基于MATLAB的常見斷面收縮水深的計算方法

楊茂松，汪 清，馬子普

(1. 中國水利水電第五工程局有限公司，成都610066;2. 河海大學水利水電學院，南京210098;3. 西北農林科技大學水利與建筑工程學院，陜西楊凌712100)

當水流經泄水建筑物下泄時，勢能轉化為動能，在建筑物下游某個過水斷面流速達到最大，水深達到最小，這個最小的水深被稱為收縮水深。明渠渠道收縮水深的計算是分析泄水建筑物下游的水流銜接形式、消能設計以及判定水躍位置的關鍵和前提，在水利工程中經常遇到。常見斷面收縮水深的基本方程為高次隱函數方程，無法直接得出理論解，傳統的計算方法包括試算法、圖解法等，費時費力且精度不高。近十多年來，許多專家學者在計算斷面的收縮水深方面做了大量的研究工作，他們的研究成果主要集中在兩個方面:①基于無量綱原理，采用適當的數學變換得到收縮水深的直接計算公式［1－18］，②選取合理的初值采用迭代法求解斷面收縮水深［19－23］。另外，也有部分研究者采用其他方法進行求解，如鄒平桂［24］糅合了數學分析和迭代法的優點，根據求方程近似解的綜合法公式確定了合理的收縮水深初值及其遞推公式，金菊良等［25］應用加速遺傳算法來計算溢流壩下游收縮斷面水深，孫道宗等［26］采用增量調整法確定出合理的初值，變試算為直接計算。另外，我們可以注意到的一個突出特點是，這些探究收縮水深求解方法的研究成果主要集中于于矩形與梯形兩種斷面形式，而對于其他工程中也較為常見的斷面形式，如圓形、平方及立方拋物線形等斷面形式下的收縮水深研究較少。

MATLAB 具有很強的數據處理功能、靈活的插值方法、強大的圖像顯示和處理能力，是目前國際上最流行、應用最廣泛的科學和工程計算軟件。MATLAB 的這種獨特優勢使得到精確的收縮水深值成為可能，甚至得到比迭代或直接計算更精確的數值。然而，迄今國內在求解包括收縮水深在內的特征水深方面鮮見其應用。國內可見的較早報道采用MATLAB 語言編程計算過水斷面的收縮水深是在2008年［27］，文中編程計算了包括收縮水深在內的梯形斷面的四種特征水深。然而，其過程依然較為繁瑣，尚有很大的改進空間。本文將充分發揮MATLAB 語言簡單易懂的優勢，采用非常簡短的程序，通過具體實例，來編程求解梯形、圓形、平方拋物線形、立方拋物線形四種簡單斷面形式下的收縮水深。城門洞形、馬蹄形、直邊U 形均是由簡單斷面組合而成的的復合斷面，其收縮水深的求解與簡單斷面收縮水深的求解類似，只是在求斷面收縮水深前需要先求分界流量從而判定收縮水深所在深度范圍，三角形斷面可以看成是底邊長度為0 梯形斷面，矩形斷面都可以看成邊坡系數為0 的梯形斷面，它們的斷面收縮水深的求解都可通過梯形斷面收縮水深變換得到，本文不再對這這些斷面形式下的收縮水深進行編程求解。實例表明，MATLAB 語言編程求解過水斷面的收縮水深，其過程簡便易懂，結果精確。希望本文的方法有助于人們對MATLAB 求解思路的進一步認識，促進MATLAB 在水利工程中的推廣與應用。

1 斷面收縮水深的函數表達式

收縮水深的的基本方程為:

式中:E0為收縮斷面底部為基準面的泄水建筑物上游總水頭，m;hc為收縮斷面水深; Q 為下泄流量，m3/s; g 為重力加速度，m2/s;φ 為流速系數;Ac為收縮斷面面積，m2。

1.1 梯形斷面收縮水深的函數表達式

過水斷面面積計算公式為:

將式子(2) 帶入(1) 可得到梯形斷面收縮水深的的基本方程為:

式中:m 為邊坡系數;b 為底邊寬度，m。

1.2 無壓流圓形斷面收縮水深的函數表達式

收縮斷面水深計算公式為:

過水斷面面積計算公式為:

將式子(4) 、(5) 帶入(1) 可得到無壓流圓形斷面收縮水深的的基本方程為:

式中:r 為半徑，m;θ 為過水斷面圓心角，rad。

1.3 平方拋物線形斷面收縮水深的函數表達式

設平方拋物線方程為:

過水斷面面積表達式為:

將式子(8) 帶入(1) 可得到平方拋物線形斷面收縮水深的基本方程為:

式中: p 為形狀系數。

1.4 立方拋物線形斷面收縮水深的函數表達式

設立方拋物線方程為:

過水斷面面積為:

將式子(11) 帶入(1) 可得到立方拋物線形斷面收縮水深的基本方程為:

式中:p 為形狀系數。

2 應用舉例

2.1 梯形斷面的收縮水深

以文獻［12］為例，已知壩前斷面總水頭E0=10.31 m，通過流量Q=140 m3/s。梯形渠道底寬b=10 m，梯形邊坡系數m=1，流速系數φ=0.95，求壩下斷面收縮水深。

程序如下:

略去不合理的4個值，得收縮水深hc=0.991571 m。

2.2 無壓流圓形斷面的收縮水深

以文獻［13］為例，已知壩( 閘) 前斷面總水頭E0=12 m，通過流量Q=200 m3/s，圓形斷面直徑d =15 m，流速系數φ=0.95，求壩( 閘) 后斷面收縮水深。

先編程求解過水斷面圓心角θ，程序如下:

即過水斷面圓心角θ=1.536700089rad。

接下來編程求解收縮水深:

2.3 平方拋物線形斷面的收縮水深

以文獻［15］為例，已知壩前斷面總水頭E0=10.31 m，通過流量Q =140 m3/s，流速系數φ=0.95，若采用拋物線形斷面，其方程為y=0.25x2，求壩下斷面收縮水深h。

程序如下:

略去不合理的3個值，得收縮水深hc=2.7405 m。

2.4 立方拋物線形的收縮水深

以文獻［17］為例，已知壩前斷面總水頭E0=10 m，通過流量Q =100 m3/s，流速系數φ=0.95，若采用立方拋物線形斷面，其方程為y=0.40|X|3/2，求壩下斷面收縮水深hc。

略去不合理的3個值，得收縮水深hc=2.24942 m。

3 精度分析與誤差比較

實例所在文獻中均比較了所用公式與精確值的相對誤差，現將其與本文計算結果再進行比較，見表1。

表1 幾種斷面形式下收縮水深不同計算方法誤差比較Tab.1 Error comparison between different calculation methods for contraction depth of several common sections

4 結 論

應用MATLAB 語言，通過對梯形、圓形、平方拋物線形、立方拋物線形4 種斷面形式下的收縮水深的編程計算可以看出，其過程簡練，方法容易掌握。因它們都是直接采用理論公式進行計算，故精度非常高。MATLAB 作為一種強大的工程軟件，其獨特的優勢當可使其在水利設計與計算中得到更多的推廣和應用，并發揮更大的作用。

［1］蘆琴. 明渠特征水深直接計算方法的研究［D］. 西安: 西北農林科技大學，2005.

［2］王正中，雷天朝. 矩形斷面收縮水深簡捷計算公式［J］. 人民長江，1996，9(9) :45－46.

［3］孫建. 溢流壩或閘下出流收縮水深的直接計算公式［J］. 西北水資源與水工程，1996，7(1) :16－21.

［4］辛孝明，李喜慶，張發峰. 矩形斷面收縮水深的直接計算法［J］. 山西水利科技，1997(1) :32－35.

［5］劉善綜. 矩形收縮斷面水深三角公式［J］. 江西水利科技，1998，24(1) :40－41.

［6］萬德化. 泄水建筑物下游收縮斷面水深的精確計算公式［J］.人民長江，1998，29(4) :18－19.

［7］熊亞南. 泄水建筑物下游收縮斷面水深的簡化公式［J］. 水利水電技術，2002，22(5) :28－29.

［8］趙延風，王正中，孟秦倩. 矩形斷面收縮斷面水深的直接計算方法［J］. 人民長江，2008，39(8) :102－103.

［9］蘇魯平. 梯形斷面收縮水深的近似算式［J］. 人民長江，1997，26(4) :35－36.

［10］蘆琴，王正中，楊健康，任武剛. 準梯形及U 形斷面收縮水深簡捷計算方法［J］. 中國農村水利水電，2005(8) :67－69.

［11］李蕊，王正中，王乃信，王志剛. 梯形明渠收縮水深直接計算公式［J］. 人民黃河，2008，30(5) :80－81.

［12］趙延風，王正中，蘆 琴. 梯形斷面收縮水深的直接計算公式［J］. 農業工程學報，2009，25(8) :24－27.

［13］趙延風，王正中，孟秦倩. 無壓流圓形斷面收縮水深的近似計算公式［J］. 三峽大學學報( 自然科學版) ，2009，31(1) :6－8.

［14］蘆琴，王正中，任武剛. 拋物線形渠道收縮水深簡捷計算公式［J］，干旱地區農業研究，2007，25(2) : 134－136.

［15］趙延風，宋松柏，孟秦倩. 拋物線形斷面渠道收縮水深的直接計算公式［J］. 水利水電技術，2008，39(3) :36－37.

［16］文輝，李風玲. 拋物線斷面渠道收縮水深的解析解［J］. 長江科學院院報，2009，26(9) :32－33.

［17］文輝，李風玲. 立方拋物線斷面渠道收縮水深的直接計算方法［J］. 人民長江，2009，40(13) :58－59.

［18］趙延風，宋松柏，孟秦倩. 城門洞形斷面收縮水深的近似計算公式［J］. 節水灌溉，2007(8) :22－23.

［19］劉慶國. 收縮斷面水深的牛頓迭代解法［J］. 水利水電工程設計，1998(3) :29－30.

［20］張淑閣，韓軍，于寬. 泄水建筑物下游收縮斷面水深的迭代公式推導［J］. 黑龍江水利科技，2008，36(3) :58－59.

［21］王正中，雷天朝，宋松柏等. 梯形斷面收縮水深計算的迭代法［J］. 長江科學院院報，1997，9(3) :15－16.

［22］呂宏興，把多鐸，宋松柏. 無壓流圓形斷面水力計算的迭代法［J］. 長江科學院院報，2003，20(5) :15－17.

［23］劉計良，王正中，趙延風. 馬蹄形隧洞斷面收縮水深的迭代法計算［J］. 農業工程學報，2010，26(2) :169－171.

［24］鄒平桂. 收縮斷面水深的綜合法求解［J］. 湖南水利水電，2000(3) :8－9.

［25］金菊良. 計算溢流壩下游收縮斷面水深的方法［J］. 水利水電技術，2001，32(3) :19 ～21.

［26］孫道宗，洪余和. 增量調整法在水力計算中的應用［J］. 江西水利科技，2004，30(3) :129－131.

［27］趙延風，王正中，許景輝等. Matlab 語言在梯形明渠水力計算中的應用［J］. 節水灌溉，2008(4) :38－40.