一維小變形主、次固結耦合理論模型分析

仇玉良，丁洲祥,

（1.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；2.中國礦業大學 深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室，江蘇 徐州 221008）

1 引 言

土體的變形與時間有關，既包含超靜孔壓消散逐漸轉換為有效應力帶來的影響，也包含有效應力與應變關系的不惟一而與時間有關所產生的影響，前者稱為主固結效應，后者稱為次固結效應[1]。土體的主、次固結效應一直是土力學研究中的一個重要問題。經典 Terzaghi固結理論假定土體的應力-應變關系是線性、彈性和與時間無關的，這與土體實際上的應力-應變時間相關性相矛盾。

為了克服Terzaghi理論的這一局限性，歷史上曾提出了不少改進方法。Ladd等[2]將這些改進的固結理論概括為假說A和假說B，如圖1所示。

圖1 Ladd等[2]提出的假說A和BFig.1 Hypotheses A and B proposed by Ladd et al.[2]

假說A將主固結變形和次固結變形截然分開，用Terzaghi理論計算主固結變形，而用次固結系數計算主固結完成后的蠕變變形。假說A隱含著一個假定，即在主固結完成時，土體應力-應變關系是惟一的，并且與土層厚度無關，但該假定與大量試驗結果相左[3]。假說B假定蠕變出現在整個固結過程中，這與連續介質力學中的流變學和黏塑性理論一致[3]，機制較為嚴謹，近年來不少學者傾向于支持此觀點[4]。在假說B范疇內，殷建華等[3,5]提出了著名的EVP模型，并基于該模型的固結分析模擬了孔隙水壓力升高和有效應力減小的現象，這一現象已經在若干現場試驗中得到證實，但之前從未被其他模型和固結理論所解釋。丁洲祥等[6]提出了一個考慮大變形的主、次固結耦合新模型，將主、次固結效應問題的研究推廣到考慮大變形，即材料非線性和幾何非線性的情況。

本文將根據丁洲祥等[6]新近提出的模型的一個退化模型，探討在一維小變形情況下，主、次固結耦合發展的一般規律，通過分析也發現了EVP模型所預測到的孔壓升高和有效應力減小的現象。此外，還就主、次固結耦合機制和模型中新參數的合理確定等問題進行探討，為主、次固結耦合理論及工程應用研究提供新的參考。

2 一個小變形主、次固結耦合模型

首先引入以下3個假設條件：

（1）不考慮土體重度變化、固相速度、地表沉降速度、地下水位變化（土體始終位于地下水位以下）以及荷載變化等因素的影響；

（2）土體變形很微小；

（3）滲透系數為常數。

丁洲祥等[6]提出的基于超靜孔壓為控制變量的一維大變形主、次固結耦合模型就可以退化為小變形主、次固結耦合模型

式中：u為超靜孔壓；t為時間；e0為初始孔隙比；γw為孔隙水的重度；k為滲透系數；av為壓縮系數；z為普通的縱坐標；Cα為次固結系數。

可以將式（1）簡記為

式中：Cv為經典Terzaghi固結理論中的固結系數；Cps為新引入的主、次固結耦合系數，兩者分別定義為

當Cps=0，即Cα=0不考慮次固結影響時，式（2）就退化為經典的Terzaghi固結理論模型。或者說，式（2）是Terzaghi理論向考慮主、次固結耦合方向發展的一個模型。

式（2）對應的無量綱形式為

式中：u0為外荷載引起的初始超靜孔壓；H為排水路徑的長度；Csc為無量綱的主、次固結耦合系數。

正常固結均質土體在單面排水（上邊界排水、下邊界不透水）和瞬時加荷情況下的初、邊值條件分別為

模型式（5）及式（10）～（12）構成一個定解問題，可以采用有限差分解法進行數值分析?？紤]到有限差分技術已經發展成為較成熟的分析方法，這里對該方法不再詳述，可參考文獻[7]。由于Crank-Nicolson格式具有二階精度和無條件穩定性，本文采用該格式進行計算。

