反常積分斂散性的新對數判別法

趙建華

(上海海事大學，上海200135)

函數的定積分，有兩個重要的約束條件，即積分區間的有限性和被積函數的有界性。將這兩個約束條件取消，便得到了定積分兩種形式的推廣:(1)將函數的積分區間由有限擴展到無限就得到了無窮限的反常積分;(2)將被積函數由有界擴展到無界就得到無界函數的反常積分［1－3]。但是，反常積分涉及到一個所謂的收斂性問題。因為積分區間的有窮性和被積函數的有界性在很多實際問題中往往需要突破這些限制，因而對反常積分斂散性的判定就顯得格外重要［4－15]。本文討論的重點就是關于反常積分斂散性的新的對數判定方法以及新的對數判別法和舊的對數判別法的優劣。

1 研究內容

考察無窮限積分的對數審斂法［4]的證明知道，它是以反常積分1時收斂，p≤1時發散)作為標準來進行判定的。在本文的研究中，我們可以以反常積分(p＞1時收斂，p≤1時發散)作為比較標準來探討相應的判別法。類似地，對于瑕積分(a是唯一的瑕點)，我們擬用(p＞1時收斂，p≤1時發散)作為比較標準來探討相應的判別法。

2 反常積分斂散性新的對數判別法

2.1 相關定理及其證明

定理1設函數f(x)為定義在區間［3，+∞)上的正值函數。

(i)如果存在常數λ＞1及G＞3，使得對任意的 x＞G，有，則無窮限反常積分收斂。

即有

由于λ＞1，故無窮限反常積分

證畢。

定理1有如下極限形式:

推論1設函數f(x)為定義在區間［3，+∞)上的正值函數，且

由此可推出 1n［xf(x)] ≤1n(1nx)－(λ－ε)，即有 xf(x)≤(1nx)－(λ－ε)。

當λ=+∞時，對M=2，存在G＞3，使得對任意的 x＞G有，即有

2.2 新舊對數判別法的比較

定理2設函數f(x)為定義在區間［3，+∞)上的正值函數。

(i)如果存在常數λ＞1及G＞3，使得對任意的x＞G時有，則存在常數 λ'＞1及G'＞3，使得對任意的 x ＞ G'時有≥λ'。

證明 (i)由于G＞3，故當時x＞G，有1n1nx＞1nx＞0。于是當 x＞G時，假設，由于從而，對 λ ＞1，?G'＞3，當 x＞G'時，有取λ'=λ，即得(i)的證明。

(ii)由于G＞3，故當x＞G時有1n1nx＞1nx＞

證畢。

證明 由定理2的證明過程知本推論成立，證畢。

3 瑕積分斂散性新的對數判別法

3.1 相關定理及其證明

定理3設函數f(x)為定義在區間(a，b] 上的正值函數，在點a的任一右鄰域上無界，且在任何區間［μ，b] ?(a，b)上可積。

(i)如果存在 δ∈(0，e－1)及常數 λ ＞1，使得對于任意的 x∈(a，a+δ)有

(ii)若存在 δ∈(0，e－1)，使得對于任意的 x∈(a，a+ δ)有

證明(i)因為0 ＜ δ＜ e－1，故對于任意 x∈(a，a+δ)有0＜x－a＜e－1，于是 1n(x－a)＜ －1，故|1n(x－a)|＞1，從而1n|1n(x－a)|＞0。于是由式(6)可得

1n［(x－a)f(x)] ≤ －λ1n|1n(x－a)|=1n|1n(x－a)|－λ，即有(x－a)f(x)＜ |1n(x－a)|－λ，于是

(ii)因為0 ＜ δ＜ e－1，故對于任意的 x∈(a，a+δ)，由于0＜x－a＜e－1，于是1n(x－a)＜ －1，故|1n(x－a)|＞1，從而 1n|1n(x－a)|＞0。由式(7)得1n［(x－a)f(x)] ≥ －1n|1n(x－a)|=1n|1n(x － a)|－1，即有

證畢。

定理3有如下極限形式:

推論3設函數f(x)為定義在區間(a，b)上的正值函數，在點a的任一右鄰域(a，a+δ)上無界，且在任何區間［μ，b] ?(a，b)上可積。若，則

當 λ =+∞時，存在0 ＜ δ＜e－1，使得當 x∈(a，a+δ)時有從而1n［(xa)f(x)] ＜21n|1n(x－a)|。

3.2 新舊對數判別法的比較

定理4設函數f(x)為定義在區間(a，b)上的正值函數，在點a的任一右鄰域上無界，且在任何區間［μ，b] ?(a，b)上可積。

(i)如果存在 δ∈(0，e－1)及常數 λ∈(0，1)，使得對于任意的 x∈(a，a+δ)時有，則存在 δ'∈(0，e－1)及常數 λ'＞ 1，使得對任意的 x∈(a，a+δ)有

(ii)如果存在 δ∈(0，e－1)，使得對任意的 x∈(a，a+δ)時有，則存在 δ'∈(0，e－1)，使得對任意的 x∈(a，a+δ')，有

即得(ii)的證明。

證畢。

推論4設f(x)是定義在(a，b] 上的正值函數，在點a的任一右鄰域(a，a+δ)上無界，且在任何區間［μ，b] ?(a，b)上可積，若則

考察定理3的證明過程知，本推論成立，證畢。

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