數學建模思想在概率論與數理統計課程中的應用

李曉康

（陜西理工學院 數學系，陜西 漢中 723000）

數學建模思想在概率論與數理統計課程中的應用

李曉康

（陜西理工學院 數學系，陜西 漢中 723000）

數學建模，即運用數學原理與方法解決實際問題的全部過程.討論了將數學建模思想應用到概率論與數理統計課程教學中，采用案例式教學，以培養和提高學生的以解決問題為核心的實踐和應用能力，并給出了兩個教學中的案例.

數學建模；概率論與數理統計；案例式教學

數學建模，即運用數學原理與方法解決實際問題的全部過程，其中包括問題的簡化與假設、模型的建立與求解、解的分析與評價、模型的檢驗與應用.它鍛煉和培養的是以發現問題、分析問題、解決問題為核心的綜合能力，是與數學的實質相符合的.數學的實質在于透過現象，描述問題的本質及其內在規律，并利用合適的數學形式將其表述.傳統的數學專業數學課程的教育教學方式非常重視學生的邏輯思維與推力、計算能力的培養，而在學生的實踐能力與動手能力的培養方面顯得不足.為了加強學生的實踐能力與動手能力的培養，近年來，國內一些院校及學者紛紛開展了傳統教育教學體系的改革與研究[1,2]，全國中小學也開展了新課程教育教學內容與手段的改革.隨著基礎教育改革的不斷深入，在當前教育改革發展的諸多工作中，培養和培訓適應我國經濟、社會發展特別是新一輪基礎教育課程改革需要的新型教師，是一項重要而緊迫的任務.近年來，數學專業在培養目標，課程體系，教學內容，教學方法和教學手段等方面也進行了一系列改革.但改革的深度和速度仍不能適應社會對人才的需要，具體表現在：

1）培養目標和課程體系仍立足于本專業，重視本專業課程的縱向發展而忽視學科之間的橫向聯系.數學教學過分強調每個學科或課程自身的體系，而不同學科或課程的內容及方法嚴重割裂，這既不利于整體數學觀點的建立，又制約了數學綜合能力的提高，培養的學生知識面狹窄，綜合應用能力差.

2）課程內容仍存在陳舊僵化的弊端.現行數學課程體系，大多數內容是19世紀以前的傳統數學，而富于活力的近現代內容，特別是20世紀以來的數學研究的新成果則無法進入課堂，既不能適應社會發展和科技進步，又脫離基礎教育實際.

3）以數學建模思想和技術為核心的數學思想和方法迅速滲透和應用到生產、生活、工程技術的各個領域.而傳統的數學類課程在這一方面不能滿足社會對實踐型和應用型人才的要求.

因此，原有課程設置和教學內容已不能適應社會經濟發展對人才的需要.將數學建模思想、方法融入到數學與應用數學專業的主干課程，強化以數學建模思想和技術為核心的實踐、應用能力的培養，改革、創新傳統的課堂教學模式，適應新形勢下社會對人才的要求，具有十分重要的理論與實際意義.

本文旨在探討將數學建模思想和方法滲透和融入到概率論與數理統計課程中，改革傳統的課堂教學模式，培養和提高學生應用隨機數學的思想方法建模、解決實際問題的實踐、應用能力.

1 概率論與數理統計課程的特點

概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的數學分支.其理論方法獨特，抽象，它是建立在公理化結構之上，理論嚴密，體系完整，同時，它的實踐性又很強，很多重要的統計思想、方法都是來自于實踐，又運用于實踐.故它與數學建模的“始于實踐，終于實踐”的特點是一致的，可采用數學建模教學的模式組織和實施課堂教學，以便激發和提高學生對本課程的興趣，達到良好的教學目的與效果.

2 采用案例式教學方法，將數學建模思想融入到概率論與數理統計教學

為將數學建模思想融入到概率論與數理統計教學中，培養和提高學生以解決問題為核心的實踐和應用能力，可按照數學建模課程的模式組織概率論與數理統計課程中某些內容的教學.具體來講，就是以實際問題為背景，采用案例式教學方法.“案例教學”就是通過實際問題的描述、假設、建模與求解，演示理論與方法的應用過程.數學上，這樣的教學方式就是所謂的“問題解決”的數學建模的思想.這種方法不拘泥于對理論和方法的闡述，更注重對理論與方法的實際應用過程的展示：包括問題的描述、所涉及的變量及其相互關系、問題的假設與簡化、問題的數學模型的建立與求解.即案例式教學是以問題為中心的一種教學方法，以問題為主線，發現問題，分析問題，解決問題，以問題開始，以解決問題結束.通過這種教學方式，可強化學生對基本概念、方法的理解，激發學生的學習興趣.

在概率論與數理統計課程教學中，在介紹完每一章的基本概念、理論、方法之后，適當的引入一些相關的教學案例，可以激發學生的學習興趣，加深學生對所學基本知識的理解，通過對案例的深入分析，可以強化學生發現問題、分析問題、解決問題的能力.下面介紹幾個在本課程中使用的案例.

