鋼琴的音源

張茂林，劉金壽

（1.國家輕工業樂器信息中心，北京 100122；2.大連大學，遼寧 大連 116622）

縱觀各類樂器，能產生初始聲波的音源主要有“弦、棒、簧、板、膜、管（空氣柱）”6種，而鋼琴的音源則是琴弦。按照“惠更斯原理”，所有發射子波的部件都可以看作波源，因而相對于聽眾，音板、琴體也可以看作是音源。所不同的是，琴弦是原始音源，音板、琴體乃是二級、三級音源而已。這里所說的音源一般常指“原始音源”。

一般弦樂器使用的琴弦較少，涉及的弦線規格也不多，而鋼琴使用的琴弦數量既大、規格又廣。1臺現代鋼琴大約采用了220根左右的琴弦，可謂數量之大；弦徑涉及幾十種，弦長區分約220種，可見規格之廣。僅從鋼絲弦徑的角度來看，從鋼琴最高音c5使用的細裸琴弦（直徑0.725 mm，長約數厘米）到最低音A2使用的纏銅弦（芯線直徑1.6 mm，長約1 m～2 m），就有近30種弦徑規格；若考慮每根纏銅弦使用的銅線的直徑，那么，鋼琴用弦就要有60余種規格了；如果再計及弦的有效長度，則鋼琴所用的約220根弦，弦長規格各有差異，這樣算來，恐怕鋼琴用弦就達到了約220種規格。

既然鋼琴的原始音源是琴弦，那么，首先就有必要了解弦振動的物理原理。

1 理想弦與實際鋼琴弦

基于日常經驗，弦在振動發音時似乎將弦拉得越緊發音越高，而弦設置越長則發音越低。那么，到底什么叫做琴弦？其發音的高、低、強、弱取決于什么因素？

物理聲學給琴弦下的定義是，張于2個固定點之間，由彈性固體材料構成的均勻、柔韌的細線稱之為琴弦。但是應該知道，現實中絕對符合這個定義的琴弦根本不存在，它只能作為一種抽象的理想模型，因為，不能期望人工或大自然制成的弦能夠達到完全的細瘦均勻，也不能追求絕對的柔韌和剛強。現實中，粗細、均勻、剛柔都是相對的。較剛硬的弦，一旦增加其長度，就會顯得柔韌；而較粗的弦，如果是很長的一段，也會相對顯得細。如此相對，反之亦然。這個道理實際就是數學分析中常用的“相對性原理”，例如，若有r<

上面雖然定義的是“理想弦”，但卻可以為研究提供一個賴以比附的模型。在研究自然科學中常常是這樣做的：定義一個現實中并不絕對存在的理想模型，卻能夠為許多研究的具體事物提供一個定量標準及一種理論規范。這樣，就能夠對許許多多的事物加以一定的條件限制，從而使其簡化或近似為理想模型，以利于問題的研究和解決。例如幾何學中的點、直線、平面，力學中的質點、光滑平面、勻速運動，電磁學中的點電荷、電偶極子、無限大帶電平面、電流元、磁偶極子、無限長螺線管……按照這個思維，上述物理聲學給琴弦下的定義實際上給了琴弦一個理想模型的定義。

圖1 鋼琴三音區的弦列概況

圖2 弦振動的波腹波節與振幅

圖3 琴弦的分段振動

在現實的眾多弦鳴樂器中，絕大多數弦樂器的琴弦大體接近理想弦，都能夠按照理想弦振動模型來做近似分析，因為它們大都比較接近柔、細、輕的理想模型，例如小提琴、吉他、二胡、柳琴等。可是，鋼琴卻有所不同，它的中音區琴弦比較接近理想模型，而高、低音區，特別是最高、最低兩端琴弦卻明顯偏離了理想模型，原因就是高音弦太短，低音弦太粗（見圖1）。因此，偏離理想模型較遠的高、低兩端音區，在實際調律中就出現了“高音偏高、低音偏低”的基頻偏離十二平均律理論值的現象。這是一種必然，因為十二平均律的音高理論值是根據理想模型算出來的。

2 弦的振動方式

要使1根琴弦振動起來，必須具備4個條件。第一要有支點，第二必須懸空，第三要松緊適度（張力恰當），第四要施加激勵（擊奏或摩擦）。概括而言就是必須具備“端點、懸空、張力、激勵”4個條件。具備了這4個條件而振動起來的弦，其振動方式與狀態也較為復雜，一般用肉眼只能觀察到它的橫振動。實際上，當它受到激勵時，還附加、包含有縱振動、扭轉振動、倍頻振動等等，只是因為它們較弱，難以被直接觀測到。