3 數值分析

3.1 超靜孔壓隨時間的發展規律

算例分析擬針對正常固結均質土體在單面排水和瞬時加荷情況下超靜孔壓的發展規律進行對比和討論，有關數據均采用無量綱量。

圖2給出了底部不透水邊界（Z=1）上的超靜孔壓U隨時間因數T的發展規律。在固結起始時刻，超靜孔壓不是像經典Terzaghi模型預測的那樣不斷減小，而是表現出不斷增加，直至達到某一極大值后才呈現不斷消散而下降的趨勢。主、次固結耦合無量綱系數Csc對超靜孔壓發展規律具有較大影響。當Csc=0時，超靜孔壓曲線上觀察不到孔壓值升高的特殊現象，這是因為此時的主、次固結耦合模型完全退化為Terzaghi模型的緣故。而隨著Csc在數值上依次從0.05、0.10、0.20增大到0.40，固結初期的超靜孔壓增大的現象越來越突出。這一現象是經典 Terzaghi理論所不能解釋的。而著名的Mandel效應也無法解釋。Mandel效應解釋了總應力增加情況下超靜孔壓的異常增大，相應的有效應力未必降低；而此處為總應力不變情況下超靜孔壓超過外荷載的特殊情況。由于這里的問題屬于一維情況，因此，總應力保持不變，超靜孔壓的增大必然會引起有效應力的降低，這是顯著區別于Mandel效應之處。

圖2 不透水邊界上的超靜孔壓U隨時間因數T的發展Fig.2 Development of excess pore pressure U with time factor T at impervious boundary

殷建華等[5,8]利用EVP模型先后對理想黏土層的一維和多維固結進行模擬分析，較早發現在常荷載條件下，孔隙水壓力的升高及相應的有效應力減小的現象，并認為其機制是黏性（蠕變）效應。本文模型也同樣可預測到此效應，并且在模型上更為簡潔。

3.2 超靜孔壓的時空分布規律

超靜孔壓U沿埋深Z的空間分布規律如圖3所示。其中，時間因數T分別取T=0.090241和T=0.611807作為典型時刻，無量綱主、次固結耦合系數Csc分別取0.00、0.05、0.10、0.20和0.40進行對比。

在地表Z=0處，超靜孔壓始U終為0，符合排水邊界條件假設。隨著埋深的增加，不同主、次固結耦合系數Csc對應的超靜孔壓之間的差別越來越大，在不排水邊界，即Z=1處相應的偏差達到最大值。在同一埋深Z處，隨著Csc的增大，考慮主、次固結耦合的超靜孔壓U值愈加偏大于僅考慮主固結即Csc=0的情況，反映了次固結效應的影響。

圖3 超靜孔壓U沿埋深Z的分布規律Fig.3 Variations of excess pore pressure U with depth Z

圖4分別給出了不同Csc值對應的超靜孔壓隨埋深和時間發展的三維曲面。其中，圖4(a)中的Csc取為0，反映了不考慮次固結情況下Terzaghi主固結理論預測的超靜孔壓的時空變化規律。從中清楚可見，不同埋深處的超靜孔壓隨時間因數增加而趨于消散的整個過程，并且在固結初期并沒有出現超靜孔壓增大的現象，這是符合理論解釋的。

圖4 超靜孔壓的時空分布規律Fig.4 Distributions of excess pore pressure along time and spatial domain

圖4(b)、4(c)分別給出了Csc取代表值0.1和0.4時超靜孔壓的時空分布規律。在固結初期，不排水邊界附近土體的超靜孔壓出現先增大而后才逐漸消散的現象，而在近排水邊界附近，土體超靜孔壓隨時間發展不斷消散，沒有出現超靜孔壓增大的現象，這是由于在排水邊界附近，土體超靜孔壓易于消散的緣故。主、次固結耦合系數Csc取較大值時，在土體主、次固結耦合發展過程中次固結效應表現更加突出，固結初期的超靜孔壓會有更大的增加。可見，考慮主、次固結耦合的情況下，土體中的超靜孔壓發展規律明顯不同于經典Terzaghi固結理論的結果，這也可作為從超靜孔壓發展角度，區別主、次固結機制的判斷條件之一。國內外均有不少關于土體超靜孔壓增加，而Biot理論和Mandel效應均無法解釋的工程實例報道[3,5]。鑒于主、次固結機制存在本質不同，以往通過調整主固結系數來擬合工程實測的超靜孔壓或沉降速率的傳統方法，可能會存在一定局限性，尤其在初期孔壓升高的情況下。因此，在固結機制研究中考慮次固結效應，可為解釋此類現象提供理論分析依據，具有較好的工程應用前景。

