公共點坐標粗差檢驗方法及其限差的研究＊

郭英起，曹先革，劉 江

（黑龍江工程學院測繪工程學院，黑龍江 哈爾濱150050）

0 引 言

在國防建設、城市建設和各項工程建設等眾多領域利用GPS測量定位方法建立控制網已經相當普及［1－2］。建立GPS控制網時通過無約束平差首先可以獲得網中各點在 WGS－84坐標系統中的坐標，而我國過去一般都使用國家坐標系統（如BJ54坐標或GDZ80坐標等）的坐標或地方獨立坐標系統的坐標，自2008年7月1日以后新生產的各類測繪成果應該使用2000國家大地坐標系統（簡稱CGCS2000）的坐標［3］。所有這些都需要對GPS控制網進行坐標系統轉換或進行約束平差計算。在進行坐標系統轉換或約束平差計算之前，首先應該對已知公共點坐標進行必要的檢驗，剔除坐標中含有粗差的公共點或與其它公共點不兼容的公共點，避免所聯測的已知公共點坐標中含有的粗差或與其它公共點不兼容的公共點對GPS控制網的高精度產生影響，以保持GPS控制網的整體高精度。

目前，對GPS控制網中已知公共點坐標粗差進行檢核的方法很多，許多學者先后提出了一些有效的檢驗方法，并在GPS測量實踐中得到了廣泛應用。在測量實際應用中使用較多而且又簡單易行的方法有基線比較法［4－5］和附合路線法［6－7］等，都可以快捷地又十分有效地對GPS控制網中已知公共點坐標中的粗差進行檢核。針對在利用基線比較法和附合路線法進行檢驗時，如何合理地、客觀地確定檢驗限差標準進行了研究和探討。

1 公共點坐標中粗差檢驗限差的確定

設在施測GPS控制網時共聯測了n個已知公共點，各已知公共點在國家坐標系統（或地方獨立坐標系統）或2000國家大地坐標系統中的高斯平2，…，n．

1．1 基線比較法限差的確定

當這n個已知公共點中有兩個公共點之間的距離比較近，最好是對這兩個公共點進行同步觀測，直接獲得GPS觀測的基線向量。由于GPS基線邊長大多都精度很高，所以，可利用這條GPS基線邊長對這兩個公共點的坐標進行檢驗，即基線比較法。

現假設GPS基線邊兩端已知公共點分別為p點和k點，其 高 斯 平 面 坐 標 分 別 為 （xp，yp） 和（xk，yk） ．現利用p、k兩點的高斯平面坐標通過高斯投影反算公式計算得到p、k兩點的大地坐標hp、hk及其高程異常ζp、ζk通過公式Hp＝hp＋ζp計算得到p、k兩點的大地高分別為Hp和Hk，利用p 、k兩點的大地坐標 （Bp，Lp，Hp）、（Bk，Lk，Hk）通過有關公式計算得到p、k兩點的空間直角坐標分別為 （Xp，Yp，Zp）、（Xk，Yk，Zk）．最后利用p、k兩點空間直角坐標計算得到兩點的計算邊長D′為

設利用GPS觀測直接獲得的基線向量及其中誤差分別為 （ ΔXpk，ΔYpk，ΔZpk） 、mpk，利用下式可獲得p、k兩點的GPS觀測邊長D″為

便可獲得該邊邊長的閉合差

w一般不為零，但w數值應該小于一個限差w限值。如果能夠客觀地、合理地確定限差w限值的大小，當w＜w限時，亦說明p、k兩點坐標中不含有粗差；但當w≥w限時，就可以認為p點或者k點的坐標中存在有粗差。

設p、k兩點的空間點位中誤差分別為mp和mk．由誤差傳播定律，限差w限的計算公式為

1．2 附合路線法限差的確定

當n個已知公共點中q點和t點之間的距離較遠亦沒有進行GPS同步觀測時，便可利用GPS網觀測略圖，在q、t兩點之間選取一條連接它們的最短的線路（即包含GPS基線向量最少的線路）。反算公式計算得到q點的大地坐標 （Bq，Lq） ；再由q點的正常高hq及高程異常ζq通過公式Hq＝hq＋ζq計算得到q點的大地高Hq．利用q點的大地坐標 （Bq，Lq，Hq） 通過有關公式計算得到q點的空間直角坐標 （Xq，Yq，Zq） ．再由q點的空間直角坐標 （Xq，Yq，Zq）和連接q和t兩點的基線向量（ΔXij，ΔYij，Zij）計算得到t點的空間直角坐標（X′t，Y′t，Z′t）；可 以 計 算 得 到t 點 的 大 地 坐 標（B′t，L′t，H′t）；利用t點的大地坐標 （B′t，L′t）通過高斯投影正算公式計算得到t點的高斯平面坐標 （x′t，y′t） ．由于t點是已知公共點，所以t點具有已知的高斯平面坐標，即 （xt，yt）．則可計算q和t兩點間附合路線的坐標閉合差為