2.1 橫振動

橫振動是一種與弦體走向相垂直的振動。弦的橫振動粗看起來呈棗核形，其兩端不動，為振動的“節”；中間振幅最大，為振動的“腹”，如圖2所示。

值得注意的是，在弦的全長振動的同時，弦還做1/2、1/3、1/4……等分段振動，如圖3所示。

全長振動產生基音，基音的頻率基本決定著琴弦發音的音高；分段振動產生諧音（泛音），在理想情況下，它們是頻率為基頻整數倍的一系列諧音列（泛音列），諧音的多少及強弱則關系到弦音的音色與品質。

就理想弦而言，諧音的音量一般都要比基音的音量小。諧音的音波振幅（能量）大體與它們的序數成反比，是按1/n（n為諧音序數）逐級下降的，如第二諧音波的振幅為基音波振幅的1/2，第三諧音的振幅則為基音波振幅的1/3，第四諧音的振幅則為基音波振幅的1/4……

那么有沒有泛音的振幅超過基音振幅的情況呢？筆者曾于1988年，在原北京樂器研究所反復觀測過鋼琴最低音的“第一泛音（即第二諧音）的振幅明顯高于基音振幅，第二、三泛音的振幅明顯偏強”的儀器顯示情形，當時使用的是丹麥的電腦頻譜分析儀。至于為什么會出現這種反常現象，筆者分析認為，主要原因當屬鋼琴最低音弦偏離理想弦模型較遠，是最低音弦“過粗、過重、多層纏銅”既笨重又偏長的特殊結構，使其出現了第一泛音的振幅超越基音振幅以及第二、三泛音的振幅明顯偏高的現象。這一“最低音弦的泛音振幅異常”的現象基本上揭示“為什么許多人分辨鋼琴低音的音準困難”的原因。

圖4 弦的縱振動

圖5 弦的扭轉振動

圖6 豎琴琴弦的倍頻振動

2.2 縱振動

弦做橫振動時，其長度實際上也在做周期性變化，從而導致張力亦發生著周期性變化。這種張力的周期性變化會使弦同時產生縱向振動，即與弦的走向一致的伸縮運動，如圖4所示。

在同一條弦上，縱振動的頻率要比橫振動的基頻高得多，其本身也伴有一系列諧音，因而它們對弦發音的音色有一定的影響。各種樂器音色各異，有些樂器音色獨特，其原因除了主要源于琴弦的泛音而外，與弦的該類縱振動也有關系。

縱振動的頻率除與弦長、線密度有關外，還與弦材料的彈性模量有關。

2.3 扭轉振動

當用琴弓擦弦或用手指、撥片撥弦時，弦除了做橫振動、縱振動外，同時還會做扭轉振動，如圖5所示。

扭轉振動的頻率比橫振動基頻要低，其基音亦有一系列諧音伴隨。扭轉振動對弦發音的音色也有一定的影響。

扭轉振動的頻率除與弦長、密度有關外，還與弦的剛性系數有關。

2.4 倍頻振動

由于弦樂器的掛弦點不是絕對固定的，所以，弦樂器一般都不同程度地存在倍頻振動。弦在做橫振動時，每完成一個周期，與弦連接的物體（如堅琴的音板）就會被帶動并振動兩次，其基頻為橫振動基頻的兩倍，故謂之倍頻振動。如圖6所示，C、B兩點間距的長度即為豎琴音板發生倍頻振動的幅度。

這種振動與弦的橫振動同步，它加強了弦的二次諧波。倍頻振動也有自身的諧音系列，它對弦發音的音色同樣能產生一定的影響。

在樂器的實際演奏中，弦的上述4種振動方式常常是組合共存的。橫振動必然引起縱振動，撥弦或擦弦又會引發扭轉振動（擊弦沒有扭轉振動），至于倍頻振動，只要栓掛琴弦的部件在弦長的方向上有彈性，就總是會發生的。樂器的結構、激發弦的方法，決定了上述振動方式各自所占的份量和比例。

需要強調的是，在弦振動的所有方式中，橫振動的能量最大，作用也最為突出和重要，其基頻基本決定了發音的音高，其諧音列在弦的音色上起主導作用。正因為如此，不少文獻、資料在論及弦振動時，只講橫振動而不提及其他3種振動方式。一般提及的“弦振動”，在沒有特別聲明時往往默指橫振動。

