等應力增量比路徑下接觸面應變軟化模型

周愛兆，盧廷浩

（1. 江蘇科技大學 土木工程與建筑學院，江蘇 鎮江 212003；2. 河海大學 巖土工程科學研究所，南京 210098）

1 引 言

土與結構接觸面在土木工程、水利工程等領域廣泛存在，由于接觸界面兩側材料特性的差異，在一定的受力條件下接觸面界面上可能產生錯動滑移或開裂，對土與結構相互作用產生重要影響，往往是結構物安全運行的薄弱環節和關鍵部位。土與結構物接觸面的復雜力學特性是土與結構物研究的熱點課題，國內外眾多學者[1－8]對其進行了試驗和理論研究，建立一系列本構模型，如 Desai等[1]提出的雙曲線模型；盧廷浩等[4]提出接觸面法向剛度與切向剛度相耦合的非線性本構模型；欒茂田等[5]提出土與結構間接觸面的非線性彈性-理想塑性模型；胡黎明等[6]提出接觸面損傷本構模型；筆者[9]基于廣義位勢理論，建立了接觸面彈塑性本構模型。

上述研究成果側重于研究常法向應力條件下的接觸面剪切特性，模型中計算參數和函數與應力路徑無關。實際工程中土與結構接觸面受力條件復雜，應力路徑多樣，經常遇到法向應力與剪應力同時變化的情形，如壩體填筑及蓄水過程中，混凝土防滲墻與周圍土體的相互作用問題；加筋土擋墻填筑過程中筋材與填筑材料之間的相互作用問題等。筆者曾利用大型單剪儀，進行不同等應力增量比路徑下含礫粗砂、高塑性黏土以及粗粒土與結構接觸面單剪試驗，研究應力路徑對接觸面力學特性的影響。等應力增量比路徑定義為試樣在剪切過程中保持剪應力增量Δτ 與法向應力增量Δσ 成一定比例η（η＝Δτ/Δσ，η為常數）。當η＝∞，為常法向應力路徑單剪試驗，含礫粗砂與結構接觸面單剪試驗結果表現出明顯的剪脹特性和應變軟化特性。本文主要基于廣義位勢理論，建立等應力增量比路徑條件下，符合類似含礫粗砂與結構接觸面力學特征的接觸面本構模型。

2 廣義位勢理論建立接觸面模型方法

文獻[9]基于廣義位勢理論，利用塑性狀態方程代替傳統的屈服面，建立雙重勢面接觸面彈塑性模型。主要方法為：將土與結構物的接觸面問題看作（σn，τ）空間上的二維問題，2個塑性應變增量的分量、dγp組成的矢量可以用2個線性無關的勢函數梯度矢量表示。單剪試驗條件下，應力空間中最為簡單的2個勢函數可取φ1=σn，φ2=τ，則可得到

傳統的屈服面可以用塑性狀態方程代替，表達式為

式中：A、B、C、D為待定系數，微分式（2）可得

則塑性柔度矩陣[Cp]可表示為

參考傳統彈塑性理論，將應變增量dε分解為彈性部分dεe和塑性部分dεp，各分量可表達為

式中：[Ce]為彈性柔度矩陣；[Cep]為彈塑性柔度矩陣；[Dep]為剛度矩陣，相互之間有如下關系：

式中：Ke為彈性壓縮模量；Ge為彈性剪切模量。

模型的建立關鍵是確定A、B、C、D四個待定系數，可以根據接觸面試驗數據采用數學方法擬合確定。建模過程中無需假設屈服函數、硬化參數，模型數學原理清晰，物理假設少，且具有一般性。

3 應變軟化型模型參數確定方法

3.1 應變軟化型接觸面力學特征

應變軟化型接觸面典型力學響應如圖1所示，剪切過程中表現為剪應力在峰值出現后隨應變的增加而降低。剪切初始階段，顆粒重新排列，咬合力增強，顆粒間空隙減小，直至達到最密實的狀態，此時體變率為 0，宏觀表現為法向剪縮量達到最大值；隨著剪應力增大，能夠克服顆粒間的咬合力，翻越臨近的顆粒，宏觀表現為法向出現一定的剪脹，隨著剪切的進行，剪脹量逐近增加，達到破壞后，剪脹量不再變化，體變率為0。

