基于馬爾可夫鏈模型的鋁合金預腐蝕疲勞裂紋擴展表征

李旭東，劉治國，穆志韜

（海軍航空工程學院 青島校區(qū)，青島 266041）

腐蝕損傷可以加速疲勞裂紋的形成與擴展，比單純的機械疲勞對于金屬結構可靠性和完整性威脅更大[1-3]。研究腐蝕環(huán)境下疲勞裂紋擴展規(guī)律對金屬結構的可靠性分析和壽命預測顯得尤為重要，對于航空工業(yè)意義尤為重大。本文針對6A02航空用鍛造鋁合金，通過馬爾可夫鏈模型模擬裂紋擴展過程[4-5]，建立起腐蝕環(huán)境下疲勞壽命的預測表征方法。

1 腐蝕疲勞裂紋擴展試驗

1.1 實驗材料

試驗件材料為6A02鋁合金，其化學成分為（wt.%）：Al，92.5%；Cu，4.5%；Mg，1.42%；Mn，0.74%；Fe，0.26%；Si，0.19%；Zn，0.13%。抗拉強度450MPa，屈服強度342MPa。為了便于捕捉到裂紋，試驗件為含單邊缺口SENT狗骨狀試件，其形狀如圖1所示。

1.2 實驗方案

由于飛機在飛行過程中主要承受機械疲勞，而在地面停放的時候主要承受來自于環(huán)境的腐蝕損傷，因此在其任務剖面中存在“疲勞-腐蝕-再疲勞-再腐蝕”循環(huán)，因此本文采用對試件進行預先腐蝕，然后對腐蝕試件再進行疲勞加載的實驗方案。

圖1 試件形狀以及尺寸

對于鋁合金而言，EXCO溶液腐蝕是一種常用的腐蝕方式，其實驗數(shù)據(jù)重復性好[4]。基于ASTM G34標準，配置標準EXCO溶液，然后將鋁合金試件在腐蝕溶液中浸泡10小時，以模擬環(huán)境帶來的腐蝕損傷。

疲勞實驗采用帶疲勞加載裝置的SS550（Shimadzu，Japan）掃描電鏡完成。試驗在室溫條件下進行，對試驗件進行軸向拉-拉疲勞加載，波形為正弦波，最大加載應力為250MPa，應力比為0.1，加載頻率為5Hz。在疲勞加載過程中，通過掃描電鏡圖像記錄系統(tǒng)進行疲勞試件表面原位拍照，每間隔1000個應力循環(huán)次數(shù)記錄1次裂紋長度及相應的循環(huán)數(shù)，直到試驗件斷裂為止，如圖2所示。

圖2 試件不同循環(huán)次數(shù)下的SEM圖片

2 結果與分析

2.1 實驗數(shù)據(jù)分散性

圖3 不同循環(huán)數(shù)的裂紋長度分布

從圖3所示的部分實驗結果可以很明顯的發(fā)現(xiàn)疲勞裂紋擴展試驗數(shù)據(jù)存在較大的分散性。即使是宏觀上不存在任何差別的試樣在嚴格控制的試驗環(huán)境下，得到的疲勞裂紋擴展試驗結果也會相差很大，裂紋擴展存在分散性的同時，也具有統(tǒng)計特性，疲勞裂紋擴展具有較大的統(tǒng)計變異性[3-4]。因此，在進行飛機結構疲勞裂紋擴展分析時，可采用統(tǒng)計分析的方法，通過馬爾可夫鏈模型模擬疲勞裂紋的擴展[5]。

2.2 基于馬爾可夫鏈模型的腐蝕疲勞裂紋擴展表征

2.2.1 馬爾科夫過程

馬爾可夫過程是隨機過程的一種。它是研究系統(tǒng)“狀態(tài)”與“狀態(tài)”之間的關系。假如系統(tǒng)完全由定義為“狀態(tài)”的變量的取值來描述，則該系統(tǒng)處于一個“狀態(tài)”。假如描述系統(tǒng)的變量從一個狀態(tài)的特定值變化到另一個狀態(tài)的特定值時，則該系統(tǒng)實現(xiàn)了狀態(tài)的轉移。并且這樣的狀態(tài)轉移的過程完全是隨機的，它們的轉移規(guī)律不能以確定的規(guī)律進行，而只能按某種概率轉移。一般地，系統(tǒng)在時刻所處的狀態(tài)為已知的條件下，過程在時刻所處狀態(tài)的條件分布與系統(tǒng)在時刻之前所處的狀態(tài)無關的特性稱為馬爾可夫性或無后效性。即：系統(tǒng)“將來”的情況與“過去”的情況是無關的。時間和狀態(tài)都是離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈模型，它是一種累積損傷概率模型，可以描述各種隨機損傷的壽命分布和損傷狀態(tài)分布。

