立足教材 拓展能力
—— 一道課本習題的探究與拓展

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(城峰中學 浙江仙居 317300)

立足教材拓展能力
—— 一道課本習題的探究與拓展

●鄭冬連

(城峰中學 浙江仙居 317300)

教材是教師從事教學的依據，也是學生獲得知識的主要渠道．課本上的習題，往往都具有一定的典型性．作為教師，要認真研究教材，抓住課本中的典型習題，引導學生從不同的角度思考，激活學生的思維．這不僅加強了知識的落實，更重要的是，培養了學生思維的靈活性、發散性、廣闊性和批判性等．這種以知識為載體、培養能力為手段、提高思維為目標的教學方法正是新課改所倡導的理念．更重要的是這種教學方法能將學生從題海中解放出來,真正提高學生獲取知識的能力．這里僅以人教版《數學》必修4第2章平面向量復習參考題B組第5題進行探索，旨在拋磚引玉．

圖1

探究1例1有哪些證法？

分析要證△P1P2P3為正三角形，只需證△P1P2P3的3條邊相等或△P1P2P3的3個內角相等或△P1P2P3的重心、垂心、外心、內心這4個心中有2個心重合即可．

即

又因為

同理可得

從而

∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1，

△P1OP2≌△P2OP3≌△P1OP3，

因此

故△P1P2P3為正三角形．

由方法1知

故

同理

故△P1P2P3為正三角形．

所以

方法4證明點O既是外心又是垂心.由已知得

亦即

OP2⊥P3P1，

同理可得

OP1⊥P3P2，

探究2例1能否推廣或變換？

拓展1將例1中的3個向量改為4個向量，結論如何？

分析由圖2知四邊形P1P2P3P4不一定是正方形，但一定是矩形.

且

OM⊥P1P4，ON⊥P2P3.

△MOP4≌△OP2N，

即

∠MOP4=∠P2ON，

從而P2P4為⊙O的直徑，同理P2P3也為⊙O的直徑，故P1P2P3P4為矩形．

圖2 圖3

拓展2將例1中的向量推廣為更一般的情形，結論又如何？

(1) 若推廣為2n(n≥3且n∈N)個向量，顯然P1P2…Pn不一定為正2n邊形，如圖3所示．

圖4

下面以五邊形為例加以說明(見圖4).

證明不妨設正n邊形的外接圓半徑為1，建立如圖5的直角坐標系，則

圖5

…

…

Pn(1,0).

…

…

于是{zn}為等比數列，從而

z1+z2+…+zn=

即

故命題成立．

在教學中，可讓學生對如下例2進行類似例1所示的探究和思考．

圖6

探究點(1)例2有哪些證法？(2)若將3個向量改為4個向量，結論如何？推廣為更一般的情形，結論又如何？(3)若將平面向量改為空間向量，有何結論？

通過一道課后習題的解剖，可見習題蘊藏著豐富的教學功能．在教學中，教師可根據學生實際，引導啟發學生思維，通過探究活動，讓學生體驗數學的發現和創造歷程，讓他們勇于提出問題、解決問題，從而思維能力得到提高，學生學得輕松．高中數學新課程理念之一是倡導積極主動、勇于探索的學習方式，這些學習方式將有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程．因此，在平時的教學中，教師應充分挖掘教材中的每一道習題，進行適當的引導，最大限度地發揮習題的教學功效，實現數學教學過程中增效減負的目的．