小目標識別的小波閾值去噪方法

劉希佳，陳 宇 ，王文生，劉 柱

(長春理工大學 光電工程學院，吉林 長春30022)

1 引 言

在圖像的獲取和傳輸過程中，由于一些內在或外在因素的影響，所獲得的信息或所傳遞的信息會受到一定的干擾，不可避免地引入一些噪聲，使終端獲取的信息失真;當噪聲嚴重時，甚至無法辨認出其中的信息，這時，就需要對含噪圖像進行去噪處理。對信號進行去噪處理的方法很多，小波分析作為目前比較前沿的圖像處理手段，是一種時頻局部化的分析方法。小波分析具有比其他方法更為優越的性質，如低熵性、多分辨性、解相關性和選基自由性，其中多分辨性又被稱為“數學顯微鏡”［1］，它能夠聚焦到信號的任何細節進行時頻域分析，有利于信號的精確處理。因此，小波分析以其具有的眾多優越特性，在圖像處理領域倍受重視。

小波去噪的常用方法包括模極大值重構濾波去噪法、基于小波變換域系數的相關性去噪法和小波閾值去噪法等。在眾多小波去噪方法中，由Stanford 大學的D.L. Donoho 和I. M. Johnstone 等人提出的小波閾值去噪以其算法簡單、計算量小、去噪效果好等優點得以廣泛應用。

在小波閾值去噪方法中，軟、硬閾值法是目前應用較為廣泛的閾值去噪方法。但是，由于其本身存在的缺點和不足( 如硬閾值法的閾值函數在閾值處不連續，在圖像重構時會出現局部的振蕩現象，稱為偽吉布斯現象;而軟閾值法的閾值函數雖然具有連續性，但是由于處理后的小波系數與真實值之間存在恒定偏差，使重構后的圖像會出現嚴重的模糊，損失了大量重要細節信息) 直接影響了軟、硬閾值法的進一步發展。針對軟、硬閾值法的缺點和不足，眾多學者和專家紛紛提出了相應的改進方法［2-9］，并在一定程度上克服了這些問題，使小波閾值法得到了長足的發展。

在進行小目標識別時，由于小目標的邊緣信息很少，一般的去噪方法會損失大量的邊緣細節信息［10-11］，因此，本文結合了雙曲線函數、指數函數和對數函數構造了一個新的閾值函數，采用局部方差估計來估算閾值，對小目標進行去噪處理，并利用聯合變換相關器對小目標進行了目標識別實驗。

2 光學實驗原理

圖1 聯合變換相關器原理圖Fig.1 Schematic diagram of joint transform correlator

采用光電混合式聯合變換相關器進行了目標識別實驗，圖1 為聯合變換相關器的原理圖。此系統采用了氬離子激光器作為光源，經光束衰減器調制輸出光強，光束提升器提升光束高度，顯微物鏡進行聚焦，針孔進行空間濾波，偏振器調節偏振方向，經準直透鏡形成準直、擴束的平行光，再經半反半透鏡將光束分為兩路: 其中一路用于獲得聯合變換功率譜，即將由CCD1 實時記錄的目標圖像輸入進PC1 中，與事先存儲在PC1 中的參考圖像一起輸入到電尋址液晶EALCD1 中，聯合圖像經傅里葉變換透鏡FTL1 后，由CCD2 進行探測，得到目標圖像和參考圖像的聯合變換功率譜，然后輸入到PC2 中顯示;另一路用于獲得相關點圖像，將PC2 中的功率譜輸入到EALCD2 中，經傅里葉變換透鏡FTL 2 后，由CCD 3 攝取目標圖像與參考圖像的聯合變換相關點，根據相關點的位置，就可以確定目標及其所在位置［1］。

3 小波閾值去噪原理及步驟

3.1 小波閾值去噪原理

對于小波閾值去噪的原理，最常用的就是Donoho 等人在1995 年所提出的小波閾值去噪方法，通過此方法在小波域內對小波系數做相應的處理，最終可獲得更多的有用信息。

噪聲圖像模型:

式中:f(x，y) 為含噪圖像信號;s(x，y) 為原始圖像信號;n(x，y) 為噪聲信號。

因為小波變換是一種線性變換，因此對式(1) 做小波變換，有:

