曾廣銀

廣州市花都區經濟貿易職業技術學校

數學思想方法在數學教學中的應用

曾廣銀

廣州市花都區經濟貿易職業技術學校

《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱》把數學思想、方法作為基礎知識的重要組成部分，新課標明確提出這個要求，旨在引導學生去把握數學知識結構的核心和靈魂，其重要意義顯而易見，這不僅是大綱體現義務教育性質的重要表現，也是對學生實施創新教育、培訓創新思維的重要保證。數學思想和方法是數學知識的精髓，又是知識轉化為能力的橋梁。因此，中職學校的數學課必須也要與時共進，大力開展數學思想方法在數學教學中的應用。

學生；思想方法；創新教育；應用

所謂數學思想是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論的本質認識，直接支配著數學的實踐活動。

所謂數學方法是以數學為工具進行科學研究的方法，即用數學語言表達事物的狀態、關系和過程，經過推導、運算和分析，以形成解釋、判斷和預言的方法，是數學思想的具體反映。

數學思想方法是人們通過教學活動，對數學知識所形成的一個總的看法或觀點。它對人們學習和應用數學知識解決問題的過程中的思維活動，起著指導和調控的作用。突出數學思想方法教學，是當代數學教育的必然要求也是數學素質教育的重要體現。

在數學課程教學過程中，圍繞如何更好地體現數學思想方法開展，關注不同學生的數學學習需求，有彈性地、多層次地滲透數學思想方法，以利于學生不斷加深對數學思想方法的理解，進而在數學思考、思維能力方面得到提高和發展。

因此，在數學教學中應該把數學思想和方法的培養與數學知識的教學融為一體。這不僅教給學生數學知識，即概念、性質、定理、法則、公式等結果，而且更重要的是如何得到這些知識的過程。這個過程的實質就是發現數學和運用數學，是比數學知識本身更重要、更為寶貴的數學思想和方法。

1 數學思想方法在教學中的應用

1.1 整體思想：整體的思想方法就是考慮數學問題時不是著眼于它的局部特征，而是把注意力和著眼點放在問題的整體結構上，通過對其全面深刻的觀察，從宏觀上、整體上認識問題的實質，把一些彼此獨立，但實質上又相互緊密聯系著的量作為整體來處理的思想方法，如在實數運算中，常把數字與前面的“+，-”符號看成一個整體進行處理；又如用字母表示數就充分體現了整體思想，即一個字母不僅代表一個數，而且能代表一系列的數或由許多字母構成的式子等；再如整式運算中往往可以把某一個式子看作一個整體來處理，如：(x-y-z2)=[x-(y+z)]2視(y+z)為一個整體展開等等，這對培養學生良好的思維品質，提高他們解題效率是一個極好的思維方法。

1.2 分類討論思想：分類是通過比較數學對象本質屬性的相同點和差異點，然后根據某一種屬性將數學對象區分為不同種類的思想方法。從教材的知識內容來看，無論是客觀上或是微觀上都滲透著分類的思想。通過分類可以化整為零，變一般為特殊，變模糊為清晰，變抽象為具體，使思維過程條理清楚，目的明確。例如，在同一個圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半。為了驗證這個猜想，教學時常將圓對折，使折痕經過圓心和圓周角的頂點，這時可能出現三種情況：

（1）折痕是圓周角的一條邊

（2）折痕在圓周角的內部

（3）折痕在圓周角的外部

驗證時，要分三種情形來說明，這里實際上也體現了分類討論的思想方法。分類是數學發現的重要手段。因此，在教學中，如果對學過的知識恰當地進行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。

1.3 化歸與轉化思想：在教學研究中，使一種對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的數學思想稱為轉化思想。體現在數學解題中，就是將原問題進行變形，使之轉化為我們所熟悉的或已解決的或易于解決的問題，就這一點來說，解題過程就是不斷轉化的過程。化歸與轉化是中學數學學習中最常見最重要的思想方法。如在實數的運算、解方程(組)、多邊形的內角和、幾何證明等等的教學中都有讓學生對化歸思想方法的認識，學生有意無意接收到了化歸思想。化歸的手段是多種多樣的，其最終目的是將未知的問題轉化為已知問題來解。實現新問題向舊問題的轉化、復雜問題向簡單問題轉化、未知問題向已知問題轉化、抽象問題向具體問題轉化等。如在加法的基礎上，利用相反數的概念，化歸出減法法則，使加、減法統一起來，得到了代數和的概念；在乘法的基礎上，利用倒數的概念，化歸出除法法則，使互逆的兩種運算得到統一。化歸思想是滲透在學習新知識和運用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉化的思想方法。

