基于鎖相環(huán)和小波變換的PSK信號(hào)波特率估計(jì)

夏楠，邱天爽，李景春

(1. 大連理工大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)部，遼寧 大連 116024；

2. 國(guó)家無(wú)線電監(jiān)測(cè)中心，北京 100037)

1 引言

移相鍵控(PSK)調(diào)制是通信系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛的一種數(shù)字調(diào)制方式。要實(shí)現(xiàn)對(duì)PSK信號(hào)的解調(diào)，必須知道信號(hào)波特率。在無(wú)線電監(jiān)測(cè)等應(yīng)用問(wèn)題中，如何在低信噪比的條件下實(shí)現(xiàn) PSK信號(hào)波特率的精確估計(jì)，是目前研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[1～3]根據(jù)PSK信號(hào)具有循環(huán)平穩(wěn)特性，通過(guò)求循環(huán)相關(guān)從而估計(jì)波特率。這種方法在低信噪比下能得到較好結(jié)果，但是計(jì)算量大，實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較困難。在文獻(xiàn)[4,5]中，Chan提出利用小波變換來(lái)進(jìn)行波特率估計(jì)，將信號(hào)相位變化反映為小波變換后不同峰值幅度的變化。這種方法計(jì)算量小，但是在信噪比低于7dB時(shí)性能顯著變差。文獻(xiàn)[6]對(duì)Chan氏算法進(jìn)行了改進(jìn)，提高了算法的抗噪性能，但是尚存在由于載頻估計(jì)不準(zhǔn)確而使包絡(luò)提取效果變差的現(xiàn)象。文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]分別提出2個(gè)尺度小波變換、聯(lián)合逆傅立葉變換和均方估計(jì)器的方法，對(duì)PSK信號(hào)波特率估計(jì)，進(jìn)而提高估計(jì)的精確度與抗噪性。文獻(xiàn)[9]通過(guò)Morlet小波變換同樣可以實(shí)現(xiàn)波特率的準(zhǔn)確估計(jì)。通過(guò)對(duì)Chan氏算法研究發(fā)現(xiàn)，該算法沒(méi)有考慮載波的初始相位對(duì)波特率估計(jì)的影響。針對(duì) Chan氏算法存在的問(wèn)題，本文深入研究了載波初相對(duì)小波變換的影響，提出一種基于鎖相環(huán)的波特率盲估計(jì)方法。該方法采用鎖相環(huán)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行載頻同步來(lái)提取信號(hào)包絡(luò)，采用包絡(luò)信號(hào)的小波變換來(lái)估計(jì)信號(hào)的波特率，有效解決了 Chan氏算法中存在的問(wèn)題。本文算法的另一優(yōu)勢(shì)還在于無(wú)須任何載頻和信噪比的先驗(yàn)知識(shí)。實(shí)驗(yàn)仿真表明，在信噪比低至0dB情況下，本文算法仍能實(shí)現(xiàn)對(duì)PSK信號(hào)波特率的準(zhǔn)確估計(jì)。

2 基于小波變換的PSK信號(hào)波特率估計(jì)原理

本文是針對(duì)文獻(xiàn)[4,5]所提出的 Chan氏算法的改進(jìn)，文獻(xiàn)中選擇Harr小波作為基函數(shù)，其原因在于Haar小波對(duì)暫態(tài)信號(hào)，尤其是對(duì)信號(hào)相位的變化有較強(qiáng)的檢測(cè)能力，且結(jié)構(gòu)最為簡(jiǎn)單，故本文也同樣選用Haar小波，并與 Chan算法進(jìn)行比較。設(shè)PSK信號(hào)為 x(k)，其小波變換的離散形式可表示為

其中，a、τ分別是小波的尺度和位移參數(shù)，ψ(k)是小波母函數(shù)。文獻(xiàn)[4,5]中給出Haar小波離散表達(dá)式為

當(dāng)PSK信號(hào)被采樣后，其復(fù)數(shù)形式可表示為

其中，P是PSK信號(hào)的功率，ωc為載頻角頻率，θc為載波初始相位，T為 PSK信號(hào)的符號(hào)周期，為符號(hào)轉(zhuǎn)換時(shí)可能出現(xiàn)的相位變化量。PSK信號(hào)的Haar小波變換為

