挖掘題根 窺斑見豹
——對杭州市下城區即興說題題目的幾點思考

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(鄞州區鄞江鎮中心初級中學 浙江寧波 315151)

挖掘題根窺斑見豹
——對杭州市下城區即興說題題目的幾點思考

●田海霞

(鄞州區鄞江鎮中心初級中學 浙江寧波 315151)

題根概念提出者萬爾遐老師說：題根是題目的根基，它不是一個孤立的題目，也不是一堆題目中單一的個體，它是一個題族的根祖，一個題系中的根基，一個題群的代表.在實踐中常常發現，千姿百態的數學題目猶如一棵樹上的枝枝葉葉，雖然看上去紛繁復雜，但是它們之間其實是息息相通的，它們都是從同一題根衍生變化而來，故在研究問題時可以通過窺其題根而見其全貌.

研究題根對教學、命題和解題都有特殊的意義.如在教學中，可以從例題這個題根出發，對其進行一系列的衍生，讓學生在例題的有序變化中發現問題變化規律，發現變化中的不變，從而找到該系列問題的根本解決辦法，達到“解一題，通一類”的教學目的；在命題中，通過對課本中的關鍵知識點進行適當的拓展衍生，衍生出基礎性、靈活性、趣味性強的好題目，讓學生既掌握重點知識，又發展思維能力，還能提高學習興趣；在解題中，學生通過對問題題根的挖掘，熟練而快捷地找到問題的解決辦法.因此，在平時教學中，教師要充分重視對問題題根的挖掘與衍生教學.下面以2011年杭州市下城區即興說題題目為例，闡明數學題根挖掘與衍生的一些策略.

1 試題呈現

圖1

例1已知ABCD是矩形，以C為圓心，CA為半徑畫一段圓弧分別交AB，AD延長線于點E，F，聯結EB，FD.若把Rt∠BCD繞點C旋轉角度θ(0°<θ<90°)，使得該角的2條邊分別交線段AE，AF于點P，Q，則CQ2+CP2=

( )

A．2QF·PEB.QF2+PE2

C.(QF+PE)2D.QF2+PE2+QF·PE

(1)請用你認為最簡單的方法求解(注意是選擇題)；

(2)請用幾何方法證明你的選擇是正確的；

(3)建立一個直角坐標系，用代數方法證明你的選擇是正確的.

本題通過對平面幾何一個基本圖形的巧妙構思：變化中體現不變，復雜中蘊涵本質，既突出考查直覺思維，又對解題素養有較高的要求.

2 挖掘題根

圖2

挖掘本題題根，實質上就是以等腰直角三角形的斜邊中點為頂點，作一直角與原來2個直角邊相交形成正方形時的基本圖形.圖2即為本題題根，它是學習等腰直角三角形時的經典問題,各種版本的教材上都有涉及.由此，命題者就以此為線索尋求新的創意與變化：將Rt∠BCD繞點C作如圖3所示的旋轉變換，再將特殊的等腰直角三角形變為一般的直角三角形(如圖4)，再外加一件華麗的外衣——圓，例1就是這樣演變而來.從上述分析可知，例1(注意是選擇題)最簡單的求解方法，最容易想到的便是當△AFE是等腰直角三角形，Rt∠BCD繞點C旋轉45°時的情況，可排除選項A，再考慮旋轉角度θ的可連續性，當θ=0°時結論也應該成立，因此就從題根(如圖2)找到正確答案為B.這也是命題者突出考查教師直覺思維的意圖.

圖3 圖4

3 衍生題根

找到了本題的題根，可以對該題根進行衍生，以利于擴大戰果.常用的衍生方法有：(1)從特殊向一般衍生.特殊是一般的根，如直角三角形是一般三角形的根，所謂解三角形，實際上就是將一般三角形直角化.故對題根衍生的辦法之一為從特殊向一般延伸.(2)從有限向無限衍生.無限問題常常轉化為有限情況下去找尋數學規律，故有限是無限的根，有限可以向無限衍生.(3)從靜態向動態衍生.靜態是動態之根，在解有關動態問題時，我們經常把它轉化為靜態情況下去解決，從不變中研究變化.下面以本題提到的題根為例對其進行多方面的衍生.

