蜂窩梁撓度的簡化計(jì)算

張興杰

(機(jī)械工業(yè)第三設(shè)計(jì)研究院，重慶400039)

蜂窩梁通常由H形型鋼或工字形型鋼切割后錯位相焊制成。具有自重輕、承載能力高、經(jīng)濟(jì)、美觀等優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際工程中的應(yīng)用可以帶來顯著的經(jīng)濟(jì)效益。

1 理論公式推導(dǎo)

目前蜂窩梁的強(qiáng)度計(jì)算比較成熟，且計(jì)算公式也列入了相關(guān)規(guī)范。但在撓度計(jì)算方面，國外規(guī)范中基本上都采用估算法，精度較低，而且現(xiàn)有的較為精確的撓度計(jì)算式均把腹板孔洞簡化為四邊形孔，與實(shí)際狀況差異較大。

本文以費(fèi)氏空腹桁架計(jì)算理論為基礎(chǔ)，即認(rèn)為在外荷作用下，蜂窩梁橋的中點(diǎn)和墩腰處均為反彎點(diǎn)，從而把多次超靜定結(jié)構(gòu)簡化為靜定結(jié)構(gòu)來計(jì)算，其物理概念清楚，計(jì)算也較為方便。故采用三項(xiàng)撓度理論來推導(dǎo)兩端簡支正六邊形孔蜂窩梁在均布荷載和跨中集中荷載作用下，跨中撓度的理論計(jì)算式。

蜂窩梁的撓度應(yīng)由三部分組成:

式中:fM為僅因彎矩產(chǎn)生的撓度;

fQ為僅因剪力產(chǎn)生的撓度;

fe為僅因剪力引起的次彎矩產(chǎn)生的撓度。

假定蜂窩梁由圖1所示的制作方法制成，原工字形截面鋼梁的截面高度為H，加工后蜂窩梁截面高度為h，則擴(kuò)張比K=h/H。加工后蜂窩梁翼緣板厚度為t，翼緣板寬度為b，腹板高度為hw，腹板厚度為tw，腹板正六邊形孔洞邊長為a(圖2)，鋼材彈性模量為E，剪切模量為G。為了便于計(jì)算，將標(biāo)準(zhǔn)孔段分成1、2、3、4區(qū)段，并令孔洞數(shù)為偶數(shù)。

圖1 蜂窩梁構(gòu)造

圖2 蜂窩梁尺寸

1.1 跨中集中荷載作用下的跨中撓度

1.1.1 彎矩?fù)隙萬M

(1)梁端實(shí)腹部分

(2)孔洞1區(qū)

由于積分出來的式子過于復(fù)雜，故直接利用積分定義編制BASIC程序求得該式結(jié)果(下同)。

(3)孔洞2區(qū)

(4)孔洞3區(qū)

(5)孔間4區(qū)

(6)跨中部分

則，最終由彎矩引起的撓度即為:

1.1.2 剪力撓度fQ

(1)梁端實(shí)腹部分

式中:ks為剪力不均勻系數(shù)。

(2)孔洞1區(qū)

由于積分出來的式子過于復(fù)雜，故直接利用積分定義編制BASIC程序求得該式結(jié)果(下同)。

(3)孔洞2區(qū)

(4)孔洞3區(qū)

由于在跨中集中荷載作用下梁上各處剪力大小均相同，故該部分剪力產(chǎn)生的撓度與fV1相同。

(5)孔間4區(qū)

(6)跨中部分

則，最終由彎矩引起的撓度即為:

1.1.3 剪力次彎矩?fù)隙萬e

剪力次彎矩?fù)隙葍H在孔洞處產(chǎn)生。

(1)孔洞1區(qū)

(2)孔洞2區(qū)

最終跨中撓度:

1.2 均布荷載作用下的跨中撓度

均布荷載作用下的跨中撓度的計(jì)算方法與前述跨中荷載作用下跨中撓度的計(jì)算方法完全一致，區(qū)別僅在于荷載函數(shù)上的不同。為避免重復(fù)累贅，在此就不列出。