由式(4)和式(5)可知，在符號(hào)發(fā)生變化的時(shí)刻，PSK信號(hào)相位發(fā)生突變，引起小波變換幅值的變化，如果小波尺度a選擇較小，則有即在相位發(fā)生突變時(shí)，小波變換幅值會(huì)出現(xiàn)一個(gè)尖峰，則峰—峰間隔為符號(hào)周期的整數(shù)倍，然后做FFT變換，最高譜峰對(duì)應(yīng)的頻率則為PSK信號(hào)的波特率[3]。

3 算法改進(jìn)

3.1 Chan氏算法分析

由式(5)可知， C WT(a, τ ) ≤ 2 （ P a ）12,τ=iT，在較低信噪比下，符號(hào)發(fā)生變化時(shí)，小波變換幅值出現(xiàn)的尖峰不明顯，根據(jù)文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，Chan氏算法在信噪比SNR＜7dB時(shí)失效，表明Chan氏算法對(duì)噪聲比較敏感。另一方面，通過(guò)分析可知，小波變換只有在PSK信號(hào)瞬時(shí)值發(fā)生突變時(shí)才能檢測(cè)出信號(hào)符號(hào)發(fā)生變化的位置，而載波初始相位θc對(duì)這種符號(hào)變化的檢測(cè)及后續(xù)的波特率估計(jì)影響很大，這是由于在符號(hào)發(fā)生變化的時(shí)刻，PSK信號(hào)的瞬時(shí)相位可能是一個(gè)很接近零的值，即β≈0。此時(shí)，當(dāng)τ=iT時(shí)的小波變換式(5)與τ≠iT時(shí)的小波變換式(4)相同，表明在符號(hào)發(fā)生變化的位置，信號(hào)的小波變換幅值沒(méi)有產(chǎn)生尖峰，故 Chan氏算法失效?；谇懊鎸?duì) Chan氏算法的分析，本文提出一種基于自適應(yīng)相位同步和小波變換的改進(jìn)的波特率估計(jì)方法。使用鎖相環(huán)對(duì)輸入信號(hào)實(shí)現(xiàn)相位同步，從而提取輸入信號(hào)的包絡(luò)，再對(duì)信號(hào)包絡(luò)進(jìn)行小波變換，進(jìn)而估計(jì)波特率。與 Chan氏算法直接對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行小波變換相比，本文算法使用鎖相環(huán)提取信號(hào)包絡(luò)并歸一化，消除了載波初相隨機(jī)性對(duì)波特率估計(jì)的影響，并使包絡(luò)信號(hào)的小波變換幅值在符號(hào)發(fā)生變化時(shí)尖峰更為明顯，因此，本文算法可以有效改善信噪比對(duì)波特率估計(jì)的影響。

3.2 基于PLL技術(shù)的相位跟蹤方法及收斂性與復(fù)雜性分析

鎖相環(huán)在本文算法中是一個(gè)很重要的環(huán)節(jié)，因?yàn)閷?duì)輸入信號(hào)提取包絡(luò)是以載頻的精確估計(jì)為前提的。但是實(shí)際上很難實(shí)現(xiàn)完全準(zhǔn)確的估計(jì)。即使是很小的載頻估計(jì)誤差也會(huì)因?yàn)檎`差累積而使包絡(luò)的提取效果變差，從而影響波特率的估計(jì)。與復(fù)雜的載頻精確估計(jì)算法相比，鎖相環(huán)是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)處理，動(dòng)態(tài)調(diào)整相位的誤差，在載頻同步的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)包絡(luò)提取，且算法簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。圖1給出了本文算法的流程。

