似曾相識揭本質 由此及彼促發(fā)展
——探求2類遞推數列的通項公式

●

(余姚市第七中學 浙江余姚 315450)

似曾相識揭本質由此及彼促發(fā)展
——探求2類遞推數列的通項公式

●吳建洪

(余姚市第七中學 浙江余姚 315450)

在眾多的高三數學模擬試卷中，經常會碰到一些數列求通項an和前n項和Sn的試題．盡管這些試題的已知條件形式各異，但究其本質，最終都可歸納為最基本的遞推數列求通項an和前n項和Sn的問題，如：

例1在數列{an}中，Sn為其前n項和，滿足Sn=kan+n2-n(k∈R,n∈N*)．若數列{an-2n-1}為公比不為1的等比數列，求數列{an}的通項與前n項和Sn．

例2已知數列{an}滿足a1=5，a2=2an+1+2n-1(n≥2),求數列{an}的通項與前n項和Sn．

盡管學生對形如

(1)

(其中A,C,a1是非零常數，且A≠1)和

(2)

(其中A,B,C,a1是非零常數)的基本遞推數列求通項問題掌握得比較扎實，但由于對問題的本質不是很清楚，使得當學生碰到形如

(3)

(其中A，B，C，a1是非零常數，且A≠1)和

(4)

(其中A,B,C,D，a1是非零常數)等情形時(注意到：式(3)與式(1)相似，式(4)與式(2)相似)，常常會感到束手無策，難以為繼．

事實上，遞推數列求通項問題，一般情況下只需將不同形式的數列遞推關系式，運用化歸思想，轉化為特殊的等差數列或等比數列進行求解即可．若能清楚地知道這一本質特征，再加上一定的變式技巧，不僅能很快地解決一般遞推數列求通項的問題，而且對培養(yǎng)學生分析問題與解決問題的能力有較大幫助．本文將圍繞2種類型的遞推數列問題展開探討．

類型1已知數列{an}滿足

其中p,r,a1是非零常數，且p≠1，求通項公式an．

分析對于眾多的遞推數列問題，這是一種最基礎、最重要的題型．熟練掌握本題最具本質的解法，可為其他遞推數列問題的解決奠定堅實的基礎．

當n≥2時，由待定系數法得

變式1已知數列{an}滿足

其中p,r,a1是非零常數，求通項公式an．

分析變式1將類型1中的常數r變?yōu)閞n，一種自然而樸素的想法是，將指數rn通過變形轉化成常數.

方法1當n≥2時，等式an=pan-1+rn兩邊同除以rn，得

即轉化為類型1.

當然，變式1還有一種更妙的解法.

方法2當n≥2時，等式an=pan-1+rn兩邊同除以pn，得

變式2已知數列{an}滿足

其中p,r,q,a1是非零常數，求通項公式an．

分析對于遞推關系式an=pan-1+rn+q，可先轉化為等比數列

bn=pbn-1+rn，

即為變式1．

如例2，當n≥2時，由an=2an-1+2n-1得

an-1=2(an-1-1)+2n，

令bn=an-1，得

bn=2bn-1+2n，

即為變式1．進一步計算可得

an=(n+1)2n+1，

Sn=n·2n+1+n．

變式3已知數列{an}滿足

其中A,B,C,a1是非零常數，且A≠1,求通項公式an．

分析變式3將類型1中的常數r變?yōu)殛P于n的一次式Bn+C，仿變式2，運用待定系數法將該一次式轉化成常數．

當n≥2時，由an=Aan-1+Bn+C得

an+λn+μ=Aan-1+Bn+C+λn+μ=

Aan-1+(B+λ)(n-1)+C+μ-B-λ=

不妨設

則當n≥2時，

an+λ0n+μ0=A[an-1+λ0(n-1)+μ0]，

從而將數列{an}化歸為以a1+λ0+μ0為首項，以A為公比的等比數列{a0+λ0n+μ0}．

變式4數列{an}滿足

求通項公式an．

分析相鄰3項間的遞推數列問題比相鄰2項間的遞推數列問題麻煩，但只要抓住解決此類問題的本質，變式4的解決便水到渠成．為了敘述方便，變式4以人教版必修5“數列”復習參考題B組中的習題為例．