3.1 衍生到一般三角形

如圖5，在△AFE中，點C為EF的中點，Rt∠PCQ的2條邊分別交線段AE，AF于點P，Q，根據旋轉變換的性質可得QF+PE>PQ，再延伸下去，根據余弦定理可得

CQ2+CP2=QF2+PE2+2QF·PE·cosA.

圖5

本題滲透了從特殊到一般、從簡單到復雜的數學思想方法，可以較好地考查學生猜想、歸納、合情推理、論證的能力，但究其本質，還是源于對問題題根的深刻理解.

3.2 衍生到一般四邊形

從結論出發用分析法分析，根據維果茨基的最近發展區理論，想到的是勾股定理：CQ2+CP2=QP2=AQ2+AP2.從已知出發，用綜合法分析，結合此題最本質的題根(圖2)衍生到圖6：在正方形AFHE中，C是正方形的中心，結合圖形旋轉變換的性質，得到QF=GE或FM=PE，接著得到

QP2=GP2=GE2+PE2=QF2+PE2

或

QP2=QM2=QF2+FM2=QF2+PE2.

在矩形AFHE中，如圖7所示，同理得證.

圖6 圖7

例1第(2)小題的問題設置較好地考查了合情推理的能力，用動態觀點思考幾何問題，正是尋求簡便解題方法的一種有效策略.同時它也告訴我們，教學中讓學生正確認識基本圖形的特點，透徹理解問題的本質是多么重要！

3.3 衍生到以圓為背景的問題

分析(1)易想到PQ為圓的直徑，∠QCP=90°，運用例1的結論AQ2+AP2=QF2+PE2解題.

(2)考慮Rt△AFE的面積，易想到的是用字母表示直角邊的長度.不妨設AF=a，AE=b，AQ=x，AP=y，結合上述結論可得

得

再結合二次函數的頂點公式和不等式知識得證.

本題借鑒了例1的構思，同時把圓的相關知識巧妙地滲透其中.巧用函數思想，使知識的覆蓋面更廣，考查也更全面，對學生的能力要求也更高.

圖8 圖9

3.4 衍生到動態問題

如圖9，已知點C為Rt△AFE斜邊FE的中點，AF=8 cm，AE=6 cm，點Q，P從點A同時出發，在線段AF，AE上運動，速度之比1∶2，其中點Q的運動速度為1 cm/s，問運動幾秒后CQ⊥CP?

分析逆向思考.若CQ⊥CP，則

AQ2+AP2=QF2+PE2，

從這個等量關系聯想到運用方程思想解題，把幾何問題代數化，是解決幾何問題的常用思想方法.設運動x秒時CQ⊥CP，可得方程

x2+(2x)2=(8-x)2+(6-2x)2.

本題借鑒了題根，又獨辟蹊徑，它把問題原型巧妙改變：隨著點Q的運動,∠QCP的大小也隨之變化.這樣，考查基本數學思想與數學思維能力的目的就凸顯出來，用動態的觀點研究問題，在變與不變的思考中，緊緊抓住不變的因素,思路的得出也就順其自然.

圖10

萬爾遐老師曾說：抓住了一個題根，就等于抓住了這個題族、這個題群、這個題系.浩如煙海的題目同根共源，猶如一棵枝繁葉茂的大樹(如圖10所示)，都源自于同一根系，解一題可以破萬題.我們的教學根植于最原始的數學基本概念、圖形和原理，然后從最本源的問題出發開始演繹，讓題目有序化、結構化、系統化.這樣，學生就不會成為解題的機器，可以“打通經脈”，掌握“解一題，通一類”的本領，減負就不再是空談！