3 理想弦的振動頻率

在物理學中，稱均勻、細長、輕質、柔順弦為理想弦。理想弦振動的頻率可按下面公式計算：

式中：

fn—頻率； n—諧音序數（n＝1，2，3……）；—有效弦長；T—弦張力；—線密度。

由上式可知，振動頻率與弦長成反比，與張力的平方根成正比，與弦的線密度的平方根成反比。利用上式不僅可以計算弦振動的基頻，而且可以計算弦振動的各級諧頻。

表1 理想弦各倍頻數值表（取65.4075 Hz即C做基頻）

……

這樣，就得到了一根理想弦振動的一系列諧頻表達：

f1，2 f1，3f1，4 f1，5 f1，6 f1，7 f1，8 f1，……

可見這一系列諧頻都是 f1的純倍頻。倘若令 f1為小字一組 a1的基頻，即f1= 440 Hz ，那么，就可得到該弦各級諧波的諧頻：

440 Hz，880 Hz ，1320 Hz，1760 Hz ，2200 Hz，……

顯然，改變弦長是用以改變頻率的便捷途徑，這一點已為許多弦樂器所利用。

上式既然是屬于理想模型的，因此，用上式計算出的結果就與實際情況會有一些出入。因為樂器中實用的弦并非完全理想，它們有的相對柔、細、輕而近于理想，有的則相對偏剛、偏粗、偏重，偏離了理想弦的模型。還有，一些琴弦的振動也并非完全受張力制約，非張力振動產生的頻率成分也不能用上式計算。但是，考慮到大部分琴弦比較接近理想模型，琴弦的主體振動又主要偏重于橫振動，因此在討論一般問題時，忽略次要成分，將振動頻率分布按上式分析計算，基本不妨礙對問題主要矛盾的研究與解決。

表2 鋼琴弦振動產生的14個分音及其與分音的和諧程度（取C1為基頻）

圖7 理想弦振動的諧音圖 （以 C1音的前16個分音為例，不計及能量）

4 理想弦的諧音列

在弦的4種振動方式中，橫振動的能量是最強的，它基本代表了弦振動的主要成分；用理想弦模型基本可以抽象地代表除了鋼琴最高、最低音區以外所有琴弦以及其他各種樂器琴弦。因此，掌握理想弦橫振動的諧音列，是理解鋼琴弦以及其他樂器琴弦諧音列、音色的基礎。

4.1 理想弦振動的諧音列是一個線性的純倍頻音列

設一條理想弦，其全長振動發出的基音為大字組的C音，則其分段振動所產生的一系列諧音（也稱分音）的對應音高在五線譜中的相對位置如圖7所示。

圖7譜表中的每一個音都與下側坐標標示的一個阿拉伯數字相對應，這些阿拉伯數字就是（1）式中的 ，它具有如下含義：

1）表示每個諧音的序數；

2）表示弦分幾段振動；

3）表示各次諧音相對于基音（第一諧音）頻率的倍數；

4）利用這些數字還可以計算各個諧音之間的頻率比。

例如：

譜表中標以“l”的音（C）是第1諧音（也稱基音），它對應于弦的全長即“一分段”的振動，其頻率即為基頻，是基頻的1倍頻，數值是65.4075 Hz；

譜表中標以“2”的音（c ）為第2諧音，它對應于弦的兩分段振動，其頻率是基頻的2倍頻，數值是130.815 Hz；

譜表中標以“3”的音（g）為第3諧音，它對應于弦的三分段振動，其頻率是基頻的3倍頻，數值是196.2225 Hz；

譜表中標以“4”的音（c1）為第4諧音，它對應于弦的四分段振動，其頻率是基頻的4倍頻，數值是261.63 Hz；

譜表中標以“8”的音（c2）為第8諧音，它則對應于弦的八分段振動，其頻率是基頻的8倍頻，數值是523.26 Hz。

……

表1列出了理想弦各倍頻數值，表2為鋼琴弦振動產生的14個分音及其與分音的和諧程度。

4.2 諧音列各諧音之間的頻率比

在理想弦的諧音列中，各諧音之間的頻率比如下：

第2諧音與第1諧音（基音）的頻率比為2∶1；

第3諧音與第2諧音的頻率比為3∶2；

第4諧音與第3諧音的頻率比為4∶3；

第5諧音與第4諧音的頻率比為5∶4；

第5諧音與第3諧音的頻率比為5∶3；

……

音樂工作者習慣把高于基音的諧音稱為泛音，把諧音列稱為泛音列。不管哪種稱呼都應該注意，諧音的序數與泛音的序號并非相等，而是要錯開一位。諧音的序號與泛音的序號具有如下的對應關系：