圖1 接觸面典型的力學響應Fig.1 Typical mechanical response of interface

3.2 彈性柔度矩陣確定

式中：ν為泊松比。

3.3 待定系數確定

在接觸面剪切試驗中，總應變與應力關系的表達式為

一般認為法向應力不引起切向變形，即C = 0。另外，待定系數A根據單向壓縮試驗確定，假定法向壓縮與切向剪切不存在交叉影響，等應力增量比路徑中εn-σn關系與單向壓縮試驗中的εn-σn關系具有一致性，則可根據單向壓縮試驗中的εn-σn關系求解參數A。單向壓縮條件下，εn-σn關系可以用指數函數擬合：，微分可得dεn=，對比式（8）可得

式中：t1、t2為擬合參數。

3.3.1 待定系數D的確定

為了考慮應力路徑對接觸面力學特性的影響，擬合應力比α 與切向應變γ 的對應關系如圖 2所示。圖中，α為應力比，α＝τ/σn＝τ/(σ0+τ/η)；αf為峰值應力比，αf＝τf/σn＝τf/(σ0+τf/η)；αr為殘余應力比，αr＝τr/σn＝τr/(σ0+τf/η)；γ2為峰值應力比對應的切向應變。本次試驗中，當試樣達到峰值剪應力后，保持法向應力恒定，所以殘余應力比與峰值應力比對應的法向應力相同。

圖2 應力比與切向應變關系Fig.2 Relation curve of stress ratio and tangential strain

應力比-切向應變關系曲線可采用復合指數函數[10]擬合，該函數隨參數取值不同，對軟化型和硬化型曲線都適用。擬合函數公式為

式中：a、b、c為模型參數。

式（10）具有以下特征：

殘余應力比αr指達到峰值強度以后，剪應變較大時對應的應力比，對同一種土而言其是定值，αr表達式為

式中：φ′為殘余摩擦角。

模型參數 a、b根據不同初始應力條件下多組試驗結果確定，可采用數學軟件程序求解參數最優解。然后，根據所得參數，進一步尋求其與初始法向應力σ0以及等應力增量比η的關系。剪切過程中，土體破壞時對應的法向應力可以通過聯合求解破壞強度方程與應力路徑方程，假設強度破壞準則滿足摩爾-庫侖破壞準則及τf=c+σftan φ時，可以求出破壞時對應的應力：

根據多組試驗結果統計，模型參數a與試樣破壞時的法向應力關系曲線可以采用冪函數形式表示：

式中：ξ1、ξ2為試驗擬合參數；pa為大氣壓（近似取pa=100 kPa），量綱與σ0相同。模型參數c與試樣破壞時的法向應力近似成線性關系，表達式為

式中：ξ3、ξ4分別為試驗擬合參數。

進一步對式（10）作如下變換：

式（16）兩邊分別對τ 和γ 進行微分，可以得到應變增量dγ與應力增量dτ 的關系式：

比較式（8）中第2式，可得到系數D表達式：

式中：a、b、c 分別根據式（14）、（12）、（15）確定。

綜上，確定等應力增量比路徑下剪應力-剪應變關系，需要根據試驗結果擬合出c、φ、φ′、ξI（i=1～4）7個參數。

3.3.2 待定系數B的確定

在等應力增量比路徑下，接觸面典型的法向應變-切向應變關系如圖3所示。法向應變εn可以看作兩部分法向應變的合成：一是法向應力增量引起的法向壓縮量εnc，二是剪切引起的剪脹分量εns。

假定法向壓縮與切向剪切不存在耦合作用，則εnc直接可以根據單向壓縮試驗曲線求解。單向壓縮曲線可以用指數函數擬合，。根據試驗中對應的法向應力求得相應的法向應變，減去初始應力對應的法向應變，則可以得到應力增量引起的法向應變εnc。剪切引起的剪脹分量εns= εn-εnc，分離出剪脹分量后，可以根據εns-γ關系曲線求解系數B。

