一種基于雙譜的信號檢測方法

楊 政，楊春武，王明洲

(1.中國船舶重工集團公司第七〇五研究所，陜西 西安 710075;2.水下信息與控制重點實驗室，陜西 西安 710075)

0 引言

所謂微弱信號［1］的檢測，就是通過一定方法抑制噪聲，恢復、提取有用信號，提高信噪比。傳統的微弱信號檢測理論和方法采用似然比檢測，但其有2個明顯的缺點:①要求觀測對象必須滿足高斯條件的假設;②當觀測噪聲的信噪比下降時，系統的檢測性能急劇下降，很難得到滿意的檢測概率。現代數字信號處理的發展，帶動著各種新的理論和方法不斷出現。其中高階譜分析是在相關函數、功率譜理論等二階統計量的基礎上發展起來的［2］，具有以下優點:①能抑制高斯噪聲，從而能提高參數估計性能;② 包含了相位信息，可用于非最小相位系統和信號的辨識;③能反映隨機過程的分布偏離高斯分布的程度，可用于信號分類;④ 能檢測刻畫信號的非線性特性或者辨識非線性特性［3］。

本文利用雙譜對疊加高斯噪聲的信號進行檢測，經仿真結果比較，在低信噪比的情況下，基于雙譜的信號檢測方法比傳統的FFT方法檢測效果更好。

1 隨機變量的特征函數

假設隨機變量x的概率密度函數為p(x)，它的特征函數定義為:

對式(1)取對數，得到隨機變量x的第二特征函數

推廣至k維隨機矢量x=［x1x2…xk］T的特征函數定義為:

其中:ω =［ω1ω2…ωk］T。相應的，隨機矢量x的第二特征函數定義為:

2 隨機變量的矩、累積量

對隨機矢量x=［x1x2…xk］T的特征函數Φ(ω)作r=v1+v2+… +vk階偏導數，

取ω1=ω2=… =ωk=0，式(5)變為:

即隨機矢量x=［x1x2…xk］T的r=v1+v2+… +vk階矩為:

同理，對隨機矢量x=［x1x2…xk］T的第二特征函數Ψ(ω)作r=v1+v2+…+vk階偏導數，并取ω1= ω2=… =ωk=0，可得隨機矢量x=［x1x2…xk］T的r=v1+v2+… +vk階累積量為:

特別的，取v1=v2=… =vk=1，得到最常見的k階矩和k階累積量，分別記作

和

3 隨機過程的矩、累積量

設{x(t)}是k階平穩隨機過程，則該隨機過程的 k 階矩 mkx(τ1，τ2，…，τk－1)定義為

k 階累積量 ckx(τ1，τ2，…，τk－1)定義為:

比較式(9)和式(12)可知，平穩隨機過程的k階矩和k階累積量實際上就是隨機矢量

的k階矩和k階累積量。

4 高階譜

隨機過程的功率譜定義為自相關函數的Fourier變換。類似的，隨機過程{x(n)}的高階矩譜和高階累積量譜分別定義為高階矩和高階累積量的Fourier變換。

設高階矩 mkx(τ1，τ2，…，τk－1)絕對可和，即

則k階矩譜定義為:

設高階累積量 ckx(τ1，τ2，…，τk－1)絕對可和，即

則k階累積量譜定義為:

高階矩、高階累積量及其相應的譜是4種主要的高階統計量。通常高階累積量譜簡稱高階譜或多譜。

常用的高階譜有三階譜和四階譜，即

通常稱三階譜為雙譜，四階譜為三譜。

在實際的信號處理中，高階累積量和高階矩各有特點，一般高階矩及其譜適合確定性信號的瞬態特性或周期性的分析，而高階累積量及其譜適合隨機信號的處理，主要原因有:高階累積量能抑制高斯噪聲，同時統計獨立隨機過程之和的累積量等于各自累積量之和，而高階矩沒有這些特點。因此，高階累積量及其譜在非高斯隨機過程中得到了廣泛應用［4］。

5 基于雙譜的信號檢測

信號的檢測問題就是判斷觀測數據中是否有目標信號存在［5］。檢測系統的輸入(即觀測數據)x(k)有2種可能，即x(k)=s(k)+n(k)或x(k)=n(k)，其中，k=1，2，…，N，s(k)和 n(k)分別為信號和干擾，檢測系統的任務就是對輸入x(k)進行運算或處理，然后對檢測額輸出進行判斷是否有信號存在。一般情況下，信號s(k)和噪聲n(k)之間相互獨立。

基于傳統的功率譜估計方法，則有

基于雙譜方法，則有

6 仿真驗證

假設某一信號x(t)=sin(2πf1t)+2cos(2πf2t)+3sin(2πf3t)，其中f1=0.2，f2=0.3，f3=0.4。對該信號加入隨機噪聲，然后在SNR=－3 dB噪聲背景情況下采用雙譜方法檢測該信號［6］，并與傳統FFT方法進行對比。驗證實驗中對信號的采樣點數N取256。仿真結果如圖1～圖12所示。

由仿真結果可以看出，基于傳統FFT的檢測方法，對疊加隨機噪聲的信號存在一定的誤差。而由于高階累計量無論對隨機噪聲，還是高斯噪聲有明顯的抑制效果，在微弱信號情況下基于雙譜的目標檢測方法有良好的效果。

7 結語

由于高斯噪聲的高階累計量為0，在檢測混雜噪聲中的微弱信號時，高階累計量和高階譜具有明顯的優勢。本文采用基于雙譜的目標檢測方法，對SNR=－3 dB隨機噪聲背景下的微弱信號進行檢測，仿真結果表明，該方法效果良好。

圖12 信號s疊加噪聲信號n經雙譜檢測方法處理后的三維圖Fig.12 The result of signal s mixed with random noise n via a signal detection method based on bi-spectrum

［1］劉俊，張斌珍.微弱信號測技術［M］.北京:電子工業出版社，2005.26 －32.

［2］張賢達.時間序列分析——高階統計量方法［M］.北京:清華大學出版社，1996.204 －210.

［3］吳正國，夏立，尹為民.現代信號處理技術——高階譜、時頻分析與小波變換［M］.武漢:武漢大學出版社，2003.15 －29.

［4］皇甫堪，陳建文，樓生強.現代數字信號處理［M］.北京:電子工業出版社，2003.282 －298.

［5］李志舜.魚雷自導信號與信息處理［M］.西安:西北工業大學出版社，2004.204 －209.

［6］陳仲生.基于MATLAB 7.0的統計信息處理［M］.長沙:湖南科學技術出版社，2005.185 －207.