例3已知數列{an}滿足a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3)，求數列{an}的通項公式．

(2)2005～2009年城市化與生態(tài)環(huán)境耦合協(xié)調度增長速率有所提高，表明城市化子系統(tǒng)和生態(tài)環(huán)境子系統(tǒng)進一步協(xié)調，協(xié)調類型逐步過渡為低水平協(xié)調階段。這一時期的城市化綜合水平持續(xù)增加，城市經濟發(fā)展保持穩(wěn)定速率，而這一時期的生態(tài)環(huán)境綜合水平從2005年開始回升。通過查看各項指標情況可以發(fā)現(xiàn)，這一時期在環(huán)保等投資與GDP的比值，生活垃圾無害化處理率，人均公共綠地面積，工業(yè)固體廢棄物綜合利用率這部分生態(tài)環(huán)境響應指標的帶動下，生態(tài)環(huán)境質量有較明顯的改善，這些變化與湖南省的工作計劃也密切相關，計劃中提出發(fā)展循環(huán)經濟，倡導生態(tài)文明，在發(fā)展中保護環(huán)境，實現(xiàn)速度與質量、效益的有機統(tǒng)一。

教參上的參考答案如下：

通過觀察得

(5)

(6)

由式(5)，式(6)得到2個等比數列

從而

分析從參考答案看，要求學生觀察得出式(5)比較容易，但要求學生同時得到式(6)則有點困難．事實上，運用待定系數法，可以用以下2種方法求解．

方法1由an=2an-1+3an-2得

an+an-1=3(an-1+an-2).

令bn=an+1+an，則數列{bn}是以3為公比，以b1=a2+a1=7為首項的等比數列，從而

an+1+an=bn=7·3n-1，

即

an+1=-an+7·3n-1，

即轉化為變式1．

方法2由an=2an-1+3an-2，運用待定系數法得

下與參考答案同．

解決數列問題不僅僅只是待定系數法的靈活運用，關鍵是運用化歸的數學思想，將不具有規(guī)律的原數列遞推關系式轉化為具有特殊規(guī)律的遞推關系式．因此，在日常教學過程中，教師應注重突出通性通法，滲透數學思想，理清思維的本原，抓住問題解決的本質，提高學生的數學能力．

類型2已知數列{an}滿足

其中A,B,C,a1是非零常數,求通項公式an．

分析從形式上看類型2是一次分式結構，對于分式結構，一種行之有效的方法是取倒數．

即轉化為類型1．

即為類型1.進一步計算可得

變式1若數列{an}滿足Aan-Ban-1=Canan-1(n≥2),其中A,B,C是非零常數，求通項公式an．

即轉化為類型1．

變式2已知數列{an}滿足

其中A,B,C,D,a1是非零常數，求通項公式an．

分析前面多次運用化歸的數學思想，結合待定系數法順利解決多種變式的遞推數列求通項問題，對此變式仍可繼續(xù)為之，以例5為例加以說明．

例5已知數列{an}滿足

求通項公式an．

令 -3λ2-13λ-14=0,

(7)

得

不妨取λ=-2，得

由于式(7)是關于λ的二次方程，相對于類型1，運用待定系數法求解相對復雜．但只要設計合理，還是可以順利解決的．

數學問題的解決過程，其根本是從未知逐步向已知轉化的過程，特別是對似曾相識的問題，往往需要透過表面研究本質，揭示規(guī)律，清楚推理，從而達到理想的教學效果．在教學過程中，教師應幫助學生真正理解和掌握數學基礎知識和基本技能，合理運用數學思想，注重通性通法，這對于學生學好數學非常重要．