基于MSWF的初始投影向量估計方法研究＊

史文森 朱 海 彭漢國

（1.海軍潛艇學院航海觀通系 青島 266042）（2.海軍潛艇學院訓練中心 大連 116085）

1 引言

信號子空間估計問題已經成為陣列信號處理中的關鍵問題之一。傳統的信號子空間估計方法通常是對觀測數據協方差矩陣進行特征值分解（EVD），對應大特征值的特征向量張成信號子空間，其余特征向量張成噪聲子空間。然而EVD的計算復雜度非常高，運算量為O（NM2＋M3），其中M為觀測數據的維數，N為形成協方差矩陣的采樣支持長度［1］。在工程應用中M和N 的維數一般較大，該方法具有較大的計算量，這給工程實現帶來了不便［2］。Goldstein等人在1998年提出了多級維納濾波（Multistage Wiener Filter—MSWF），它是一種有效的降維濾波技術［3～4］。多級維納濾波具有許多優點：不需要估計接收信號的協方差矩陣、前向遞推的次數可以小于陣列的陣元數以及收斂速度快等。但多級維納濾波需要給定某一目標（或用戶）的信號波形（或訓練序列），并以此為基礎進行子空間分解［5～6］。在陣列天線信號處理的過程中，目標信號的波形、波達方向（DOA）等先驗信息不易獲得。通常選用接收信號的時域平均作為初始估計值，這種方法將引起較大的子空間估計誤差［7～8］。

針對多級維納濾波的特點，本文提出了初始投影向量估計的新方法。該方法以接收信號的時域平均作為初始估計值，然后進行兩級維納濾波，利用估計得到的數據構造新的初始投影向量。利用新的初始投影向量作為維納濾波的初始值，能夠大大提高子空間估計的精度。

2 基于MSWF的信號子空間估計

2.1 信號模型

假設天線陣列有M個陣元，接收到L個遠場窄帶信源的信號，則M個陣元接收到的信號矢量可以表示為

其中，si（t）表示第i個信號源；a（θi，φi）表示第i個信號源的導向矢量；n（t）為噪聲矢量，噪聲假設為時域白、空域白的零均值平穩高斯過程，并與信號不相關。

2.2 多級維納濾波器［3］（MSWF）

MSWF是一種有效的降秩算法，其不需要對觀測數據協方差矩陣求逆即可得到維納－霍夫方程的漸近最優解，甚至不用計算觀測數據協方差矩陣［9］。圖1給出了MSWF前向遞推的過程。

MSWF前向遞推的流程為

圖1 MSWF前向遞推的過程

通常s1（k）無法直接得到，d0（k）可由以下兩種形式估計得到［10］：

其中，a（θ0，φ0）為某一信號源的導向矢量。通常接收信號的先驗信息未知，從而無法利用式（3）準確估計d0（k）。

利用MSWF算法，通過D次前向遞推就可以得到D個正交向量｛h1，h2，…，hD｝，則由其張成的信號子空間為：span｛h1，h2，…，hD｝

3 初始投影向量估計

首先利用式（2）作為期望信號的估計值，進行兩級維納濾波，如圖2所示。

圖2 兩級維納濾波器結構圖

在第一級維納濾波中可得第一級投影向量為

其中，a（θ0，φ0）為真實的投影向量；aΔ為估計值與真值之間的誤差。

經過一級維納濾波后可得：

進行第二級維納濾波后可得：

其中，分子中第一項可表示為

分子中第二項可表示為

其中：

其中，K1表示X0在a（θ0，φ0）方向上的投影，K2表示X0在aΔ方向上的投影，從中可以看出，K1和K2均為標量；Aopt和AΔ分別為真實的方向矢量和誤差方向矢量。

從而可得h2的分子為

由于h2的分母僅起到歸一化的作用，本文為了計算方便取消對h2的歸一化，即：

進一步計算可得到d2為

由h1與h2正交可得：

由式（4）、（6）、（9）和（11）可得方程組：

解此方程組可得：

或

由于K1表示X0在a（θ0，φ0）方向上的投影，可認為K1＞K2，于是K1和K2的取值為

從而可得：

從而可得準確的初始導向矢量為

以矢量作為初始投影矢量可得初始期望信號為：

將此時估計得到的d0（k）作為多級維納濾波的初始期望信號進行多級維納濾波即可。

4 仿真實驗

仿真實驗的條件和參數為：1）天線陣列是半徑為9.5cm的7元均勻圓陣；2）接收信號的載波中心頻率為16MHz，采樣率為65MHz；3）與信號互不相關的背景噪聲被假設為平穩的均勻復高斯隨機過程，并且有零均值和方差，信噪比為；4）蒙特卡羅實驗次數為5000。

子空間的估計性能采用兩個指標來評價：1）子空間維數估計值n；2）估計信號子空間與真實信號子空間的距離dist。

實驗1：信號源的個數為1，其信號DOA為a（10°，30°），信噪比的變化為0～30dB，變化的間隔為3dB。在每個信噪比下經過5000次蒙特卡羅實驗。

圖3 信號子空間維數隨信噪比變化情況

圖4 信號子空間距離隨信噪比變化情況

實驗2：信號源的個數為2，其信號DOA為a（10°，30°），a（100°，45°），信噪比的變化為0～30dB，變化的間隔為3dB。在每個信噪比下經過5000次蒙特卡羅實驗。

圖5 信號子空間維數隨信噪比變化情況

圖6 信號子空間距離隨信噪比變化情況

實驗3：信號源的個數為3，其信號DOA為a（10°，30°），a（100°，45°），a（200°，60°）信噪比的變化為0～30dB，變化的間隔為3dB。在每個信噪比下經過5000次蒙特卡羅實驗。

圖7 信號子空間維數隨信噪比變化情況

圖8 信號子空間距離隨信噪比變化情況

比較上述3個實驗可知：1）當信號子空間的維數較小時，多級維納濾波采用傳統的方法估計期望信號，可能會導致估計出的子空間維數錯誤。若在多級維納濾波前先進行1次二階的維納濾波，得到新的期望信號，可以提高正確估計子空間維數的能力；2）利用本文提出的方法估計得到的子空間的準確性較高；3）在低信噪比時信號子空間估計的誤差較大，隨著信噪比的增大，信號子空間估計的誤差減小。

5 結語

本文針對多級維納濾波初始期望信號估計值誤差較大的特點，提出了一種初始投影向量估計的新方法。理論分析表明該方法可以準確地獲得初始投影向量，提高子空間估計的精度，而且沒有增加工程實現的難度。大量的仿真實驗表明利用該方法獲得初始投影向量后的多級維納濾波器性能有了很大改善。特別是當信號子空間維數較小時該方法的優點更加突出。

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