陣列誤差對Capon波束形成算法的影響分析

鄧志鑫

(河北省衛星導航技術與裝備工程技術研究中心，河北石家莊 050002)

0 引言

標準的Capon波束形成器［1］在期望信號導向矢量精確已知時，可以獲得良好的干擾抑制性能。在實際中，由于受天線誤差的影響，期望信號的陣列流型并不能精確已知，這時Capon波束形成的性能會急劇下降。雖然目前已經提出許多方法來改進Capon波束形成的穩健性［2-6］，但這些算法計算復雜，會增加系統的小型化難度。隨著陣列天線制造工藝水平的提高，對陣列天線的制造提出合適的指標以保證Capon波束形成算法的性能是解決陣列誤差問題的有效途徑之一。陣列誤差主要由通道不一致性、天線互耦以及陣元位置不精確等原因引起［7］，因此可以統一表現為陣列的幅度誤差、相位誤差以及位置誤差。

1 均勻圓陣Capon算法

線性約束最小方差準則可表示為:

利用拉格朗日乘子算法，此時最優權值為:

其中，W=［w1，w2，…，wM］T為 M ×1 維向量，M 為陣列天線的陣元數;R為M×M維的接收信號協方差矩陣;S為M×1維的約束向量。當信號方向未知時，有 S=［1，0，…］T。如果信號方向已知，S=［S1，S2，…SM］為其空間方向矢量。圖1為均勻圓陣條件下的空間導向矢量模型示意圖，在該模型下，空間方向矢量中的元素可表達為如下形式:

式中，k=1，2，…，M;f為信號中心頻率;dk為每個陣元與陣列中心之間的距離;c為光速;φk為等效的信號俯仰角;θk為等效的信號方位角，θ0k為等效的第1個陣元方位角，Ak為標準增益。對于圖1所示的模型，如果沒有陣元誤差，則有 θ0k=π/4，Ak=1，dk=λ/2，λ為信號中心頻率的波長。

空間方向矢量S代表著Capon算法的波束指向。當存在陣列誤差時，各種陣列誤差可歸結為空間方向矢量的畸變，從而使波束指向發生偏移，此時Capon算法將無法保證信號方向的增益。

圖1 均勻圓陣空間導向矢量模型

2 陣列誤差建模

2.1 幅相誤差模型

陣列天線存在幅相誤差時的模型可等效于在空間導向矢量的幅度和相位上增加一定的擾動，這種擾動在每個陣元上是隨機的。例如，當天線存在幅度誤差時，此時空間導向矢量中的增益可表達為:

式中，ΔAk為第k個陣元上的幅度偏差，其單位是dB。當陣列天線存在相位誤差時，式(4)中的Pk可重新表達為:

式中，ΔPk為第k個陣元在頻率f上的相位偏差，其單位是(°)。因此，存在陣列幅相誤差時的圓陣空間方向矢量可以重新表達為:

2.2 位置誤差模型

當陣列天線存在水平位置誤差時，式(4)中的dk和θ0k將發生變化，此時有:

式中，ΔXk、ΔYk分別為水平面內2個相互垂直方向上的位置誤差。因此，當天線存在水平位置誤差時有:

當陣列天線存在法線方向上的垂直位置誤差時，式(4)中的dk和φk將發生改變，并有:

此時，Pk應重新表達為:

式(3)與式(4)是空間方向矢量的基本模型。如果陣列存在幅相誤差，則應采用式(5)、式(6)和式(7)進行建模;如果陣列存在水平位置誤差，則可采用式(8)、式(9)和式(10)進行建模;如果陣列存在垂直位置誤差，則應采用式(11)、式(12)和式(13)進行建模。下面將給出上述陣列誤差模型對Capon波束形成算法影響的仿真結果。

3 仿真結果分析

3.1 仿真條件

假設陣列天線為4陣元均勻圓陣，陣元間距為λ/2，所加載的誤差是均值為零、方差可變的正態分布隨機值，并且每個陣元的誤差單獨加載。每種誤差對Capon算法性能影響的分析均采取100次蒙特卡羅仿真作為全體樣本，并求取其對理想性能改變的方差值作為評估陣列誤差對算法性能影響的依據。由于不同方位角上，陣列誤差對算法性能的影響是各向同性的，因此這里僅分析不同俯仰角所帶來的影響。

