同倫攝動法在彈性力學中的應用

銀 山，特木爾朝魯

（1.內蒙古工業大學 理學院，呼和浩特 010051；2.上海海事大學 文理學院，上海 200135）

同倫攝動法在彈性力學中的應用

銀 山1，特木爾朝魯2

（1.內蒙古工業大學 理學院，呼和浩特 010051；2.上海海事大學 文理學院，上海 200135）

本文中，應用同倫攝動法給出彈性力學的非線性問題,均勻載荷作用下邊界可移夾緊的圓薄板問題的新的近似解.并且給出與傳統的攝動解之間的對照圖,從而說明同倫攝動法在彈性力學的非線性問題中有效性.

薄板；同倫攝動法；卡門方程

1 引言

非線性問題是在彈性力學中熱門問題之一.板的大撓度問題是典型的非線性邊值問題之一,其控制方程是著名的卡門方程[1].所以很多研究人員研究了卡門方程并且給出了很好的具有實際意義的成果.如韋(S.Way)[2]曾用冪級數解研究了在均布載荷下邊緣固定的圓薄板問題；李斐(S.levy)[3]用重三角級數法得到了均布載荷下簡支長方板的數值解；錢偉長[4,5]用攝動法重新處理了均布載荷下和各種不同邊界條件下的圓薄板的大撓度問題；葉開源[6]利用攝動法處理了邊緣載荷下環形薄扳大撓度問題，Q.S.Lia，Jie Liu等人[7]提出了分析大撓度薄板的屈曲的新方法,其他[8-11]等等.

近幾十年內，非線性問題的解析法得到了很大的發展，且出現了很多解析法，如Adomain解析法[12]，變分迭代法[13]，同倫攝動法[14,15]等等.但是這些方法在彈性力學領域中很少被應用.

本文中,利用同倫攝動法給出均勻載荷作用下邊界可移夾緊的圓薄板問題的新近似解.在[4,5]中作為攝動參數的中心撓度a在本文中分解為級數.這有利于控制近似解得精度.細節在下一節中給出.均勻載荷作用下邊界可移夾緊的圓薄板問題的基本方程是著名的卡門方程

邊界條件為

其中W,Nr分別表示撓度和徑向正應力；q,h和b分別表示均勻載荷、圓薄板的厚度和半徑；μ,E是泊松比和楊氏彈性模量；D=Eh3/(12(1-μ2))是板的抗彎系數.通過下面無量綱化變換

邊值問題(1.1)-(1.5)重新寫成下列形式

其細節見[4].

2 利用同倫攝動法解該非線性邊值問題

通過變換w(x)=au(x),邊值問題(1.7)-(1.11)改寫為

其中w(1)=a.現在，對方程(2.15)構造同倫

現在,把(2.8)-(2.11)代入(2.1)與(2.7),并令 pi(i=0,1,2,…)的系數為零.根據邊界條件(2.4)-(2.6),得到下列形式的一些線性邊值問題

從(2.12),得到

把上式代入(2.13),解得

類似的方法，能解出其余的u1,q1,sj(i,j=1,2,…,n)

最后，令p=1，得到n階近似解

3 結論

根據同倫攝動法，由定義如下近似誤差

對四階近似解與四階攝動解[5]的誤差線的對照，其中μ=0.3,a0=0.498,a1=0.0019999,a2=0.0000000999,a3=0.00000000001.由此,證實同倫攝動法在該非線性邊值問題中的有效性.對應的四階近似解曲線如圖3-4所示.在傳統的攝動法中作為攝動參數的中心撓度[5],根據近似解的階數，分解為有限級數,即對n階近似解,a分解為

而且a的恰當的分解直接影響近似解的誤差.

圖1 Error1 η曲線

圖2 Error2 η曲線

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O343.5；O29

A

1673-260X（2012）04-0001-03