2 理論公式簡化

前面推導(dǎo)出的兩端簡支蜂窩梁在均布荷載和跨中集中荷載下的撓度計(jì)算式雖然在理論上嚴(yán)密，但是計(jì)算過于復(fù)雜，雖然采用VB編制程序，但仍不方便于工程應(yīng)用。在此，通過所得VB程序進(jìn)行大量實(shí)例計(jì)算，在此基礎(chǔ)上利用統(tǒng)計(jì)規(guī)律建立基于擴(kuò)張比、跨高比、截面尺寸等參數(shù)的簡化計(jì)算式。

本文選擇截面高度300～600 mm、擴(kuò)張比1.3～1.7的8根鋼蜂窩梁進(jìn)行實(shí)例計(jì)算，梁編號從1號梁到8號梁，構(gòu)件的跨高比逐漸降低，見表1。

表1 蜂窩梁算例截面尺寸(mm)

續(xù)表

2.1 集中荷載作用下跨中撓度計(jì)算式簡化

2.1.1 彎矩?fù)隙扰c當(dāng)量撓度比值α1的簡化

從計(jì)算結(jié)果看出，彎矩?fù)隙扰c當(dāng)量撓度的比值基本上隨梁跨高比的變化幅度很小，可以認(rèn)為跨高比對彎矩?fù)隙鹊挠绊懺跐M足工程精度的情況之下可以忽略不計(jì)。則影響彎矩?fù)隙鹊囊蛩貫?(1)腹板抗彎系數(shù)β;(2)擴(kuò)張比。

腹板抗彎系數(shù)β=腹板慣性矩/截面慣性矩

通過對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行曲線擬合，可得α1的簡化計(jì)算式:

2.1.2 剪力撓度與當(dāng)量撓度比值α2的簡化

從計(jì)算結(jié)果可見，剪力撓度與當(dāng)量撓度的比值α2隨著梁跨高比的增大而減小。從理論上說，剪力撓度與梁跨度成線性關(guān)系，而彎矩?fù)隙扰c梁跨度則成2次方的關(guān)系，可見計(jì)算結(jié)果與理論是相符合的。同時根據(jù)計(jì)算結(jié)果，得到每根梁的u－α2關(guān)系圖，并進(jìn)行曲線擬合。根據(jù)擬合曲線，1號～8號梁擴(kuò)張比的變化對α2的影響不甚明顯，將不同擴(kuò)張比同截面的梁在不同跨高比下的剪力撓度與當(dāng)量撓度比值α2與跨高比的關(guān)系擬合成一條曲線。

取3號梁為基本截面，定義待計(jì)算梁腹板面積為Aw，待計(jì)算梁單個翼緣面積為At，3號梁梁腹板面積為A'w，3號梁梁單個翼緣面積為A't，引入系數(shù)γ，

最后可得α2的計(jì)算式

2.1.3 次彎矩?fù)隙扰c當(dāng)量撓度比值α3的簡化

由計(jì)算結(jié)果得知，當(dāng)擴(kuò)張比很小(如1.3)時，腹板削弱很少，次彎矩?fù)隙扰c當(dāng)量撓度比值α3最大也就1.7%。而隨著擴(kuò)張比的增大，開洞處T形截面不斷削弱，次彎矩?fù)隙扰c當(dāng)量撓度比值α3增大得很快。當(dāng)擴(kuò)張比到1.7時，α3甚至超越α2達(dá)到62.8%。同時，隨著跨高比的增大，剪力大小對跨中總撓度的影響逐漸減小，次彎矩?fù)隙扰c當(dāng)量撓度比值α3隨著跨高比的增大而逐漸減小。

依然取3號梁作為基本截面，引入系數(shù)m

m=待計(jì)算梁截面慣性矩 /3號梁截面慣性矩 (8)得到α3的計(jì)算式:

最后可得集中荷載下兩端簡支鋼蜂窩梁的跨中撓度計(jì)算式:

式中:f'為當(dāng)量實(shí)腹梁跨中撓度。

2.2 均布荷載作用下跨中撓度計(jì)算式簡化

2.2.1 彎矩?fù)隙扰c當(dāng)量撓度比值α1的簡化

2.2.2 剪力撓度與當(dāng)量撓度比值α2的簡化

2.2.3 次彎矩?fù)隙扰c當(dāng)量撓度比值α3的簡化

最后可得均布荷載下兩端簡支鋼蜂窩梁的跨中撓度計(jì)算式:

3 ANSYS分析和公式校驗(yàn)

本文推得的均布荷載及跨中集中荷載作用下兩端簡支鋼蜂窩梁撓度理論計(jì)算式和簡化計(jì)算公式，為了校驗(yàn)該公式的準(zhǔn)確性及精度，采用通用有限元分析軟件ANSYS對梁1～8在不同擴(kuò)張比時進(jìn)行了有限元分析，一共取得數(shù)據(jù)80個，與VB程序所得結(jié)果(理論計(jì)算)、簡化公式所得結(jié)果一并對比。

3.1 集中荷載作用下跨中撓度計(jì)算式簡化

從計(jì)算結(jié)果看出，利用簡化公式計(jì)算出來的蜂窩梁跨中撓度不太理想，與VB結(jié)果相比偏大，且比值隨著梁跨度的增大也逐漸增大。經(jīng)過對簡化公式中α1、α2、α3的具體分析，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過曲線擬合之后α3值偏大，且對擴(kuò)張比大小的反映過于強(qiáng)烈。在此，通過削弱跨高比的影響來達(dá)到減小α3值的目的，取

將α3值修正之后，根據(jù)修正之后跨中集中荷載作用下簡化公式計(jì)算結(jié)果與ANSYS分析結(jié)果的比值，引入附加系數(shù) λ1，令

則可得集中荷載作用下跨中撓度簡化計(jì)算式:

3.2 均布荷載作用下跨中撓度計(jì)算式的簡化

從對比結(jié)果可以看出，利用簡化公式計(jì)算出來的蜂窩梁跨中撓度基本上都小于VB程序計(jì)算的結(jié)果，二者的比值在擴(kuò)張比為1.5或1.6時最大，兩端較小;二者的差值最大為8%，可見簡化公式結(jié)果與VB程序結(jié)果還是基本符合的。

而有限元分析結(jié)果則全部大于簡化公式計(jì)算結(jié)果，也大于VB程序計(jì)算結(jié)果。從理論上說，這是由于理論公式中并未考慮應(yīng)力集中的因素，故這樣的結(jié)果也是符合實(shí)際情況的。在此，需要對簡化公式進(jìn)行修正。

從簡化公式計(jì)算結(jié)果與ANSYS分析結(jié)果的比值可以看出，該比值隨著擴(kuò)張比的增大而減小，這樣，引入附加系數(shù)λ2，以此來反映擴(kuò)張比對簡化公式計(jì)算結(jié)果與ANSYS分析結(jié)果的比值的影響。經(jīng)過反復(fù)試算，令

則可得

4 總結(jié)和展望

最后，通過前面得分析推導(dǎo)，得到以下成果:

(1)基于費(fèi)氏空腹桁架分析法及三項(xiàng)撓度理論，推得兩端簡支鋼蜂窩梁在均布荷載和跨中集中荷載的跨中撓度計(jì)算式，并將其編為BASIC程序。

(2)通過推出的理論計(jì)算式計(jì)算大量實(shí)例，在此基礎(chǔ)上建立基于擴(kuò)張比、跨高比、截面尺寸等參數(shù)的簡化計(jì)算式，并利用有限元分析軟件ANSYS對簡化計(jì)算式進(jìn)行修正。

本文由于條件所限，僅利用有限元分析軟件ANSYS進(jìn)行仿真分析，雖具有一定的參考價(jià)值，但還需要用實(shí)際的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證。同時，其他孔型如圓形孔和八角形孔等的蜂窩梁的跨中撓度研究本文并未涉及。

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