圖8 鋼琴的低音弦列

基音是一致的，但在諧音列中常稱其為第一諧音；

第2諧音對應于第1泛音；

第3諧音對應于第2泛音；

第4諧音對應于第3泛音；

……

在學習與研究的過程中，分清諧音與泛音的對應序號十分重要，不可將二者混為一談。

4.3 實際弦振動之諧音列的非純倍頻現象

在理想弦振動的諧音列中，各諧音的頻率都是基頻的純倍數，即各諧音都是基音的倍頻音。在數學中，將這樣的純倍頻關系稱作線性關系。與之相對應的是，實際的琴弦并非符合絕對的柔、細、輕，因而，它們或多或少地會具有偏離理想弦的傾向（見圖8）。所以，在實際的弦振動中，各諧音的頻率就不一定都是基頻的純倍頻了，它們會相應地表現出對于純倍頻的一些偏離。但是在一定的精度范圍內，為了討論問題的方便，忽略這類影響不大的偏離，也不失為一種奏效的研究方法。通常將實際弦振動中諧音頻率偏離純倍頻的現象，稱為諧音列的非純倍頻現象，這種非純倍頻因素就構成了實際弦振動音波中的非諧成分，它也會影響音色的形成。

可以想象，在實際的弦振動中如果再計入其他3種振動方式的影響，上述的偏離純倍頻的現象可能還要加劇。實際琴弦諧音列的非純倍頻現象在一般的細弦樂器中并不明顯，但在鋼琴的高、低兩端音區中卻產生了不可忽視的影響。這種影響的直接效果就是，按照聽覺調律即“充分保證八度純”所校準的鋼琴，出現了“高音偏高，低音偏低”的基頻偏離十二平均律理論值的現象（見圖9）。這個現象也是鋼琴所特有的，因為只有鋼琴兩端音區的琴弦明顯偏離了理想弦模型，并且它們發音的頻率也比較接近人耳接受樂聲的頻段。

圖9 鋼琴的音準曲線

“高音偏高，低音偏低”現象的具體原因不止如此，詳細的分析將在后面“聽覺調律的基礎訓練”內容中討論。需要說明的是，凡是不涉及鋼琴的兩端音區的討論，套用理想弦振動的模型及其頻率計算公式（1），一般不會太多地影響問題的實質。

4.4 弦振動諧音列中的非協和音

與十二平均律的具體音高相比，理想弦振動的第7、11、14諧音明顯偏低，第13諧音明顯偏高（見圖7譜表）。這表明純倍頻的諧音與理想的十二平均律之間存在著不相容的成分，這種不相容恰恰說明了十二平均律與純倍頻音律——純律的沖突。按照類似純倍頻諧音關系遞推出的純律，其各級音程與十二平均律的相應音程是不一致的。于是，上述明顯偏低的第7、11、14諧音和明顯偏高的第13諧音，還有與基音的音程關系為三個八度加大二度的第9諧音，以及因嚴重偏低而無法納入樂音音階的第13諧音，就構成了理想弦振動諧音列中的不協和成分。通常稱這第7、9、11、13、14諧音為理想諧音列中的非協和音，正是這種非協和音的存在，引發了純律的增四度、增五度、減七度、小二度等幾個音程的合音具有最差的和諧程度，對應于十二平均律也如此。凡事物都有兩重性，鋼琴的這些非諧成分要比一般樂器的非諧成分能量大，可以設想它也更能影響到鋼琴音色的個性。

5 擊弦點

要讓琴弦發音，必須要有激發它振動的著力點，該著力點可以被敲擊、撞擊、撥擊，也可以被擦弦拉奏，籠統地稱琴弦的該著力點為擊弦點。鋼琴弦的振動要靠木氈槌的撞擊。樂器的設計、制作與演奏，很講究擊弦點的位置，這是因為該點位置與樂器發音的音色關系密切。通過調整或改變擊弦點的位置，可以改變樂器發音的音色。

