三維側位拋物線型方位漂移軌道設計的數值算法

魯 港，夏泊洢

(1.中國石油遼河油田公司勘探開發研究院，遼寧盤錦 124010;2.中國石油長城鉆探工程有限公司工程技術研究院，遼寧盤錦 124010)

三維側位拋物線型方位漂移軌道設計的數值算法

魯 港1，夏泊洢2

(1.中國石油遼河油田公司勘探開發研究院，遼寧盤錦 124010;2.中國石油長城鉆探工程有限公司工程技術研究院，遼寧盤錦 124010)

考慮方位漂移因素的設計約束方程組是一個具有3個獨立未知數、多個隱含未知數的非線性方程組，需要使用數值迭代法才能求出其數值解。給出了解析形式的垂深增量公式，利用約束方程組中的垂深方程，將3個獨立未知數中的一個未知數表示成其他2個未知數的函數，并用之對設計約束方程組進行降維處理。剖析了隱含未知數的計算細節，給出了隱含未知數的遞推算法。提出了降維后的約束方程組的數值求解算法——縮半網格法，該算法可以快速、可靠地求出設計問題的數值解，適用于在開發計算機軟件時編程實現。

鉆井工程;大位移井;軌道設計;側位拋物線;方位漂移;數值求解

0 引言

由于地層傾角、巖石和鉆頭各向異性等因素的綜合作用，在實鉆井眼軌跡普遍存在方位漂移現象。特別是在高陡構造條件下使用牙輪鉆頭旋轉鉆進時，方位漂移問題更為突出。大多數的方位漂移為右首漂移，也有左漂的情況［1］。

如果在進行井眼軌道設計時就充分考慮方位漂移特性，可以在實鉆時減少扭方位操作和起下鉆次數，進而減少井眼軌道控制的難度和工作量。

劉修善［2］最近提出了考慮方位漂移的三維懸鏈線軌道設計問題，將經典的二維懸鏈線大位移井軌道設計推廣到了三維的情況，建立了數學模型和數值求解的基本思路，為方位漂移軌道設計技術在實際工作中的應用提供了理論框架。

本文對側位拋物線型的三維方位漂移軌道設計問題進行了研究，著重闡述了設計約束方程組的求解方法，詳細討論了可以計算機編程實現的數值算法的技術細節。

約定:除非特別聲明，文中具有長度量綱的參數其單位為m，角度的單位為rad，井眼曲率和角度變化率的單位為rad/m。

1 設計基礎

設計井眼軌道由連續光滑的多段空間曲線構成，每個分段空間曲線稱為設計井段。

側位拋物線軌道由4個設計井段構成:直井段，圓弧過渡段，側位拋物線段，穩斜段。

方位漂移軌道設計的做法是先在垂直剖面圖上進行設計，規定每個設計井段的井斜角變化規律，然后再結合方位變化率進行空間軌跡設計。

1.1 井斜角函數

在每個設計井段上，井斜角隨著井深而變化的規律是相同的，可以用下面的井斜角函數來表示:式中:α——設計井段上任意點處的井斜角;ΔL——井深增量，ΔL=L－Lb;L——設計井段上任意點處的井深;Lb——開始點處的井深。

直井段和穩斜段:

式中:αb——設計井段開始點處的井斜角。圓弧過渡段:

式中:kα——造斜率。

1.2 井斜單元

在設計軌道上任取一連續曲線段，稱之為井段。本文用設計井段和井段來區分設計軌道上具有不同屬性的連續曲線段。

設計井段上的任一井段稱為一個井斜單元［2］。

井斜單元小于或者等于、但不大于某個設計井段;一個設計井段可能劃分為多個井斜單元。

下面的情況決不會出現:某個井斜單元的上端點在一個設計井段內部，而下端點在另一個設計井段內部。

1.3 方位單元

將從井口到靶點的垂深劃分為連續的m個區間，每個區間稱為垂深區間，在每個垂深區間上給定方位變化率的數值。

按照垂深與井深的對應關系，每個垂深區間對應于設計軌跡上的一井段，該井段上的方位角變化規律如下:

式中:φ——井段上任意點處的方位角;φb——井段開始點處的方位角;kφ——方位變化率。

具有上述性質的井段稱為設計軌跡上的一個方位單元，簡稱方位單元［2］。

1.4 計算單元

式中:q——側位拋物線特征參數，m。

函數Q(x)定義如下:

對于方位單元可能會出現下面的情況:上端點在一個設計井段內部，而下端點在另一個設計井段內部。

為了避免出現這種情況，可以將方位單元再劃分成多個更小的井段，使得每個井段都是一個井斜單元。

這種既是井斜單元又是方位單元的井段稱為計算單元。在文獻［2］中也稱為細分單元等。但本文認為“細分”這個詞的語義不甚明晰，由于在漂移軌道設計時是以這樣的井段為最小劃分單元的，本文認為稱之為計算單元更言簡意賅。

