生活中的數學問題

王錕

(廣東科技學院 基礎部，廣東 東莞 523083)

生活中的數學問題

王錕

(廣東科技學院 基礎部，廣東 東莞 523083)

從數學角度分析生活中的各種常見問題，嘗試用數學思維來推理其詳細過程及結果，旨在能更充分的理解問題的本質及過程，讓大家能深層次地認識現象，也希望通過這種數學思維的不斷鍛煉來解決更多的生活難題。

生活問題數學化;存款;貸款;個人所得稅

在越來越喜歡上網百度各種答案的今天，很多人越來越不重視解決問題的思路和過程，只在乎結果。我們現在有些教育也是這樣，僅僅告訴學生最后的公式或者結果，而不詳細解釋為什么會有這樣一個公式或結果的產生。其實，以數學教育為例，生活中有很多問題可以用數學思維來推理和解決，我們在教育學生的時候，不僅僅傳授的是數學知識，還要培養(yǎng)學生應用數學的意識，讓學生漸漸學會用數學思維來思考和理解周圍的事物，用數學方法來解決和分析遇到的生活問題。著名數學教育家H.弗洛登塔爾(Freudenthel，Hans)指出:“數學源于現實，并且用于現實”，這是一個值得欣賞的觀點。當然，從生活中的問題到用數學解決這些問題并不是一件簡單的事情，要有意識地不斷地培養(yǎng)、訓練和實踐。下面將用數學思維詳細地解釋和推理幾個生活中常見的問題。

一 存款問題

存款是常見行為，幾乎大部分人都去過銀行存款或者擁有存款，可是有多少人留意過存款所產生的利息(目前暫無需交利息稅)，利息因存款額和存款時間的不同而不同，利息是怎么計算的?錢存入銀行被很多人認為是一種最安全的投資，那么如果存一筆數額較大的錢在銀行一段時間，能夠產生多少利息呢?這是很多人關注的的問題?，F如今銀行計算存款都采用單利計算的方式，下面將詳細分析存款所得利息的思路及過程。

現設期初存入銀行x元為本金，設銀行年利息率為i，yi為第i年末本金和利息之和，則:

第一年年末除了期初已存入的本金x元外，還有本金在這一年中所產生的利息為x·i元，因此第一年期末的本金和利息之和y1=x+x·i=x(1+i)元;

第二年初始的本金仍然為x元不變，本金在這一年中產生的利息為x·i元，但是第二年期初已經有的上一年期末的x(1+i)元不變，因此第二年期末的本金和利息之和

y2=x(1+i)+x·i=x(1+i+i)=x(1+2i)元;

依此類推，尋找相應規(guī)律，可以得到第n期末的本金和利息之和為yn=x(1+ni)元。

例如:現期初存入銀行20 000元本金，整存整取存定期兩年，銀行的年利息率為4.4%(根據目前銀行最新利率表)，按照單利計算，請問兩年后本金和利息之和為多少?

解:x=20 000，i=4.4%，y2=x(1+2i)=20 000(1+2 ×0.044)=21 760元

這就意味著這20 000元在這2年中產生了1 760元的利息，本金和利息之和可以得到21 760元。

其實按照單利計算對于廣大的存款者并不公平，畢竟每期期末產生的利息廣大的存款者并沒有刻意地去取出來，也容易忘記取出來，所以這部分利息一般都繼續(xù)存在銀行中，但是這部分錢在以后的存款過程中并沒有產生任何利息，僅僅是放在銀行而已。因此會產生另外一種計算利息的方式，稱為復利計算，按照復利計算利息的思路和過程如下:

第一年期末計算利息的過程同單利計算，本金和利息之和為y1=x+x·i=x(1+i);

第二年初始的本金變?yōu)閤(1+i)元，新的本金在這一年中也將產生利息x(1+i)·i元，因此第二年期末的本金和利息之和y2=x(1+i)+x(1+i)·i=x(1+i)(1+i)=x(1+i)2元;

依此類推，尋找相應規(guī)律，可以得到第n期末的本金和利息之和為yn=x(1+i)n元。

例如:若上個例題中存入銀行的20 000元，按照復利計算，請問2年后本金和利息之和為多少?

解:x=20 000，i=4.4%，y2=x(1+i)2=20 000(1+0.044)2=21 798.72 元

二 買房貸款問題(等額本息還款法)

現在很多年輕人買房，幾乎很難承受高昂的房價，一般都是先付三成左右的首付，剩下的向銀行貸款，以每月還銀行部分款的形式買房。沉重的貸款往往會使很多年輕人感覺壓力很大，分期付款的方式有利有弊，但是貸款者需要知道自己的承受能力，以免出現不能及時還銀行貸款而產生滯納金甚至供不下去的情況。所以購房者需要知道分期付款的思路，怎么計算貸款，而不是盲目的任憑房屋銷售人員或者電腦計算程序幫忙計算，一個精明的理財者要知道錢是怎么花出去的，而不是將金錢掌控權放在別人手中。