3.2 幅相誤差仿真結果

圖2為不同俯仰角處陣元幅度誤差對波束幅度的影響示意圖，由其可知，不同俯仰角處的改變規律基本相同，且波束增益改變方差同通道增益方差之間大致呈1:3的線性關系，當通道增益方差為1 dB時，波束增益改變方差僅為0.3 dB左右。因此陣元幅度誤差對算法的影響不大。

圖3給出了不同俯仰角情況下陣元相位誤差對波束指向的影響，由該圖可知，相位誤差方差在10°以內時，其與波束指向偏差方差之間基本呈線性變化關系。在低俯仰角處，相位誤差對波束指向俯仰角的影響較大;在高俯仰角處，相位誤差對波束指向方位角的影響較大。而且相位誤差方差對俯仰角20°處的俯仰角影響與對俯仰角70°處的方位角影響基本相同，與此相似，相位誤差方差對俯仰角70°處的俯仰角影響與對俯仰角20°處的方位角影響基本相同。這說明相位誤差對波束指向影響在不同俯仰角處具有一定的對稱性，這種對稱性是由圓陣空間導向矢量的形式所決定的。

圖2 陣元幅度誤差對波束幅度的影響

圖3 陣元相位誤差對波束指向的影響

3.3 位置誤差仿真結果

不同俯仰角情況下陣元水平位置誤差對波束指向的影響如圖4所示，水平位置誤差在5 mm以內時，其與波束指向偏差方差之間基本呈線性變化關系。在低俯仰角處，水平位置誤差對波束指向俯仰角的影響較大;在高俯仰角處，水平位置誤差對波束指向方位角的影響較大。

圖4 水平位置誤差對波束指向的影響

圖5則展示了不同俯仰角情況下陣元垂直位置誤差對波束指向的影響，由該圖可以看出，垂直位置誤差在5 mm以內時，其與波束指向偏差方差之間基本呈線性變化關系。在低俯仰角處，垂直位置誤差對波束指向俯仰角的影響較大;在高俯仰角處，垂直位置誤差對波束指向方位角的影響較大。

圖5 垂直位置誤差對波束指向的影響

比較圖4和圖5還可以發現，存在水平位置誤差時，當信號俯仰角變化時，波束指向的方位角偏差對此變化不敏感，在俯仰角20°和俯仰角70°處，2條曲線基本重合，而波束指向的俯仰角偏差對此變化較敏感;當存在垂直位置誤差時正好相反，當信號俯仰角變化時，波束指向的俯仰角偏差對此變化不敏感，在俯仰角20°和俯仰角70°處，2條曲線也基本重合，而波束指向的方位角偏差對此變化較敏感。

4 結束語

綜上所述，根據上面的建模與仿真結果，可以得到如下結論:對于4陣元的均勻圓陣，陣元幅度不一致性方差與Capon波束增益偏差方差之間基本呈3:1的線性關系，幅度不一致性對算法影響不大;陣元位置誤差對波束指向偏差的影響較小，從目前的天線工藝水平來看，該影響可忽略不計;對于4陣元均勻圓陣，陣元相位不一致性方差與Capon波束指向偏差方差之間可呈1:1的線性關系，因此陣元相位誤差對Capon算法的性能影響較大。在工程實現時，必須對天線陣元間的相位不一致性作嚴格的指標約束，或者必須對天線進行標校以減輕該影響。

［1］CAPON J.High Resolution Frequency-wavenumber Spectrum Analysis［J］.Proceedings of IEEE，1969，57:1408-1418.

［2］BUCKLEY K M，GRIFFTHS L J.An Adaptive Generalized Sidelobe Canceller with Derivative Constraints［J］.IEEE Trans on Antennas Propagat，1986，34(3):314-319.

［3］CARLSON B D.Covariance Matrix Estimation Errors and Diagonal Loading in Adaptive Arrays［J］.IEEE Trans on Aerospace andElectronicSystems，1988，24(4):397-401.

［4］GUERCI J R.Theoryand Application ofCovariance Matrix Taper for Robust Adaptive Beamforming［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1999，47(4):977-985.

［5］LI Jian，STOICA P，WANG Zhi-song.On Robust Capon Beamforming and Diagonal Loading［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2003，51(7):1702-1714.

［6］崔偉，駱魯秦，李云鵬.導向矢量存在匹配誤差時Capon波束校正算法［J］.數據采集與處理，2009，24卷增刊(10):84-87.

［7］王鼎，吳瑛.一種新的陣列誤差有源校正算法［J］.電子學報，2010，38(3):517-524.