4 討 論

4.1 關于主、次固結耦合機制

4.1.1 早期認識

Taylor和 Merchant[9]在 MIT首次嘗試對Terzaghi固結理論進行完善，認為固結過程中的孔隙比是時間t和有效應力σ′的函數，e=f(σ′,t)。因此，孔隙比的變化率為

對式（13）進行積分，

作為選擇，式（14）也可表述為

式中：tp為主固結結束或次固結開始的時刻。

對比式（14）與式（15），當t＞tp時，dσ′/d t=0。式（15）右端第1積分項表示主固結階段，而第2積分項則表示次固結階段。顯然，(?e/?σ′)t和(?e/?t)σ′兩者均對主固結壓縮有貢獻，而且只要(?e/?t)σ′不為0，次固結變形就不會停止發展[10]。

4.1.2 兩類假說的爭議

龔曉南[4]認為，產生次固結的機制研究尚未取得一致意見，大致可以分為以陳宗基為代表的“次固結就是蠕變”和De Jong為代表的“次固結是更為細小的孔隙網絡中的水力固結”等兩大類觀點[4]。曾玲玲等[11]還從土體結構性角度深入研究了軟土的次固結機制，但尚未討論有關的主、次固結耦合問題。相對而言，國際上較普遍接受的是Ladd等[2]總結提出的假說A和假說B分別對應于不同的主、次固結耦合機制。

國內若干著作中關于次固結機制的解釋大多可歸于假說A。例如，錢家歡[12]認為，次固結發生在固結后期，此時超靜孔壓雖已消散為 0，但土粒表面的吸著水層受壓變形，離開土粒表面較遠的那部分吸著水逐漸轉變為自由水，這樣引起的地基土的壓縮產生次固結沉降，并持續時間極長。李廣信[13]、黃文熙[14]對沉降類型的劃分中，提到次壓縮沉降基本上發生在土中超靜孔壓完全消散以后，是在恒定有效應力下的沉降。陳希哲[15]認為，次固結是地基在外荷載作用下經歷很長時間，土體中超孔隙水壓力已完全消散，在有效應力不變的情況下，由土的固體骨架長時間緩慢蠕變所產生的沉降成為次固結沉降。

近些年來，國際上有不少研究成果開始傾向于支持假說B而否定假說A。其中，日本學者在此方面也作了一定貢獻，例如 Murakami[16]對主固結階段即超靜孔壓消散過程中的次壓縮（次固結）特性進行了試驗研究，認為主固結階段的次壓縮應變隨著黏土層厚度的增加而增大，僅當有效應力超過準先期固結壓力時次壓縮才會發生并可表述為壓縮歷時和壓縮應變的某一函數；Imai等[17－18]采用內聯固結儀，通過試驗驗證了主固結過程中存在蠕變壓縮，還提出了相應的數學模型。值得注意的是，也出現了一種反對意見，Mesri[10]認為過去研究中拒絕假說A或支持假說B的原因在于使用了一些誤導性的解釋。Ladd等[2]的假說B采用流變模型進行預測，其中蠕變作為單獨的現象產生作用，Mesri[10]認為，蠕變在主固結階段也發生作用，并不是一個獨立現象，因為(?e/σ′)t和(?e/?t)σ′相互作用并且均依賴于dσ′/dt和tp。因此，假說B未必正確。另一方面，Jamiolkowski等[19]在重述假說A和B的定義時，認為假說A假定蠕變僅在主固結結束后才發生，這與國內若干著作和常用教材所述基本一致。根據Jamiolkowski等[19]的這一假定，同時注意到蠕變的確在主固結階段就已發生，于是Leroueil斷定假說A 是錯誤的[10]。此外，Mesri[10]還糾正了以往認識的主固結階段沒有次固結發生的錯誤，因為式（15）右端第1項中含有(?e/?σ′)t項；他甚至認為，目前還未有可靠的室內試驗或現場測試數據證明假說B的合理性。

可見，關于主、次固結耦合機制的認識目前仍處于探索抑或爭議階段。在此背景下，本文模型的特點是屬于全時程的主、次固結耦合模型，即直接運用式（14）而非式（15），這樣就避免了應用中難以確定tp的問題。在新模型中土體超靜孔壓分別由主、次固結機制引起，并耦合在一起同時發展，這樣對于固結后期，仍然存在超靜孔壓的消散，而不是某些文獻所謂的超靜孔壓為0。