圖1 算法流程

圖1 中首先對(duì)輸入PSK信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，改善信號(hào)的信噪比，以消除由噪聲引起的鎖相環(huán)本振輸出信號(hào)的相位抖動(dòng)與頻率不穩(wěn)。本文使用主分量分析(PCA)對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理。該方法能夠有效抑制隨機(jī)噪聲，提高鎖相環(huán)的性能并改善波特率估計(jì)的效果，且無(wú)需信號(hào)的統(tǒng)計(jì)先驗(yàn)知識(shí)。

鎖相技術(shù)是一種相位負(fù)反饋技術(shù)[10～12]，它是通過(guò)比較輸入信號(hào)和壓控振蕩器輸出信號(hào)的相位，并取出與這2個(gè)信號(hào)的相位差成正比的電壓作為誤差電壓來(lái)控制振蕩器的頻率，達(dá)到使其與輸入信號(hào)頻率相等的目的。本文基于鎖相環(huán)思想給出相位及頻率跟蹤的迭代方程，方法如下。

步驟1 初始化： ω?(0) = 0,φ?(0)=0；

步驟2 更新： k = 1 ,2,…

獲得信號(hào)包絡(luò)：

獲得相位誤差：

獲得頻率更新：

獲得相位更新：

其中， A (k)是提取的輸入信號(hào) r(k)= Aexp (j(ω(k)+φ0)) + n(k )的包絡(luò)，ω(k)和φ0分別為輸入信號(hào)的瞬時(shí)角頻率和初始相位， n(k)是均值為 0、方差為N02的復(fù)高斯白噪聲，Δθ?(k)是輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的瞬時(shí)相位差，即 Δ θ?(k ) = φ(k ) - φ?(k )，ω?(k)是估計(jì)出的輸出信號(hào)瞬時(shí)頻率，φ?(k)是輸出信號(hào)的瞬時(shí)相位。從式(9)可以得到輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的相位差表達(dá)式

式(10)中，可以將輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的頻率誤差近似為輸出信號(hào)頻率的迭代誤差，如式(8)所示。因此，可以得到相位誤差的迭代方程

由于c1、 c2滿足c1、 c2∈ （ 0, 1），因此相位誤差的迭代方程系數(shù) 0 ＜ （1 + c1c2）（1 + c1）＜1。若φ?(k)是φ( k )的無(wú)偏估計(jì)，則可得到相位誤差的方差迭代方程

由式(12)可知，k時(shí)刻的相位偏差要比 k - 1時(shí)刻的相位偏差小。因此，基于鎖相環(huán)技術(shù)的相位及頻率估計(jì)方法是收斂的。并且可以得到基于最大似然估計(jì)的相位誤差的Cramer-Rao下界[12]：

其中， T0是噪聲半邊等效帶寬，本文由于沒(méi)有采用環(huán)路濾波器，而是直接對(duì)復(fù)信號(hào)進(jìn)行處理，因而噪聲等效帶寬為 T0→+∞ ，進(jìn)而可以得到 σΔ2θ?≥ 0 。

下面考慮鎖相環(huán)算法的計(jì)算復(fù)雜度：若將 c1c2視為已知量，則在第k時(shí)刻計(jì)算式(6)需要4次實(shí)數(shù)乘法和2次實(shí)數(shù)加法，計(jì)算式(7)需要6次實(shí)數(shù)乘法和2次實(shí)數(shù)加法，計(jì)算式(8)需要1次實(shí)數(shù)乘法和1次實(shí)數(shù)加法，最后計(jì)算式(9)需要1次實(shí)數(shù)乘法和2次實(shí)數(shù)加法。因此，當(dāng)鎖相環(huán)經(jīng)過(guò)k時(shí)刻實(shí)現(xiàn)載頻與相位的同步，則需要完成12k次實(shí)數(shù)乘法以及7k次實(shí)數(shù)加法，其計(jì)算復(fù)雜度為 O (k)。