式中:WTf為含噪圖像信號f(x，y) 對應的小波系數;WTs為原始圖像信號s(x，y) 對應的小波系數;WTn為噪聲信號n(x，y) 對應的小波系數。

由于無噪圖像在時間或空間上具有連續性，經過小波變換后，在小波域內其系數的模值一般比較大，而且分布在少數位置上。對于噪聲來說，其分布是隨機的，沒有一定的連續性，經過小波變換后，在小波域內其系數的模值一般比較小，且分布比較廣。

在小波域內對小波系數進行適當的修改，通過一定的方法和手段去除或降低噪聲所對應的小波系數，這樣就可獲得所需要的信息。

3.2 小波閾值去噪步驟

小波閾值去噪的一般步驟如圖2 所示。

圖2 小波閾值去噪的一般步驟Fig.2 General steps of wavelet threshold de-noising

其中:f表示含噪圖像信號;W表示未經閾值處理的小波系數;W^ 表示經過閾值處理的小波系數;f^表示去噪后的圖像信號。

具體操作如下:

(1) 選定小波函數及分解的層數n，對含噪圖像信號進行小波變換，得到低頻概貌系數( LL) 和高頻細節系數:水平系數( LH) 、垂直系數( HL) 和對角系數( HH) ，圖3 為3 層小波分解示意圖。

圖3 小波分解示意圖Fig.3 Schematic diagram of wavelet decomposition

(2) 通過閾值和閾值函數對所獲得的高頻系數進行處理，得到新的小波系數。

對小波系數進行處理的方法通常有硬閾值法和軟閾值法，其閾值函數分別為:

軟、硬閾值函數如圖4 所示。

由于硬閾值函數在閾值處的不連續性，使得重構后的圖像會出現局部的抖動現象，使圖像產生失真。軟閾值法雖然克服了硬閾值法在閾值處不連續的缺點，但是在|W|≥λ 時，W^ 與W之間總是存在恒定偏差，直接影響重構圖像與原始圖像的接近程度; 當然，即使其恒定偏差為零，去噪效果也未必好。

(3) 對新獲得的小波系數進行重構，獲得消噪后的圖像信號。

圖4 軟、硬閾值函數示意圖Fig.4 Schematic diagrams of soft and hard thresholds

4 閾值和閾值函數的選取

4.1 閾值的選取

閾值選取的優劣對圖像整體噪聲的濾除有著非常重要的影響。閾值過小，濾噪效果較差，但是邊緣細節信息保留得較好，擬合程度( 與無噪信號的接近程度) 較高; 閾值過大，圖像比較平滑( 噪聲去除較好) ，但是邊緣細節信息損失太多，會使濾噪圖像模糊不清而失真。因此，一個好的閾值一定要兼顧平滑和擬合兩個方面［4］。

式中:j為分解尺度(j=1，2，…，n) ，n為分解層數;噪聲的標準差為:

式中:σj，k表示第j層，第k子帶上的標準差，k為高頻子帶(k=1，2，3;分別表示LH 子帶，HL 子帶和HH 子帶) 。

4.2 閾值函數的選取

(1) 小波系數模值大于閾值

對雙曲線函數做適當的改進，并將其作為閾值函數。

雙曲線函數的標準方程為:

漸近線方程為:

方程的解為:

當a=b=λ 時，漸近線方程變為:W^ = ±W;方程的解變為:可以看出，此函數是軟閾值法的擴展，為了使此函數兼顧硬閾值法的特點，將其進行適當的修改，以獲得更好的去噪效果。

當|W|≥λ 時，有:+1 ≤2( 單調遞減) ;取對數:≤0( 單調遞增) ; 再取指數:≤1( 單調遞增) ;為了滿足隨著|W|的增大，而使得無限接近，故而取:( 單調遞減) ;最終，|W|≥λ 時的函數取為:

當|W|→∞時，有: | |W^| - |W| |→0，其克服了軟閾值具有恒定偏差的缺點，得到了更加精確的小波系數，使得去噪效果更優。

綜上，經過修改后的雙曲線函數為:

(2) 小波系數模值小于閾值

傳統的軟、硬閾值法對小波系數中較小的系數大都采取全部置零的方法，這種處理方法將會丟失一些邊緣信息，從而使圖像邊緣模糊，產生失真。針對這一缺點，本文利用指、對數函數的性質，給出了一個函數，用以處理這部分小波系數。此函數克服了對較小的小波系數處理不當的缺點，保留了更多的邊緣信息，得到了更高的信噪比。當然，保留更多邊緣信息的同時，也會引入一些噪聲。但是，對任何一個摻有噪聲的信號來說，到目前為止尚無法做到在消除全部噪聲的同時，使原信號信息得以完全保留，只能做到在消除噪聲的同時，保持較高的信噪比，以獲得更多的有用信息。

當|W| ＜λ 時，有:＜2( 單調遞增) ;取其對數有:-1 ＜0( 單調遞增) ;再取指數有:＜1( 單調遞增) ;為使函數光滑連續，而且保持函數在閾值處的連續性，則函數最終取為:

對其求導:

綜上所述，本文的閾值函數取為:

由上式可見，該閾值函數在閾值處是連續的。

本文改進的雙曲線閾值函數如圖5 所示。由圖5 可見:此閾值函數在閾值處具有連續性，使圖像的邊緣信息得到了更多的保留，閾值兩側的曲線均為光滑、連續的曲線，分別具有高階連續的導數。

圖5 本文選取的閾值函數Fig.5 Threshold function selected in this paper

4.3 圖像信噪比及均方根誤差

信噪比( SNR) :

式中，xi(i=1，2，3……M) 為原始圖像的第i個像素的灰度值;yi(i=1，2，3……M) 為經閾值處理過的圖像的第i個像素的灰度值;M為像素數。SNR 的值越大，表示失真越少; RMSE 的值越小，表示濾噪圖像越來越接近無噪圖像。

信噪比提高( ISNR) :

其表示濾噪圖像相對于噪聲圖像信噪比的提高量占噪聲圖像的比例; SNR＇是去噪后圖像的信噪比;SNR 是噪聲圖像的信噪比。

5 圖像的MATLAB 處理及分析

通過MATLAB 軟件進行圖像及數據處理，選取高斯噪聲作為噪聲源進行仿真實驗，其噪聲均值為0，方差為0.01，圖像分辨率為499 ppi ×348 ppi的BMP 格式的文件。從理論上講，小波濾波器的長度越長，去噪效果應該越好，但計算量也會隨之增加，同時造成圖像細節的過平滑。因此，本文選取“sym6”作為小波，并對目標圖像進行5層小波分解。

對多幅圖像進行了濾噪處理，均取得較好的效果。作為實例，選取如圖6( a) 所示的以天空為背景的小目標含噪圖像進行了分析與研究。以下綜述了軟、硬閾值法和本文閾值法的去噪實驗，分別從視覺效果、信噪比和均方根誤差對各閾值法進行了對比，并闡述各種閾值去噪法的優、缺點。

圖6 噪聲圖像及各閾值法去噪后的圖像Fig.6 Noise image and de-noised images

從表1 和圖6 可以看出: 通過硬閾值法獲得的SNR 與RMSE 處于軟閾值法和本文閾值法之間，濾噪效果一般，與軟閾值法相比獲得的邊緣信息較多，但由于其閾值函數缺乏連續性，使得重構后的圖像出現局部的抖動( 振鈴) 現象，損失了較多的圖像邊緣細節信息，影響了去噪效果。軟閾值法對噪聲的濾除比較徹底，圖像看起來比較平滑;但是，由于軟閾值法對較小的小波系數處理不當，使得噪聲被濾除的同時，損失了大量的邊緣細節信息，使得圖像的邊緣較為模糊，圖像的SNR過低，失真較為嚴重。

表1 各閾值去噪法的SNR、RMSE 及ISNR(含噪圖像的信噪比為：19．4037)Tab．1 SNR，RMSE and ISNR of de-noised image obtained by three de-noising methods(the SNR of noisy image is 19．4037)