2.2.2 腐蝕疲勞裂紋擴展的馬爾科夫鏈模型

在腐蝕疲勞裂紋的擴展研究中，重點關注的是裂紋長度X隨著應力循環(huán)次數(shù)t變化（0 ≤t≤Nf，Nf為結構的疲勞壽命）。為此可以將應力循環(huán)次數(shù)劃分為若干狀態(tài)0≤t1＜t2＜t3＜ .....≤Nf，相應的與每個狀態(tài)對應的都會有裂紋長度 0 ≤X1＜X2＜X3＜.....≤Xfracture（Xfracture為試件斷裂時的裂紋長度），這樣就構成了一個隨機變量序列{X(t),t∈Nf}。

做如下假設，{X(t),t∈Nf}滿足：

1)時間集合為非負整數(shù)集Nf={n=0,1,2,}，對應于每個時刻（應力循環(huán)次數(shù)），狀態(tài)空間為離散集，即E= {n= 0 ,1,2.....}，即X(t)為時間離散狀態(tài)離散變量。

2)對任意的正整數(shù)s, m, k，及任意的非負整數(shù)js＞ . ....＞j2＞j1，與相對應的狀態(tài)im+k,im,ijs,...,ij2,ij1，

恒成立。

則{X(t),t∈Nf}為馬爾科夫鏈。當k=1時，式(1)變?yōu)?/p>

它表示裂紋長度在m時刻長度為i，在m+1時刻長度為j的一步狀態(tài)轉移概率。

根據(jù)馬爾科夫鏈模型的假設，在一個迭代步之后的裂紋擴展情況只取決于在這個迭代步的損傷程度和這個迭代步本身，與這個任務循環(huán)之前損傷的累積過程無關，任一時刻的損傷狀態(tài)完全由初始損傷狀態(tài)和概率轉移矩陣來決定。

一般來說，狀態(tài)轉移概率是與迭代步m有關，是迭代步的函數(shù)。若狀態(tài)轉移矩陣與迭代步無關，為恒定值，則為齊次狀態(tài)轉移概率。本文假設{X(t),t∈Nf}符合齊次馬爾科夫鏈模型，設狀態(tài)轉移矩陣P為常量矩陣。若當前時刻的裂紋概率分布為p(n)，前一個應力循環(huán)的裂紋長度概率分布為p(n- 1 )，則p(n)=p(n- 1 )P。根據(jù)遞推關系得到經過K個迭代步以后裂紋長度的概率分布為p(K)=p( 0)PK。若設初始狀態(tài)裂紋長度概率分布為

則：

令Dk表示第k個應力循環(huán)之后裂紋長度的概率分布，則pk(j)=P{Dk=j)，表示第k個離散化的應力循環(huán)之后裂紋長度為j的概率。根據(jù)馬爾科夫模型可以求得給定應力循環(huán)時裂紋長度的概率分布為

圖4 裂紋長度的馬爾科夫鏈模擬

基于如上所述的馬爾科夫鏈，對于1.2節(jié)所述的裂紋擴展實驗數(shù)據(jù)進行仿真，每隔1000個應力循環(huán)設為一個迭代步，得到6000次循環(huán)和13000次循環(huán)后的裂紋長度概率FD分布曲線如圖4所示，與實驗得到的累計概率分布誤差較小，說明基于馬爾可夫鏈模型的腐蝕疲勞裂紋擴展具有較高的預測能力，對腐蝕環(huán)境下飛機鋁合金結構的壽命預測和可靠性分析具有參考價值。

分析式(4)所示的腐蝕疲勞裂紋擴展馬爾可夫鏈模型，它的每一步裂紋長度分布預測都是基于初始步裂紋分布信息p( 0)= (a1,a2,....,am)進行預測的，而且假設轉移矩陣不變，隨著預測步的增多，真實值與預測值的差別會越來越大，預測的準確性也會逐步降低。圖4(b)所示的15000個應力循環(huán)后裂紋長度預測分布與實驗分布誤差相對圖4 (a)8000個應力循環(huán)的誤差明顯增大。根據(jù)齊次馬爾科夫鏈模型的平穩(wěn)分布特征，經過足夠多的步數(shù)之后，該模型會導致預測結果趨向于一個固定的裂紋分布狀態(tài)，顯然與實驗現(xiàn)象不相符合。這樣就大大影響了基于馬爾科夫鏈過程的裂紋擴展模型的長期預測準確性。因此如何對腐蝕疲勞裂紋馬爾可夫鏈模型進行改進，使得模型能夠更新當前迭代步的信息，并自動更新狀態(tài)轉移矩陣P，將是提高基于馬爾可夫過程的腐蝕疲勞裂紋擴展預測方法工程實用性的重要努力方向。

3 結論

1)腐蝕疲勞裂紋擴展具有非常強的不確定性，必須利用統(tǒng)計學方法進行表征。

2)腐蝕疲勞裂紋擴展過程可以用離散化的馬爾科夫鏈模型進行評價。

3)本文提供的基于馬爾科夫鏈的腐蝕疲勞裂紋預測方法準確性會隨著預測步數(shù)的增加而下降，需要進一步進行改進。

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[4] Bogdanoff J L, Kozin F. Probabilistic models of cumulative damage [M]. New York: Wiley, 1985.

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