2 設計約束方程組

假設整個設計軌跡可以劃分為n個計算單元，則可以給出下面的設計約束方程組［2］:

式中:ΔNi、ΔEi、ΔHi——分別為第i個計算單元的北坐標增量、東坐標增量、垂深增量;Nt、Et、Ht——分別為靶點的北坐標、東坐標、垂深。

已知參數包括:造斜點深度，圓弧過渡段造斜率，側位拋物線段初始井斜角，穩斜段井斜角;垂深區間及方位變化率。

求解設計參數:定向方位角，側位拋物線特征參數，穩斜段的段長。

2.1 坐標增量計算

計算公式如下:

式中:Li－1、Li——分別為第i個計算單元的開始井深和結束井深;ΔSi——水平投影長度增量。

式(10)～(11)中的定積分無法寫成封閉的形式，在計算時只能使用數值積分法［4］。

2.2 獨立未知數與隱含未知數

方程組(7)～(9)只有3個方程組，理論上可以求出3個未知數，要求這些未知數之間是獨立的。

另外可以看到，在完成設計約束方程組求解之前，某些井深單元的端點井深或井斜角等參數是未知的，例如側位拋物線段上的井深單元。這些未知數也需要在求解過程中確定出來，但是他們都可以根據已知設計參數或者獨立未知數計算出來，稱之為隱含未知數。

3 垂深增量公式

在坐標增量公式中，垂深增量公式(12)具有比較特殊的意義，不僅在于積分函數只與井斜角有關、從而有可能求出積分的原函數，而且方位單元是根據已知垂深來確定的，利用垂深已知性可以確定出井深單元的其他參數來。

3.1 顯式公式

將式(2)～(4)代入式(12)得:直井段和穩斜段:

圓弧過渡段:

側位拋物線段:

3.2 推論

如果知道一個井深單元的上端點的井深和井斜角，則可以計算出下端點的井深和井斜角以及段長。

例如，假設造斜率或者曲線特征參數為已知數，則從式(15)～(16)可以先求出井斜角αi，再代入式(3)～(4)求出段長ΔLi和井深Li。

而對于穩斜單元，可以直接從式(14)求出這些參數。

3.3 用于降維處理

如果能將要求解的某個獨立未知數用其他的獨立未知數來表示，則可以將求解三元非線性方程組問題簡化成求解二元非線性方程組問題。未知數的減少可以降低方程組的求解復雜度，提高計算速度。

對整個設計軌跡列出垂深方程如下:

式中:Hz——造斜點垂深;αt、Δl——分別為穩斜段的井斜角和段長。

從式(17)解得:

可見，穩斜段長Δl可以從式(8)直接計算出來，求解設計約束方程組時只需要使用前2個方程(7)～(8)即可。

如果用均勻網格法來求解方程組，初始網格點個數為:

當穩斜段長不作為獨立未知數時，初始網格點個數減少為:

即求解的空間規模降低了3個數量級，求解難度獲得降低。

4 求解方程組

記方程(7)～(9)的左端分別為F1、F2和F3，無論使用哪種數值算法求解該方程組，都需要反復計算這3個值。

4.1 隱含未知數的遞推計算

用{hr|r=0，1，…，m}表示方位單元的端點垂深序列(已知設計參數)，h0=0，hm=Hz。第r個方位單元上的方位變化率kr為已知設計參數。

用Ω={Hi|i=0，1，…，n}表示最終得到的計算單元的端點垂深序列，H0=0，Hn=Hz。第i個計算單元上的方位變化率Ki待確定。

對于設計軌跡上的第j個設計井段，假設已知其上端點處的井深L(j)0、垂深H(j)0、井斜角α(j)0，則其他已知參數會出現3種情況:

(1)已知設計井段的垂深增量ΔH(j)，例如直井段。在方位單元垂深序列中查找2個下標號r1和r2，使得下式成立:

(2)已知設計井段下端點處的井斜角α(j)1，例如圓弧過渡段、側位拋物線段等。根據式(15)～(16)可以求出垂深增量ΔH(j)。求出垂深增量ΔH(j)之后，歸結為第(1)種情況。