4.1.3 超靜孔壓的發展

關于次固結階段的超靜孔壓問題，筆者認為，在兩相不可壓縮的前提下，如果飽和土的次固結僅僅引起壓縮變形而不產生超靜孔壓，則從連續介質力學的基本原理來看，將違背質量守恒定律。因為按質量守恒定律，次固結引起土體體變的過程必定伴隨著孔隙水的排出，而孔隙水的流動理應源于超靜孔壓的不均勻分布和發展，超靜孔壓不應為 0，否則就不會有體變發生。從這種意義上看，De Jong為代表的次固結[4]是一種特殊意義的水力固結的觀點具有一定的合理性。Mitchell和Soga[20]的新近觀點也修正了以往認為的次固結階段沒有超靜孔壓的片面認識，即在次固結（次壓縮）階段，土體內部和邊界之間應存在某一小的靜水壓力差。這些認識和本文模型思想基本一致。

圖5 主、次固結分別引起的超靜孔壓隨時間的發展規律(不排水邊界上)Fig.5 Variations of excess pore water pressure with time caused respectively by primary and secondary consolidations (at impervious boundary)

根據本文模型，圖5給出了主、次固結耦合系數Csc分別取值0.1和0.2時，主、次固結機制各自引起的不排水邊界上超靜孔壓U隨時間因數T的發展規律。其中，主固結機制引起的超靜孔壓按Terzaghi理論即Csc取0計算而得，次固結機制引起的超靜孔壓按本文模型Csc取0.1和0.2時的結果減去對應的Csc取 0的結果而得?？梢?，主、次固結機制分別引起的超靜孔壓隨著時間共同發展，在固結初期，次固結引起的超靜孔壓隨時間發展出現增大而非消散的現象，如前文所述；對固結后期，主固結引起的超靜孔壓相比次固結引起的超靜孔壓消散得更快，并在量值上小于后者的結果，出現“次固結占優”的現象。從這種意義上看，通常說的主（次）固結階段改述為主（次）固結占優階段似乎更合適一些。

進一步分析，如果以國際上的一種觀點，即不排水邊界上超靜孔壓消散至 99%作為主固結的結束[10,18]時間tp，那么按圖5所示規律，此后的超靜孔壓不是不產生，而仍在發展，只不過其量值總體上已經非常小。對于Csc=0.05的情況，按本文模型和處理方法，當T=3.16時不排水邊界上的超靜孔壓消散將達到99%。此時，次固結引起的超靜孔壓值將超出主固結引起的超靜孔壓值達17.8倍左右。此后，這一高達1個數量級的相對偏差將趨于不斷增大，說明次固結階段的主、次固結耦合將轉變為以次固結機制為主。這一結論可為工程上常用的確定次固結系數Cα的方法提供新的理論參考和依據。

4.2 關于新參數Csc

模型參數的合理確定是理論模型面向工程應用的關鍵問題之一。下面討論新參數Csc的確定方法。

4.2.1 Cα/Cc概念的應用

Mesri和 Godlewski提出了Cα/Cc概念[21]，這一概念目前已獲得業界認可和應用[22－23]。Mesri和Castro[24]認為，Cα/Cc連同EOP e-logσ′曲線完整地定義了各類土體的次壓縮（次固結）特性。一般地，在固結壓力范圍內，當Cc隨有效應力σ′保持不變、減小或增大時，相應地有Cα隨時間保持不變、減小或增加，Mesri通過大量試驗數據分析后認為

式中：C為試驗常數。對于大量的天然材料，包括泥炭、有機淤泥、高靈敏性黏土、頁巖以及顆粒材料，C的數值一般介于0.02～0.10范圍內。對于大部分無機軟黏土而言，C=0.04 ± 0.01；而對高塑性有機黏土，C=0.05 ± 0.01。

對于本文情況，考慮到式（16）及式（17）

這樣，式（4）的Cps就可表示為

這表明在 Cα/Cc為常數概念的基礎上，Cps與有效應力σ′成正比例關系。

再將式（18）代入式（9），得到Csc的計算公式

可見，隨著固結過程中有效應力σ′的增大，Cps和Csc也將增大，按本文模型來分析，固結后期的次固結效應將愈加顯著。結合式（19）與Mesri和Castro[24]研究結果，還可以得到一個較實用的初步結論：大部分無機軟黏土的Csc值在固結過程中一般不超過0.03～0.05。

