反演設計對束暈-混沌束包絡的非線性反饋控制

華能曲阜電廠 閆華龍

反演設計對束暈-混沌束包絡的非線性反饋控制

華能曲阜電廠 閆華龍

能源危機是全世界面臨的重大問題之一，如何利用新能源造福社會是科研工作者的歷史使命。目前核聚變能已成為一種世界公認的未來清潔型能源，核能的高效性可以充分滿足人類社會生產和生活的需要，具有極大的推廣價值。為了使得核電系統能發揮其最大利用空間，科學家提出了以加速器為驅動的放射性潔凈核能系統（ADS），它把加速器和反應堆結合起來，是一種更安全、更潔凈的新一代核能系統。

然而該系統對加速器的要求極高，一些實驗研究成果和理論模擬計算都已發現，在強流加速器的低能傳輸段，束流會產生一個比束核半徑大得多的低密度暈圈，我們將該現象稱為束暈–混沌現象。束暈–混沌現象是目前強流粒子束應用中所面臨的困難問題之一。因此，對束暈–混沌及其控制的研究有著重要的理論和實際意義。

反演設計方法是一種基于Lyapunov穩定性條件的遞推設計方法，近年來，該方法在非線性控制領域有著十分廣泛的應用。反演設計方法的主要思想是：在對具有反饋形式的非線性系統進行控制時，從非線性系統的輸出變量向控制輸入變量“反演”，進而得到一系列反饋控制律及相應的Lyapunov函數，由此構造反演反饋控制器，實現對非線性系統的漸近穩定控制。

一、束包絡半徑的數值模擬

令 d rb/d s＝ρ，則周期聚焦通道中滿足K–V分布的粒子束歸一化包絡方程如下形式：

式（1）中，K為束導流系數，κz（s）為聚焦場的幅度，rb為束匹配半徑。選取適當的參數：周期聚焦場的占空比η＝0.4，束導流系數K＝0.903 2，聚焦場的幅度大小κz（0）＝10.07，束匹配半徑rb0＝0.789 1。取積分步長為0.02，初始條件rb（0）＝1.578，ρ（0）＝1。用四階龍格–庫塔法對式（1）進行數值求解，得到如圖1所示的束包絡半徑的相軌道。

圖1 束包絡半徑的相軌道

二、反演設計反饋控制器

假設存在一個控制器u（s），在該控制器作用下，包絡方程變為：

以束包絡匹配半徑rb0為控制目標，為了得到假設的控制器u（s）的具體表達形式，引入粒子束包絡半徑的控制誤差e1，e1按下式計算：

對上式兩邊求導，得

引入變量a1，并令a1＝－b1e1，其中b1＞0，且b1作為控制調節因子。分別定義變量e2和Lyapunov函數V如下：

對式（5）兩邊求導，得e2′＝ρ′－a1′。

利用式（5）和式（5），可推導出Lyapunov函數V的導數：

將式（5）帶入上式，得

當式（9）成立時，V′≤0恒成立。因此在Lyapunov函數穩定性條件下，rb→rb0，控制目標將得以實現。根據式(2）和式（9）可推導出K–V分布條件下控制周期聚焦場強流粒子束包絡混沌運動的非線性控制器u（s）的表達式：

三、對束包絡的反演反饋控制數值模擬

設置控制參數因子b1＝10，對束包絡受控方程（2）實施控制。為了便于比較有無控制時的不同效果，先讓方程式（2）自由演化3 000個積分步長后，再采用式(10）所示控制器實施控制。束包絡半徑rb與控制目標rb的誤差函數隨時間演化的情況如圖2所示。由圖2可知，未加控制時，誤差函數（束包絡半徑rb與控制目標rb0的相對距離）無規則振蕩，即束包絡半徑的徑向運動處于混沌狀態。施加控制后，rb與rb0之間的相對距離很快收斂，并一直穩定在0附近，這說明粒子束包絡半徑被穩定控制在束匹配半徑上，有效達到了控制目標。

圖2 包絡半徑誤差的時間演化

四、結論

綜上，反演設計非線性反饋控制方法以Lyapunov函數的穩定性理論為依據，能較好地把處于混沌狀態的失匹配束包絡半徑穩定控制到匹配半徑，具有較快的起控速度， 對于強流加速器驅動的放射性潔凈核能系統（ADS）領域的研究有著積極的意義。