3.3 基于Haar小波變換的波特率估計(jì)方法

當(dāng)鎖相環(huán)鎖定時(shí)提取出信號(hào)包絡(luò) A (k)，有

復(fù)包絡(luò) A (k)的Haar小波變換為

改進(jìn)算法式(17)中的β1與Chan氏算法式(5)中的β有所不同，β可以是[- π ,π]中的任意值，而可見，符號(hào)發(fā)生變化的時(shí)刻，小波變換幅值的尖峰更明顯，并且不受載波初始相位的影響。對(duì)于小波尺度大小的選取，一般情況下分解3～5個(gè)尺度為宜，并對(duì)最大尺度下的Harr小波變換結(jié)果進(jìn)行傅立葉變換，進(jìn)而估計(jì)信號(hào)的波特率。如果尺度選得過(guò)大，則平滑化程度越高，會(huì)造成奇異點(diǎn)位置偏移和形態(tài)突變。而選得過(guò)小，會(huì)使小波變換模值偏小，易受噪聲影響。因此，本文選用4個(gè)小波尺度進(jìn)行分解，并提取尺度4下的小波變換結(jié)果進(jìn)行分析。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

PSK信號(hào)采樣頻率為 fs= 3 0MHz ，載頻為fc= 4 MHz ，波特率為 fd= 3 00kbit/s ，信號(hào)長(zhǎng)度為100個(gè)符號(hào)，加性噪聲為高斯白噪聲，采用Haar小波。每組實(shí)驗(yàn)分別進(jìn)行100次仿真，對(duì)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均。

實(shí)驗(yàn)1 在信噪比SNR=10dB時(shí)，對(duì)本文算法進(jìn)行仿真，考察算法的有效性，并對(duì)本振輸出載頻進(jìn)行卡爾曼濾波，如圖2所示。

圖2 本文算法仿真

由圖2(a)和圖2(b)可知本文算法中鎖相環(huán)能夠?qū)斎胄盘?hào)實(shí)現(xiàn)載頻同步，并提取出信號(hào)包絡(luò)。圖2(c)中小波變換模值可以清晰地反映出符號(hào)發(fā)生變化的位置。圖2(d)是對(duì)圖2(c)中小波變換的結(jié)果進(jìn)行FFT變換，并對(duì)結(jié)果歸一化處理，進(jìn)而得到最高譜峰對(duì)應(yīng)的頻率，即為輸入信號(hào)的波特率。定義仿真得到信號(hào)波特率為 f?d，與真實(shí)波特率fd的相對(duì)誤差，此實(shí)驗(yàn)說(shuō)明本文所提出的波特率估計(jì)方法是有效的。

實(shí)驗(yàn)2 2PSK信號(hào)載波初始相位θc=0°時(shí)，對(duì)Chan氏算法和本文算法分別考察信噪比對(duì)波特率估計(jì)的影響，如圖3所示。

圖3 不同信噪比下算法對(duì)比

由實(shí)驗(yàn)2可知，本文算法在信噪比SNR＞0dB時(shí)，能夠準(zhǔn)確地估計(jì)波特率，而Chan氏算法的估計(jì)效果在信噪比SNR＜7dB時(shí)明顯變差，如圖3所示。這是因?yàn)榕cChan氏算法相比，本文算法在符號(hào)發(fā)生變化時(shí)刻，小波變換幅值的尖峰更明顯，因此具有更強(qiáng)的抑制噪聲的能力。

實(shí)驗(yàn)3 2PSK信號(hào)信噪比SNR=10dB時(shí)，分別考察 Chan氏算法和本文算法載波初始相位對(duì)波特率估計(jì)的影響，如圖4所示。

圖4 不同載波初相下算法對(duì)比

由實(shí)驗(yàn)3可知，本文算法不受輸入信號(hào)初始相位的影響，而Chan氏算法在70°～90°區(qū)間估計(jì)誤差顯著增大，其原因在式(5)和式(15)中已給出分析。

實(shí)驗(yàn) 4 載波初始相位 θc=0°，當(dāng)信噪比變化時(shí)，分別考察本文算法對(duì)2PSK、4PSK和8PSK信號(hào)波特率估計(jì)的影響，如圖5所示。