(3)已知設計井段的段長ΔL(j)，例如穩斜段。使用式(1)計算設計井段下端點處的井斜角α(j)1，然后歸結為第(2)種情況。

在完成上面步驟之后，該設計井段被分解成多個計算單元，并且每個計算單元端點處的井深、井斜角、垂深、方位變化率等關鍵參數都已經確定。

進一步，用式(6)計算計算單元端點處的方位角;用式(10)～(11)或者其等價的顯式表示式來計算計算單元的北坐標增量、東坐標增量、北坐標、東坐標等等。

完成第j個設計井段的計算單元劃分和井身參數計算之后，繼續對第j+1個設計井段執行同樣的操作，直到最后一個設計井段。

上述遞推過程完成之后，得到F1、F2和F3的確定值。

4.2 設計約束方程組的數值求解

經過降維處理之后的設計約束方程組(7)～(8)為二元非線性方程組，沒有解析解，需要使用數值算法求數值解(近似解)。求解非線性方程組的數值算法有很多種［5，6］，大部分算法需要使用導數信息，并且迭代初始值對算法的收斂性有較大影響，如果迭代初始值選擇不當，則迭代過程可能不收斂、或者收斂速度很慢，在方程組有多個解的情況下，還有可能收斂到偽解。

算法研制的最終目的是為鉆井設計人員(用戶)提供一套可靠性好的計算機軟件，用戶在使用該軟件時，只需要給定必要的設計參數、不必設置太多的算法控制參數就能夠快速求出軌道設計問題的解來。本著這一原則，下面給出一個具體的迭代算法——縮半網格法。

記x、y、z為方程組(7)～(9)的3個獨立未知數:定向方位角、側位拋物線特征參數、穩斜段的段長。方程左端項分別記為F1(x，y，z)、F2(x，y，z)和F3(x，y，z)，前面已經說明從垂深增量方程可以將某個參數z表示為其他2個參數的函數〔見式(18)〕:

對每個網格點(xi，yj)，利用垂深方程求出對應的第3個待定參數zij=λ(xi，yi)，然后使用第4.1節中的方法求出全部的隱含未知數并得到方程左端項的值，再代入式(22)求出網格點函數值Fij。

求出所有的網格點函數值中的最小的函數值，對應的網格點為(x(0)，y(0))，以該網格點為矩形中心將初始矩形縮小一半，得到新的約束矩形:

用新的約束矩形重復上述計算過程，直到約束矩形的邊長或者最小函數值小于給定的允許誤差時停止迭代過程。

5 結論

(1)通過垂深方程可以將3個獨立未知數中的一個表示為其他未知數的函數，從而使得設計約束方程組可以降維為二元非線性方程組，降低了數值求解的規模和難度。

(2)結合隱含未知數的遞推計算策略，縮半網格法能夠可靠地求出降維后的設計約束方程組的數值解，特別適用于計算機編程實現。

［1］劉修善.井眼軌道幾何學［M］.北京:石油工業出版社，2006.

［2］劉修善.三維懸鏈線軌道的設計方法［J］.石油鉆采工藝，2010，32(6):7－10.

［3］魯港，余雷，楊文舉.大位移井拋物線剖面設計的數值計算［J］.石油地質與工程，2009，23(5):81－83.

［4］施吉林，劉淑珍，陳桂芝.計算機數值方法［M］.北京:高等教育出版社，1999.

［5］李慶揚，莫孜中，祁力群.非線性方程組的數值解法［M］.北京:科學出版社，1987:38－119.

［6］王德人.非線性方程組解法與最優化方法［M］.北京:高等教育出版社，1979:28－113.

Numerical Algorithm for the Design of 3D Lateral Parabola Azimuth Drift Well-path

LU Gang1，XIA Bo-yi2(1.Exploration＆Development Research Institute，Liaohe Oilfield Company，PetroChina，Panjin Liaoning 124010，China;2.Engineering＆Technology Research Institute，Great Wall Drilling Corporation，PetroChina，Panjin Liaoning 124010，China)

The design constrained equations of azimuth drift is a nonlinear one that contains 3 independent and several hidden unknowns，the numerical iteration method should be used to get the numerical solution.The vertical depth increasing equation was provided，by using vertical depth increasing equation of the constrained equations，one of the 3 independent unknowns was expressed as functions of the other 2 unknowns，which were used for dimension reduction of the design constraint equations.The paper analyzed the calculation details of hidden unknowns and gave the recursive algorithm for hidden unknowns.The numerical value arithmetic of constrained equations after dimension reduction was also put forward，that was half-shrinkage grid method，which could be applied to quickly and reliably find the numerical solutions of design，especially for programming computer software.

well drilling engineering;extended reach well;well-path design;lateral parabola;azimuth drift;numerical algorithm

TE243

A

1672－7428(2012)06－0023－04

2011－12－11

國家科技重大專項“大型油氣田及煤層氣開發”之課題21－6“鉆井工程設計和工藝軟件”(2008ZX05021－006)和中國石油長城鉆探工程有限公司科技開發項目“鉆井數據管理系統配套與應用”(2010A11)資助

魯港(1963－)，男(漢族)，遼寧錦州人，中國石油遼河油田公司勘探開發研究院高級工程師，鉆井工程專業，碩士，從事石油鉆探領域數學模型及算法的理論研究和計算機軟件開發工作，遼寧省盤錦市興隆臺區石油大街95號，214811882@qq.com。