物理學家T·Young在研究用各種方法激發琴弦振動時發現：一條弦被激發振動時，波腹處在擊弦點上時，其對應的分音被加強；而波節處在擊弦點上時，其對應的分音則被抑制或消除。由此，他得出這樣的結論：彈性體在一定位置上受激發使之振動，那么，這個位置是彈性體振動的波腹而不是波節；如果在一定位置上止住彈性體的振動，那么，這個位置是彈性體振動的波節而不是波腹。

例如：敲擊琴弦的中部時，弦的中部必為振動的波腹而非波節，那么，波腹在此處的全弦振動（第一分音）、1/3弦長振動（第3分音）、1/5弦長振動（第5分音）……均被加強。而波節在此處的 1/2弦長振動（第2分音）、1/4弦長振動（第4分音）、1/6弦長振動（第6分音）……則被抑制或消除。

若激發弦的 1/4處，波腹處在此位的 1/2弦長的振動將被加強；而波節處于擊弦點上相應的1/4、1/8、1/16等弦長的振動則被抑制或消除。

下面再介紹在一定位置上止住弦振動的情況。典型的例子是泛音奏法。在小提琴或二胡上，如果用左手指輕觸弦長的 1/3處，用右手運弓擦弦，這時就能聽到一個非常清純的比基音高十二度（八度加五度）的泛音。這是因為，左手指輕觸在弦的1/3處時，抑制、消除了波節不在此處的第1、第2、第4等等分音，只有第3分音的波節恰好處在止住弦振動的位置，而被保留下來。如果輕觸 1/2、1/4位置，則可分別奏出高一個八度、高兩個八度的泛音來。

T·Young的這個發現和結論被稱為“楊氏定律”，該定律同樣適用于弦以外的其他類型的樂聲振動體。根據“楊氏定律”，通過調整樂器發音體的激發位置，可以在一定程度上改善樂器的諧音組合，從而改變了樂器的發音。這種激發位置的改變，有可能得到或是趨近于所希望得到和追求的音色。

樂器設計與制造家們歷來都非常重視擊弦點問題，對于鋼琴而言更是如此。有學者用數學物理方程的計算表明，鋼琴弦在正常條件的約束下產生的振動諧音列，一般都可以表述為正弦或余弦波的諧波序列。在琴槌的撞擊下，琴弦的各次諧波一般都按照諧波序號n的倒數1/n的規律衰減；而撥弦情況下，琴弦的各次諧波則按照1/n2的規律衰減；擦弦情況下弓停則音消，幾乎不存在余音，更談不上衰減了。可見鋼琴琴弦的泛音要比以其他激勵琴弦的方式的樂器所產生的泛音要豐富、持久和強烈，這也是鋼琴音色與眾不同、個性獨特、莊重美麗的原因之一。

當音槌中心恰好撞擊在第n次諧波的節點上時，所對應的第n次諧波就受到制止不會出現。一條弦的第7、9、11、13、14分段的振動，能產生出與基音不相融合的一些非諧分音，所以若將弦槌擊弦點選在弦長的1/7、1/9、1/11、1/13、1/14附近，可以有效地抑制這類與基音不相協和的成分，而使音質得到改善或美化。在上述7個非諧分音中，第7、第9能量最大，影響明顯，所以在鋼琴制造和調修中，常選琴弦的1/7、1/9處做擊弦點，在最高音區可以考慮選弦長的1/13、1/14處做擊弦點。

在鋼琴的實際調修中，由于弦槌擊弦的部位是一個有一定寬度的“曲面”而不是一個“點”，再加上尋找琴弦的1/7、1/9、1/11、1/13、1/14較難精確定位，所以，具體操作時就需要邊試邊調，操作經驗和聽覺功力就顯得十分重要。調整鋼琴弦槌擊弦點的具體的方法就是，調制或修正弦槌與槌柄的仰角。在新裝配鋼琴時，通過調整槌柄和槌骨孔壁的膠結位置來進行，舊琴則需要用酒精烤棍加熱融化槌柄和孔壁的粘膠，以微微改動琴槌的仰角來實現改變擊弦點。筆者就曾經利用此法，通過調整高音區諸多弦槌擊弦點位置的方法，提高了不少鋼琴高音區的亮度，也消弱過一些鋼琴高音的燥度。

[1] 繆天瑞.律學.北京：人民音樂出版社，1996

[2] 李時中.談鋼琴弦列最佳擊弦點的理論與實踐.樂器.1992（1）