2.1 運氣問題

此問題通過對日常生活中的運氣問題的分析，加深了大家對古典概型中相關知識與方法的理解[3,4].問題如下：

日常生活中，我們經常遇到某件事（結果）連續發生，如打牌時連續摸到好牌（或臭牌），是否存在我們所說的運氣？

下面運用古典概型相關方法對此進行深入分析，以使學生對此問題有更深入的理解.

我們運用擲硬幣試驗對打牌問題進行描述：

第i次擲出正面表示第i次得到好牌，用“1”表示；

第i次擲出反面表示第i次得到臭牌，用“0”表示；

則可以得到由“1”和“0”表示的序列，表示幾輪得到的牌，如：1000111001111000等.

在此序列中，連續出現的：“1”和“0”成為 1游程和 0游程，“1”和“0”的個數稱為游程長度，則出現的1游程和0游程表示連續摸到好牌和連續摸到臭牌.那么，出現1游程和0游程有何規律呢？讓我們先分析下面的例子：

以上結果可由下面問題得出：

對m>r,滿足方程x1+x2+…+xr=m的正整數解（x1,x2,…xr）共有個.

一般地，可考慮獨立重復擲硬幣n次，得到m個反面，用0和1表示反面和正面，則結果可用0和1的序列表示，用R表示1游程的個數，則恰有r個1游程的概率為：

下面是一組100次擲硬幣試驗的結果：

由 3.1 式：n=100，m=47,可計算得：

r 22 23 24 25 26 27 28 29 P 0.064 0.102 0.137 0.157 0.154 0.129 0.092 0.056

由以上結果可得：

即以近90%的概率，1游程數在22到29之間.還可計算得：

由以上結果可以看出，連續出現多個1（1游程）的概率是很大的，即連續多次摸到好牌，同理，連續出現多個0（0游程）的概率也是很大的，即連續多次摸到臭牌，這就解釋了運氣問題.

此問題還可以應用于解釋體育比賽（如乒乓球、羽毛球、排球等）中連續贏球和輸球.

2.2 求職問題

考慮如下問題：在求職過程中，會陸續收到若干單位錄用，但只能和一個單位簽約，一旦簽約，就不能和別的單位簽約，是否能和理想的單位簽約？

對此問題，可考慮如下策略：

假設能被n個單位錄用，先放棄部分單位，不和前k（k=1,2,…,n-1）個單位簽約，若后面有比前k個單位更理想的單位，立即簽約，否則，繼續等待.在此策略下，尋找k，使能和理想單位簽約的概率最大，稱k為最優策略.

設Ak表示在此策略下和最理想單位簽約；

由全概率公式可得：

對不同的n，由上式計算得pk如下：

3 4 5 6 7 8 9 10 p1 0.5 0.458 0.417 0.381 0.350 0.324 0.302 0.283 p2 0.333 0.417 0.433 0.428 0.414 0.398 0.382 0.283 p3 0.250 0.350 0.392 0.407 0.410 0.406 0.366 p4 0.200 0.300 0.352 0.380 0.393 0.399 p5 0.167 0.262 0.319 0.352 0.398 p6 0.143 0.230 0.290 0.373 p7 0.125 0.208 0.327 p8 0.111 0.265 p9 0.189

由上表可以看出，對于不同的n，可得最優策略如下表：

n 3 4 5 6 7 8 9 10 k 1 1 2 2 2 3 3 3 pk 0.500 0.458 0.433 0.428 0.414 0.410 0.406 0.399

從上表可以看出，隨著n的增加，最優的k值也相應增加，但相應的概率隨之減小.

對于更大的n,有下面的近似公式：

但是，此策略也面臨不能和理想單位簽約的風險，即：理想單位在前k個，即X≤k,此事件發生的概率為：

對較大的n和最優的k值，上述概率為：

即和理想單位簽約的概率和面臨的風險是一樣的，都為0.368.

此案例亦可在別的場合使用，如金融市場，有許多投資機會，為抓住最佳投資機會，可考慮以上策略.

3 結論

在實際教學過程中，可根據教學內容精心選擇相關案例，以提出問題的方式，引導學生利用所學知識進行分析，激發學生的探究結果的興趣.在此基礎上，可對教學案例進行深入剖析，以加深學生對所學知識的理解和應用.

〔1〕鄧華玲，等.概率論與數理統計課程的改革與實踐[J].大學數學，2004（1）.

〔2〕施慶生，等.《概率論與數理統計》課程的教學改革與實踐[J].南京工業大學學報（社會科學版），2004（3）.

〔3〕何書元.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2007.

〔4〕劉新平.概率論與數理統計[M].西安：陜西師范大學出版社，2010.

G642

A

1673-260X（2012）03-0191-03

陜西理工學院教改項目（XJG1120）