從所得數據可以看出，采用本文的閾值函數得到了更高的SNR 和更好的RMSE，濾噪后獲得的圖像信息較多，SNR 提高的最為明顯; 從圖像上看，噪聲濾除效果很理想，在保留了更多邊緣信息的同時，較好地抑制了高斯噪聲，并且無明顯的振鈴效應產生。

6 計算機仿真及光學實驗

6.1 計算機仿真實驗

利用MATLAB 軟件進行了仿真實驗，對以圖6( a) 為例的小目標圖像進行了相關識別研究，選取均值為0，方差為0.01 的噪聲源，圖像分辨率為499 ppi×348 ppi，采用“sym6”作為小波，進行5 層小波分解。圖7 分別為含噪圖像和各去噪圖像的二維相關峰模擬圖及其能量分布圖，相關峰值數據是運行MATLAB 程序后，從所生成的數據包中查得的。

圖7( a) 是由噪聲圖像得到的二維相關峰，圖中幾乎看不到相關點，其能量分布如圖7( e) 所示，能量較弱; 圖7( b) 為經軟閾值去噪處理后得到的二維相關點圖像，圖7( f) 為其能量分布圖，相關峰相對強度為14.355 3，從該圖中可以看出，相關峰能量有了一定的增強，但是因其失真較為嚴重，將相關峰能量淹沒其中，使相關點模糊不清，無法辨認;圖7( c) 是經硬閾值去噪后得到的二維相關點圖像，圖7( g) 是其能量分布圖，相關峰相對強度為16.823 4，從圖中可以看出，相關峰能量得到了一定的增強，但因硬閾值法對噪聲濾除的不足，濾噪圖像中仍存在一些噪聲，使得相關峰的對比度有所降低，從而影響到目標的探測與識別;而經過本文方法處理后的圖像，很好地抑制了噪聲，保留了大量的邊緣信息，從圖7( d) 中可以看出相關點的亮度得到了顯著的增強，提高了相關探測與識別的能力，其能量分布如圖7( h) 所示，相關峰相對強度為17.275 0。因此，無論是從相關峰強度，還是從相關點的亮度對比度來看，本文方法的去噪效果均優于軟、硬閾值法。

圖7 二維相關峰模擬圖及其能量分布圖Fig.7 Two dimension correlation peak simulation diagrams and its energy distribution diagrams

由于小目標的有用信息較少，導致其相關峰能量幅值并不很高，但是可以通過后期圖像處理有效增強和提取相關峰信息。

6.2 光學實驗

利用聯合變換相關器對以圖6( a) 為例的含噪小目標圖像進行了相關識別實驗研究，并在功率譜面做了拉普拉斯變換預處理，分別得到了噪聲圖像和各去噪圖像的相關峰圖像，如圖8所示。

由圖8 所示的光學實驗結果可以看出，含噪圖像中，相關峰被噪聲完全淹沒，無法實現光學相關識別。用Photoshop 圖像處理軟件進行由軟、硬閾值法和本文方法得到的光學圖像中的相關點亮度探測，得到圖8( b) 、( c) 和( d) 的相關峰相對亮度分別為43、46 和51。可以看出，本文方法得到的相關峰亮度值最高。另外，從軟、硬閾值法得到的相關峰圖像中也可以看出，雖然相關點亮度有所提高，但其對比度仍較差，不利于后續處理中相關峰坐標信息的提取。而通過本文去噪法，可有效提高相關峰亮度及相關面的對比度，有利于后續處理中提取相關峰坐標信息，實驗效果較好，如圖8( d) 所示，從圖中可以明顯的看出，本文方法得到的相關點亮度明顯強于軟、硬閾值法得到的相關點亮度，進而從光學實驗上說明了本文方法的優越性。

圖8 不同處理方法得到的光學相關識別結果Fig.8 Results of optical correlation recognition by different de-noising methods

7 結 論

本文對以海天為背景的小目標圖像進行了去噪實驗，對閾值函數進行了算法改進，最終得到的信噪比相對于含噪圖像提高70.803 8%。計算機仿真實驗和光學實驗表明:與傳統的軟、硬閾值法對噪聲的濾除作用相比，本文所提出的閾值函數法去噪效果更優，識別能力較好，表明了該方法在小目標圖像處理領域具有一定的實用性。

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