典型εns-γ關系曲線如圖 3所示，仍然可以采用復合指數函數擬合，表達式為

式中：m、n、p為模型參數；εnsmax、εnsmin分別為剪切引起的最大和最小法向應變；γ1為εnsmax對應的剪應變。式（19）具有以下特征：

剪切引起的最大剪脹量發生在剪切破壞后，εnsmin主要由破壞后的法向應力σf控制，根據試驗結果，擬合εnsmin-lg(σf/Pa)關系近似呈直線，擬合公式為

式中：ζ1、ζ2分別為試驗擬合參數。

圖3 法向應變與切向應變關系Fig.3 Relation curves of normal strain and tangential strain

擬合模型參數m與lg(σf/pa)關系，近似呈直線，表達式為

式中：ζ3、ζ4分別為試驗擬合參數。模型參數p與試樣破壞時的法向應力近似成冪函數關系，表達式為

式中：ζ5、ζ6分別為試驗擬合參數。

綜上，確定法向應變-剪應變關系需增加ζi（i=1～6）6個參數。其值完全可以通過接觸面單剪試驗確定。進一步對式（19）進行微分，得到法向應變增量dεns與剪應變增量dγ的關系式：

dεns與dτ關系又可以寫成式（25），再將式（17）和式（24）代入，可以得到式（26）。

對比式（8），可得待定系數B表達式：

根據上述分析可見，通過單剪試驗和單向壓縮試驗可以最終確定等應力增量比路徑下彈塑性柔度矩陣的4個分量：

模型共含15個參數：t1、t1、c、φ、φ′、（i=1～4），ζi（i=1～6），可以通過單向壓縮試驗和單向剪切試驗確定。

4 模型驗證

根據文獻[11]中含礫粗砂與混凝土接觸面等應力增量比路徑單剪試驗結果，求解模型參數見表1。初始應力σ0= 200 kPa條件下，不同等應力增量比路徑下剪應力與切向應變關系的擬合曲線和試驗結果比較如圖4所示，法向應變與切向應變關系的擬合曲線和試驗結果比較如圖5所示。擬合結果表明，雖然模型在擬合個別試驗曲線時量值有一定偏差，但能夠反映變形的總體趨勢，可見模型具有一定的合理性。

表1 模型參數Table1 Model parameters

圖4 模型計算結果與試驗值對比Fig.4 Comparison of model predictions and experimental results

圖5 模型計算結果與試驗值對比Fig.5 Comparison of model predictions and experimental results

5 結 論

（1）基于廣義位勢理論建立接觸面彈塑性模型數學原理清晰，具有一般性，無需考慮屈服函數，建模簡單?？紤]了應力路徑、初始法向應力對接觸面力學特性的影響，可以更好地模擬接觸面的受力變形，具有一定的應用價值。

（2）對于接觸面切向應力與應變關系，考慮應力路徑對其影響的一個簡便方法就是作歸一化處理，擬合應力比α與剪切應變γ關系曲線，一般α-γ關系曲線與τ -γ關系曲線形式是一致的。通過對α-γ關系曲線方程兩邊微分，可以求得剪應力增量與切向應變增量之間的相互關系。

（3）等應力增量比路徑下接觸面法向應變εn可以看作兩部分法向應變的合成：一是法向應力增量引起的法向壓縮量εnc，二是剪切引起的剪脹分量εns，其中εnc根據單向壓縮試驗曲線求解。根據試驗中對應的法向應力求得相應的法向應變，減去初始應力對應的法向應變，則可以得到單剪過程中應力增量引起的法向應變εnc。剪切引起的剪脹分量εns=εn-εnc，分離出剪脹分量后，進一步對εns-γ關系曲線方程兩邊微分，可以求得剪脹分量增量與切向應變增量之間的相互關系。

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