工程力學中桿件內力的統一簡單算法

張玉梅

（赤峰學院 建筑與機械工程學院，內蒙古 赤峰 024000）

工程力學中桿件內力的統一簡單算法

張玉梅

（赤峰學院 建筑與機械工程學院，內蒙古 赤峰 024000）

工程力學課程中，桿件內力的分析和計算是解決桿件強度、剛度、穩定性等問題的關鍵，是教學重點和難點.文章在截面法的基礎上，提出了桿件內力求解的統一簡單算法，給出了計算口訣，并合理定義了彎矩符號.教學實踐證明，此方法便于學生理解掌握，能夠大幅度提高內力求解速度，而且不易混淆忘記.

內力；截面法；統一算法

1 前言

工程力學中研究的內力是指物體因外力作用而引起的物體內部各部分間的作用力[1]，其實質是物體內力的改變量，因此也被稱為附加內力[2].因課程主要研究桿件的內力，下文中把內力稱為桿件內力.

桿件內力的分析與計算，是工程力學的重點內容，也是學習難點，概念抽象，內容生澀，學生理解困難，而且感到比較混亂.截面法是分析求解桿件內力的基本方法，原理清晰，但解題過程煩瑣、耗時，包括截、取、代、平四個主要步驟[3]，另外，不同變形桿件的內力求解相互獨立，沒有直接聯系，顯得比較零亂.本文以截面法為基礎，從桿件三種主要基本變形入手，分析、討論并給出桿件內力分析求解的統一簡單方法.

2 桿件內力求解的簡單方法

2.1 軸向拉壓變形

物體受力如圖1（a）所示，求1-1截面內力.

圖1

首先，根據桿件受力特點——所有外力作用線均與桿件軸線共線，判斷出桿件發生軸向拉（壓）變形，則1-1橫截面上內力是軸力，用FN表示，軸力的符號規定為拉伸為“+”，壓縮為“—”.軸力的截面法求解具體如下：

第一步“截”，用一個假想平面將桿件從1-1截面截開.

第二步“取”，將截面的左側或右側的桿件取出，即取分離體，如圖 1（b）所示.

第三步“代”，被截開截面處桿件兩部分間的內力用軸力來“FN”代替，如圖 1（c）所示.

最后一步“平”，根據所取分離體的受力圖和平衡條件，列平衡方程，求解1-1截面軸力.具體為：

根據平衡條件∑Fx=0（x為軸線方向）列平衡方程并求解：

同理計算其它橫截面上的軸力，可發現規律：任意橫截面上的軸力，等于截面一側所有軸向外力代數和，即FN=∑Fix，其中拉伸方向的外力取符號“＋”，壓縮方向的外力取符號“－”.

2.2 扭轉變形

圖2

如圖2（a），圓軸受一組外力偶作用，求橫截面n-n上的內力.

根據圓軸受力特點——圓軸在不同的橫截面上受外力偶作用，可以判斷出圓軸會發生扭轉變形，因此截面n-n上的內力應為扭矩，用T1表示.扭矩的符號根據右手螺旋法則確定，四指與扭矩轉向一致時，拇指指向截面外側，定義為“+”，指向內側，定義為“—”.

與軸向拉（壓）變形方法相同，采用截面法進行分析和計算，分離體及受力圖如圖 2（b）、（c）所示.

由圖2（b）根據平衡條件∑Mx=0列平衡方程并求解：

同理計算其它橫截面上的扭矩，可發現規律：圓軸發生扭轉變形時，任意橫截面上的扭矩，等于截面一側所有繞軸線轉動的外力偶矩代數和，即T=∑Mix，其中根據右手螺旋法則判斷出拇指指向外側的外力偶矩取符號“＋”，指向內側的外力偶矩取符號“－”.

2.3 平面彎曲變形

所謂平面彎曲變形是指當橫向外力、外力偶都作用在梁的縱向對稱面內，使梁的軸線在縱向對稱面內彎成一平面曲線的變形情況，也稱為對稱彎曲變形.平面彎曲變形是彎曲變形的最基本情況，是解決彎曲變形的基礎，也是工程實際中廣泛存在的變形形式.

如圖3（a）所示，梁AB在其縱向對稱面內受到一組橫向外力作用，求距A點x的截面上內力.根據其受力特點，可以判斷出構件會發生平面彎曲變形，以下簡稱彎曲變形.根據平衡條件，可以判斷出橫截面內會存在剪力和彎矩兩種形式的內力，剪力用Fs表示，彎矩用M表示.Fs符號規定為：繞研究對象順時針旋轉為“+”，逆時針旋轉為“－”；M符號特別強調不做硬性規定，在具體計算時可任意假定，比如在下圖中可以規定：使梁下側受拉伸時取“+”，從而避免斜梁或豎梁中符號判斷可能出現的混亂.

利用截面法進行分析和計算，分離體及受力圖如圖3

圖3

（b）所示，內力全部按正號方向畫出.

同理計算其它橫截面上的剪力和彎矩，可發現規律：梁發生彎曲變形時，任意橫截面上的剪力，等于截面一側所有橫向外力代數和，力偶不計，即Fs=∑F橫向，其中相對研究對象順時針方向旋轉的取“+”，逆時針方向的取“-”；任意橫截面上彎矩，等于截面一側所有橫向外力對該截面形心的力矩代數和，力偶就等于其本身力偶矩，即M=∑MC，其中與自己規定的正號彎矩作用效果的力矩取“＋”，否則取“－”.如本例中，使梁下側受拉伸的外力矩取正.

3 桿件內力求解的統一簡單算法

通過上述三種基本變形的內力分析與計算可以看出，在受力比較復雜時，內力分析起來比較麻煩，盡管參照上面各種基本變形的歸納結果，學生還是容易混亂.針對這一問題，提出下面統一求解方法：

任意一個橫截面上的內力等于截面一側相應外力（產生該種內力的外力）或外力矩代數和，數學表達式為：

F內=∑（截面一側相應外力或外力矩），符號與前面規定一致.

4 結論

針對工程力學學習中桿件內力求解的繁瑣和混亂問題，歸納總結并提出了桿件內力的統一簡單求解方法，給出了計算口訣，并指出彎矩符合的更合理定義.實踐教學證明，在以截面法進行理論分析推導的基礎上，引領學生對統一簡單方法的進行歸納總結并加以運用，使學生能夠更清晰地判斷桿件變形類型，更深刻地理解和掌握桿件內力求解方法，達到了快速準確解決問題的目標，同時鍛煉了學生分析總結問題的能力，培養了學生主動思考、及時歸納的學習習慣.

〔1〕陳位宮.工程力學[M].北京：高等教育出版社，2008.

〔2〕張定華.工程力學[M].北京：高等教育出版社，2000.

〔3〕張慶霞，金舜卿.建筑力學[M].武漢：華中科技大學出版社，2010.

O341

A

1673-260X（2012）11-0016-02