題形似高考試題，卻又不同于高考試題.高考模擬試題的命制，要力求“查漏補缺匠心獨運，強基固本別出心裁；思想方法融里邊，知識技能兩相兼；會一題便能通一片，牽一發就可動全身”，力圖經歷模擬試題的磨礪與洗禮，最終贏得高考大戰的成功與喜悅！