接下來具體的分析買房分期付款的思路及過程，現設購房者向銀行貸款y0元，銀行貸款的月利息率為r(r=，i為年利息率)，還款期限為N個月，每月向銀行等額還款x元，還款約定從借款的下一個月開始，于是在這一個月中，貸款的y0元產生了相應的利息y0·r元，開始還款的第一個月還銀行x元后，還欠款y1=y0+y0·r－x=(1+r)y0－x;

第二個月還款x元后，還欠款y2=y1+y1·r－x=(1+r)y1－x;

第三個月還款x元后，還欠款y3=y2+y2·r－x=(1+r)y2－x;

依此類推，第N個月還款x元后，還欠款yN=yN－1+yN－1·r－ x=(1+r)yN－1－ x，且因還款期限為 N 個月，所以到此已經全部還完銀行貸款，yN=0。從后往前推，這是一個特殊的差分方程，逐項代入過程及相應結果如下:yN=(1+r)yN－1－ x=(1+r)［(1+r)yN－2－ x］－ x=(1+r)2yN－2－ x(1+r+1)=(1+r)3yN－3－ x［(1+r)2+(1+r)+1］ =(1+r)Ny0－ x［(1+r)N－1+(1+r)N－2+… +(1+r)+1］=(1+r)Ny0－x·=0

而 (1+r)N－1+(1+r)N－2+ … +(1+r)+1 為首項是a1=1，公比q=(1+r)的前N項和SN，根據等比數列的前N項和公式，SN==

代入差分方程yN，得到(1+r)Ny0－x·=0，解得 x=

雖然計算的過程比較麻煩，特別是(1+r)N，高次方很難計算，有簡便方法，打開電腦程序中的附件，選擇計算器，在查看中找到“科學型”，運用x∧y即可很快計算出結果。

例如:小王2012年1月在東莞買了1套三居室，共花了80萬，首付三成，剩下的向銀行貸款，銀行貸款的月利率為0.5%，貸款期限為20年，試問小王每月要還銀行多少錢?

解:房款共計80萬，首付了24萬，向銀行貸款56萬，供房240個月，所以

y0=560 000，r=0.005，N=240

雖然只向銀行貸款560 000元，但是因為月利息及貸款時間較長，因此實際上需向銀行還款4 012×240=962 880元，其中利息就高達962 880－560 000=402 880元。

三 個人所得稅的計算

作為公司普通的員工，每個月拿到工資條的時候，都會關注每一項所得以及扣款項目，其中個人所得稅的扣款數額經常不一致，所以很多人都想知道到底扣稅多少是如何計算的，雖然網上可以查到相應的稅率和速算扣除數，但是扣稅的詳細過程又到底是如何呢?接下來，我們利用分段函數來給大家詳細解釋扣稅的過程。

根據最新的從2011年9月1日起實施的扣稅標準，以3 500元為起點共有7級超額累進稅率，根據不同的月收入(扣除三險一金后)，有不同的稅率，我們現設每月月收入為x元，根據x的大小分別予以分段討論，如表1所示。

表1 個人所得稅的計算方法

①若x低于3 500元，包括3 500元，即x≤3 500不用扣稅;

② 若3 500＜x≤5 000，則比3 500元多的部分扣3%的稅，即(x－3500)×3%;

③若5 000＜x≤8 000，則比5 000多的部分扣10%的稅，即(x－5000)×10% 除此外，3 500－5 000元這部分也需按照3%扣稅，所以這部分需扣(5 000－3 500)×3%=45元，共扣稅(x－5 000)×10%+45元;

④若8 000＜x≤12 500，比8 000多的部分扣20%的稅，即(x－8 000)×20%，除此外，3 500－5 000部分仍需扣45元，5 000－8 000部分按10%扣稅，(8 000－5 000)×10%=300元，共扣稅(x－8 000)×20%+45+300=(x－8 000)×20%+345;

依此類推，可以得到扣稅分段函數如下:

例如:小李2011年10月扣除三險一金后收入為9 000元，則他應交稅多少?

解:因9 000元屬于8 000＜x≤12 500這一段，所以代入公式有

(9 000－8 000)×20%+345=545元，應交稅545元。

通過以上存款、買房貸款及個人所得稅的過程分析，我們可以發(fā)現其實生活中的很多問題可以數學化，能利用數學思維和演算方式來解決這些問題。很多人都了解一些現象的表面，卻從沒有嘗試著去理解現象的背后和深層，所以希望借助以上分析能讓大家對這些經常遇見的問題有所了解，并能帶動大家嘗試用數學思維來分析和研究很多生活問題的積極性。

［1］李心燦.高等數學應用205例［M］.北京:高等教育出版社，1997.

［2］王 錕.函數的案例教學與教學案例［J］.考試周刊，2012，12(3):71 －72.

029

A

1674－5884(2012)07－0171－02

2012－04－11

王 錕(1983－)，男，湖南瀏陽人，碩士，講師，主要從事數學應用研究。

(責任編校 謝宜辰)