1.4 數形結合思想：數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學，因而數學研究總是圍繞著數與形進行的。華羅庚曾說：“‘數’缺‘形’時少直覺，‘形’缺‘數’時難入微。”通過深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺。“數”就是方程、函數、不等式及表達式，代數中的一切內容；“形”就是圖形、圖像、曲線等。數形結合的本質是數量關系決定了幾何圖形的性質，幾何圖形的性質反映了數量關系。數形結合就是抓住數與形之間的內在聯系，以“形”直觀地表達數，以“數”精確地研究形。例如，在《有理數》章節中的“數軸”讓我們初步感受和認識到“數形結合”的思想方法，利用數軸可以表示有理數，進而可以比較有理數的大小，利用數軸使我們對絕對值和相反數有更深刻的感受和理解。在《數的運算》中講平方差公式時，可用面積間的關系構造它的直觀模型，通過“數”與“式”之間的對比來驗證、理解，從而掌握公式。在《從面積到乘法公式》章節中，從引導學生探索圖形的面積中抽象出乘法法則，形象、直觀，學生也易于接受。因此，在數學教學中，由數想形，以形助數的數形結合思想，具有可以使問題直觀呈現的優點，有利于加深學生對知識的識記和理解。抓住數形結合思想教學，不僅能夠提高學生數形轉化能力，還可以提高學生遷移思維能力。

1.5 方程思想：方程思想是指把表示變量間關系的解析式看作方程，通過解方程或對方程的研究，使問題得到解決的思想。解應用題是方程思想應用的最突出體現。例如，甲乙兩人同時從A城出發，步行12千米到B城，甲比乙每小時少走1千米，結果比乙遲到1小時，求甲、乙兩人的速度。

這道題若通過構建方程求解， 也不難求出答案。

略解：設甲每小時走x千米，則乙每小時走（x＋1）千米，

經檢驗x1= 3 ，x2=－4都是原方程的根，

但x2=－4不合題意，舍去；

由x = 3得x+1=4；于是甲每小時走3千米，乙每小時走4千米。

1.6 函數思想：函數思想是指用運動、變化、聯系、對應的觀點，分析數學與實際生活中的數量關系，通過函數這種數量關系表示出來并加以研究，從而使問題獲得解決的思想。函數思想方法，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。它有別于像前面所述的幾種數學思想方法，它是內容與思想方法的二位一體。初中代數中的正比例函數、反比例函數、一次函數和二次函數雖然安排在初三學習，但函數思想從初一就已經開始滲透。這就要求教師在教學上要有意識、有計劃、有目的地進行函數思想方法的培養。

1.7 “符號”思想：研究數學問題時，為使問題簡明，常常要引進數學符號，這種引進數學符號來簡化問題的思想就是符號思想，初中代數中用字母表示數的思想就屬于符號思想。利用它可以提高我們的記憶力，起到化繁為簡的目的，在數學教學中貫穿這個思想，可以培養和提高學生的思維能力。例如，如x2-2xy+y2=(x-y)2表示完全平方公式，它的意義是：兩數的平方和加上或減去這兩個數的積的兩倍等于這兩個數的差的平方。

1.8 “類比”思想：根據兩種事物在某些特征上的相似，做出它們在其他特征上也可能有的相似和不同之處的結論，這種解決問題的思想方法就叫做“類比”，被稱為最有創造性的一種思想方法。例如在《走進圖形世界》章節中通過類比的思想方法，把圓柱與圓錐、棱柱與棱錐、圓柱與棱柱、圓錐與棱錐加以比較，讓學生能夠更清晰的認識這幾種幾何體的特征。

還有一些思想為統計思想、集合思想和數學建模思想等等。

2 數學思想方法實施的途徑

2.1 在創設數學情境中體現數學思想方法

新課標理念是：以“生活數學”、“活動思考”為主線開展課程內容，注重創設問題情境，引導學生在活動中思考、探索，主動獲取數學知識。情境中的實際問題是反映數學思想方法的基礎。通過創設情境，在知識的引入和發生過程中貫徹數學思想方法，形成數學知識、方法和思想的一體化。例如：分類討論的思想方法時常出現在問題情境中。在教學中要引導學生對情境問題中所討論的對象進行合理分類（分類時要做到不重復、不遺漏、標準統一、分層不越級），并歸納總結。教師要幫助學生掌握好分類的方法原則，形成分類思想。

2.2 在思維活動過程中揭示數學思想方法

數學教學中充分暴露思維過程。讓學生參與教學實踐活動揭示其中隱含的數學思維，才能有效地培養和發展學生的數學思想方法。如“多邊形內角和定理”的教學，運用類比、歸納、猜想等思想，發現多邊形內角和定理的結論。學會用化歸思想指導探索論證途徑等。

2.3 在教學過程中滲透數學思想方法

數學知識發生的過程也是其思想方法產生的過程。在此過程中，要向學生提供豐富的、典型的以及正確的直觀背景材料，創設使認知主體與客體之間激發作用的環境和條件，通過對知識發生過程的展示，使學生的思維和經驗全部投入到接受問題、分析問題和感悟思想方法的挑戰之中，從而主動構建科學的認知結構，將數學思想方法與數學知識融匯成一體，最終形成獨立探索分析、解決問題的能力。例如：學生在學會用“分類”的思想方法，探索歸納出有理數的加法法則后，在探索有理數乘法法則時，就不難想到將各種“可能情況”進行合理的分類討論。