w數值應該小于一個限差w限值。當w＜w限時，說明q、t兩點的坐標中都不包含有粗差；但當w≥w限時，可以認為q點或者t點的坐標中包含有粗差。

設q和t兩點空間點位中誤差分別為mq和mt．據誤差傳播定律，限差w限的計算公式為

有幾點要說明:1）在計算已知公共點空間點位中誤差時通常包括其高斯平面點位中誤差和高程中誤差；2）當GPS網最終使用的是國家坐標系統（即北京54、大地80或2000國家大地坐標系統）的坐標時，建議使用（3）或（6）式計算限差w限的數值；當GPS控制網最終使用的是地方獨立坐標系統的坐標時，建議使用式（4）或式（7）計算限差w限的數值；3）基線向量中誤差mij的計算方法有兩種，一種方法是直接使用對GPS網進行三維無約束平差計算后所獲得的該基線的實際中誤差；另一種方法是按照該基線的長度利用GPS接收機的標稱精度公式進行計算。通常使用第一種方法。

2 算例分析

圖1

某地為了進行規劃建設而施測的GPS控制網如右圖1所示。為了將該網最終成果轉換到北京54坐標系統，共聯測了三個較高等級的地面已知公共點。對GPS網進行三維無約束平差計算后，單位權中誤差、各閉合環（同步環和異步環）的閉合差及重復基線的較差均滿足《全球定位系統城市測量技術規程》的精度要求，各基線向量的改正數都普遍較小、絕大多數都在毫米級，可以斷定該GPS網的觀測成果精度較高。利用這三個地面已知公共點進行約束平差計算后，發現單位權中誤差、平均點位中誤差比較大，有一些點的點位中誤差很大，這說明進行約束平差計算所使用的三個地面已知公共點中可能某個點的坐標中含有粗差。利用基線比較法和附合路線法分別對這三個已知公共點的可靠性進行檢驗。為此將三個已知公共點兩兩組合并進行檢驗，結果如表1所示。

表1 閉合差計算結果

查看以前測量成果資料獲知，聯測的三個已知公共點XX01、XX02、XX03的點位中誤差（此處略去了高程中誤差）分別為:m01＝2．4cm，m02＝2．39cm，m03＝2．40cm；從GPS網進行三維無約束平差計算后的基線向量成果中知道有關基線向量的中誤差分別為:XX01－XX02基線中誤差0．91 cm；XX02－XX03基線中誤差 0．80cm；XX01－K001基線中誤差0．83cm；K001－XX03基線中誤差0．94cm；再利用前面推導的公式（3）或（6）計算各限差值分別為:w限1＝±7．08cm；w限2＝±6．96cm；w限3＝±7．30cm．

與表中計算的數值進行比較可知:包含XX02點的檢驗閉合差都超限，這說明XX02點的坐標中含有粗差。將XX02點做為未知點，再利用XX01點和XX03點做為已知點重新進行約束平差計算，平差計算結果很好，這說明剔除XX02點是正確的。

3 結 論

從以上的研討和實例計算結果分析，可以獲得以下的結論:

1）在利用基線比較法和附合路線法對GPS控制網中已知公共點坐標中粗差進行檢核時，確定建立的檢驗限差公式是合理的、客觀的。

2）GPS控制網對多個已知公共點進行聯測時，常常其中一些已知公共點時間久遠、而且通常是利用常規測量方法得到的，考慮到這些點間測量系統的偏差，甚至有些已知公共點可能已經被移動或損壞。因此，在進行約束平差計算或者坐標系統轉換之前，對所聯測的已知公共點進行可靠性檢驗很有必要。只有剔除坐標中包含粗差的已知公共點或與其它已知公共點不兼容的已知公共點后，GPS控制網高精度才能有所保證。

［1］ 程鵬飛，成英燕，文漢江，等．2000國家大地坐標系實用寶典［M］．北京:測繪出版社，2008．

［2］ 吳向陽．GPS網中已知點坐標正確性的檢核［J］．測繪通報，1997（1）:33－34．

［3］ 劉大杰，施一民，過靜珺．全球定位系統（GPS）的原理與數據處理［M］．上海:同濟大學出版社，1996．

［4］ 黃聲享，郭英起，易慶林．GPS在測量工程中的應用［M］．北京:測繪出版社，2007．

［5］ 徐紹銓，張華海，楊志強，等．GPS測量原理及應用［M］．武漢:武漢大學出版社，2003．

［6］ 黃聲享．GPS測量控制網公共點兼容性分析［J］．武測科技，1996（2）:1－6

［7］ 付曉明，沈云中．GPS網起算點坐標的兼容性分析［J］．測繪通報，2002（9）:10－13．