圖5 不同信號(hào)的估計(jì)誤差

由實(shí)驗(yàn)4可知，本文算法對(duì)于不同的PSK信號(hào)都具有較好的韌性，均能在較低信噪比下對(duì)波特率準(zhǔn)確估計(jì)。而且在信號(hào)的進(jìn)制數(shù)未知的情況下，也能準(zhǔn)確估計(jì)波特率，真正實(shí)現(xiàn)波特率的盲估計(jì)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了小波變換技術(shù)在數(shù)字調(diào)制信號(hào)波特率提取方面的應(yīng)用，考慮信號(hào)載波初始相位對(duì)估計(jì)有較大影響，提出了一種基于鎖相環(huán)和小波變換的波特率估計(jì)新算法。在對(duì)信號(hào)預(yù)處理后進(jìn)行載波同步提取信號(hào)包絡(luò)，再經(jīng)小波變換，完成對(duì)信號(hào)波特率的準(zhǔn)確估計(jì)。與經(jīng)典的Chan氏算法相比，在較低信噪比下仍有很好的精度，并且對(duì)載波的隨機(jī)初始相位不敏感。該方法同樣適用于QAM、ASK和FSK等數(shù)字調(diào)制信號(hào)，具有很好的推廣價(jià)值。

[1] MAZET L, LOUBATON P. Cyclic correlation based symbol rate estimation[A]. The Thirty-Third Asilomar Conference on Signals,Systems, and Computers[C]. Pacific Grove, CA, USA, 1999.1008-1012.

[2] CIBLAT P, LOUBATON P, SERPEDIN E. Asymptotic analysis of blind cyclic correlation-based symbol-rate estimators[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2002, 48 (7): 1922-1934.

[3] JIN Y, JI H. Statistical characteristics of stationary processes in cyclic autocorrelation based PSK symbol rate estimation[A]. Proceedings of 2007 Chinese Control Conference[C]. Hunan, China, 2007. 192-195.

[4] CHAN Y T, PLEWS J W, HO K C. Symbol rate estimation by the wavelet transform[A]. 1997 IEEE International Symposium on Circuits and Systems[C]. Hong Kong, China, 1997. 177-180.

[5] PLEWS J W. Estimating the Symbol Rate of an M-ary PSK Signal Using the Haar Wavelet Transform[D]. Master Thesis, Royal Military College, 1996.

[6] XU J, WANG F, WANG Z. The improvement of symbol rate estimation by the wavelet transform[A]. Proceedings of 2005 International Conference on Communications, Circuits and Systems[C]. Hong Kong,China, 2005. 100-103.

[7] CHI Q, YUAN J, CHEN X. The CWT estimation of PSK symbol rate estimation used for radar recognition[A]. 2009 IET International Radar Conference[C]. Guilin, China, 2009. 1-4.

[8] XU H, ZHOU Y, HUANG Z. Blind roll-off factor and symbol rate estimation using IFFT and least squares estimator[A]. International Conference on Wireless Communications, Networking and Mobile Computing[C]. Shanghai, China, 2007. 1052-1055.

[9] GAO Y, LI M, HUANG Z. A symbol rate estimation algorithm based on Morlet wavelet transform and autocorrelation[A]. IEEE Youth Conference on Information, Computing and Telecommunication[C].Beijing, China, 2009. 239-242.

[10] RAHMAN S H, AHMED A I, MOHAMED O A. Analysis and performance evaluation of a digital carrier synchronizer for modem applications[A]. IEEE International Symposium on Circuits and Systems[C]. New Orleans, LA, USA, 2007. 417-420.

[11] 陳邦媛. 射頻通信電路[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2002. 288-367.CHEN B Y. Radio Frequency Communication Circuits[M]. Beijng:Science Press, 2002. 288-367.

[12] PROAKIS J G, SALEHI M. Digital Communications[M]. New York:MacGraw-Hill, 2008. 290-325.