4.2.2 Csc變量的應用

如果進一步考慮到Csc是一個變數，隨著固結過程和有效應力σ′的發展而變化，為了應用方便，可將式（5）所示的模型簡化為

這樣，就可以采用試驗常數C代替變數Csc，但相應的代價是，模型的合理性和適用范圍將受到Cα/Cc概念的限制。關于模型式（20）的求解，同樣可有多種選擇，其定量分析結果應該有別于前文，但一般不會改變前文有關的定性認識，因篇幅所限，這里不再做深入討論。

4.2.3 主、次固結耦合模型的完善方向

在固結過程的不同階段中，如何合理地考慮和確定有關參數的變化規律在模型應用和發展中居于核心地位。借鑒Imai等[17]內聯固結試驗結果及其處理方法[16]，可以得到主固結過程中有效應力為常數情況下的e-lgt曲線，由此可以較好地確定主固結過程中的次固結系數即式（1）中的Cα，或式（2）中主次固結耦合系數Cps。作為初次討論，為簡便起見，前文的主、次固結耦合分析結果實質上存在主、次固結占優階段Cα均為同一常數的簡化假定，隱含了一定的適用條件?？紤]到在主或次固結占優階段，有效應力保持不變條件下e-lgt曲線的斜率或Cα值可能受到應力水平等因素影響存在或大或小的變化，針對某一給定土體開展相關的試驗研究，結合試驗結果對主、次固結耦合理論模型進行修正和完善，也是值得加強研究的重要方向。

總的來看，正如任何模型都有其優缺點，本文模型也存在一些其他缺點，主要是數學上時間因數T在零點引起模型奇異性，這源于工程上依據e-lgt關系確定次固結系數Cα的傳統方法帶來的固有局限性。類似缺點在土力學范疇內并不少見，例如對于e-lgσ′一維壓縮本構關系，當有效應力為0時也將導致模型表現出奇異性（即孔隙比為無窮大），但由于該模型的簡潔性及其能夠反映土體的基本壓縮變形特性的原因，e-lgσ′本構關系仍然在工程上得到普遍應用。為避免零點奇異的缺點，本文暫取T的最小值為0.01，而如何在數學的嚴格性上對本文模型進行完善，還有待結合土體主、次固結耦合機制研究進展進行更深入的研究。換個角度看，按照 Mesri[10]的觀點——鑒于主固結過程中(?e/?σ′)t和(?e/et)σ′的一般特性仍是未知的，對應的完善的主固結理論還不存在，主、次固結耦合理論及其工程應用的研究依然任重道遠。

5 結 論

（1）本文根據丁洲祥等[6]提出的大變形主、次固結耦合模型的一個小變形退化模型，研究了其無量綱表述的一維主、次固結耦合超靜孔壓的發展規律。模型中引入了新的主、次固結耦合系數Csc，可作為主、次固結耦合程度的評價指標。Csc為 0時，模型退化為經典Terzaghi主固結模型，而隨著Csc的增大，固結過程中的次固結效應愈加突出。

（2）通過對單面排水一維瞬時加載并維持不變算例的有限差分法分析，結果表明，在固結初期，超靜孔壓出現增大的現象；在整個固結過程中，考慮主、次固結耦合的超靜孔壓預測值要偏大于不考慮次固結的相應結果，這是次固結機制的反映，與殷建華等[5]研究結果基本一致。不同的是，本文模型僅采用Csc反映主、次固結耦合機制，數學上更為簡潔，便于應用。

（3）在兩相不可壓縮和不違背質量守恒原理的前提下，固結后期同樣應存在超靜孔壓的消散過程，相應的主、次固結耦合機制將表現出次固結機制占優的特點；以不排水邊界上超靜孔壓消散度達99%作為主固結的結束或由此確定次固結系數，從工程精度來看是可行的。

（4）基于Mesri和Godlewski[21]的 Cα/Cc概念，筆者討論提出了模型中主、次固結耦合系數Csc的確定方法及其取值范圍，還據此得到一種改進的主、次固結耦合模型式（20）。鑒于問題的復雜性，主、次固結耦合理論及其工程應用的研究仍亟待進一步完善和加強。

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