2.4 在解決問題方法的探索中激活數學思想方法

（1）注重解題思路的數學思想方法分析。如解分式方程 ，利用變形換元求解等。

（2）增強解題過程的數學思想方法指導。解題的思維過程都離不開數學思想的指導，可以說數學思想指導是開通解題途徑的金鑰匙。

（3）提倡解題以后的數學思想方法的反思。

2.5 在數學活動中體驗數學思想方法

初中新課標教材非常注重數學活動課的教學，教材在每一章節的后面都設計了相關內容的數學活動，這些活動都是學生很樂意參與的一些與生活緊密聯系的活動。學生的這種學習活動是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。在這些數學活動中也蘊含著一定的數學思想方法。可以讓學生在活動學會思考、探索，真正體驗數學思想方法。

3 數學思想方法在教學中的價值和意義

數學課程改革的基本思路包括“以反映未來社會對公民所必須的數學思想方法為主線選擇和安排教學內容”。饒漢昌等數學教育專家曾撰文指出“數學思想、方法是素質教育的重要內容”。張奠宙先生主持的數學教育高級研討班，制定了《數學素質教育設計（草案）》，此草案對數學素質有一個界定，包括數學知識觀念、創造能力、思維品質和科學觀念四個層面。而數學思想方法是落實這四個方面的重要內容。

3.1 數學思想方法的學習，有助于學生掌握和理解數學知識

美國心理學家布魯納指出：“懂得基本原理更容易理解。”因此，當學生掌握了一些數學思想方法，再去學習相關的數學知識，就具有足夠的穩定性，有利于牢固地固定新學習的意義。

3.2 數學思想方法能夠培養學生的創造能力

社會日新月異的飛速發展，具有創新能力的高素質新型人才，已越來越成為社會的迫切需要。而作為素質型人才，不能只會簡單模仿，必須具備發明創造能力。掌握一定的思想方法，學會通過深入體會、思考，就能領悟其中的奧妙，培養人的創造能力，進而促進良好素質的培養。例如人們有了“分類”的思想，知道將超市的商品按不同的類別進行有條不紊的擺放，便于消費者的購買。有了“轉化”的思想，人們學會了在舉辦運動會時，給每一個運動員標上一個號碼，把運動員的姓名轉化為數據，給比賽的報道工作帶來了許多方便。

3.3 數學思想方法能培養學生的數學思維品質

很多學者都認為“數學思想、方法的教學能夠增進學生抽象思維，促進形象思維、直觀思維的敏捷性，有利于增強學生數學思維的靈活性，培養學生數學思維的開闊性，激發學生數學思維的獨創性。”這一觀點表明，重視數學思想、方法的教學是促進學生思維能力發展，使其形成良好的思維品質的素質教育的 重要內容。

3.4 數學思想方法有助于培養學生的科學觀念

數學思想、方法涉及面很廣，適當向學生介紹一些古今中外的數學思想、方法，不僅會開闊學生視野，而且有助于提高學生對數學的深入認識，激發學生的學習興趣和欲望，形成數學學習的內驅力。進而讓學生意識到數學不是各種各樣習題的堆積，而是蘊涵著深刻的哲理，這對學生形成科學觀念是大有益處的。例如有了“歸納、類比”思想，當人們在面臨各種社會機遇和挑戰時，能夠理智的、辨證的分析事情的“得”與“失”，樹立正確的科學人生觀。中職階段學生數學思想方法學習可使其提高思維水平，優化思維品質，提高用數學知識解決實際問題的能力，真正懂得數學的價值，建立科學的數學觀念，并形成良好的基礎。

3.5 加強進行數學思想方法教學，使學習者極大地提高學習質量和數學能力，使其受益終生

學生學習了數學思想方法就有利于學習遷移，特別是原理和態度的遷移，從而可以極大地提高學習質量和數學能力.例如，學生學習了類比并對類比的思想方法有所認識時，在學習因式分解時，產生遷移，正確地辨認出數、式分解的異同點，從而真正理解因式分解。

綜上所述，數學思想方法在數學教學中的應用的過程中，結合《數學課程標準》和教學大綱，按照啟發、吸收、消化和發展的認識規律進行總體策劃，分階段、有步驟地貫徹實施。切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實際等錯誤做法。教學設計上要有不斷完善和豐富數學思想方法的理念和觀點，在數學知識與數學思想方法之間建立有機的結合，形成完整的系統。

[1] 張奠宙主編.數學教育研究導引[M].江蘇教育出版社,1998.

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10.3969/j.issn.1001-8972.2012.08.142

曾廣銀 男 37 本科 數學助理講師 13年，研究方向：數學。