基于AR模型的GPS精密衛星鐘差建模與預報＊

李長會，劉 寧，李 森，閆國鋒

（61365部隊，天津300140）

0 引 言

GPS單點定位的精度受到許多誤差的影響，如衛星軌道誤差、衛星鐘差、大氣層延遲、接收機鐘差及多路徑效應［1］。在各類誤差中，衛星鐘差是影響定位精度的重要因素［2，3］，目前，IGS的幾個數據分析中心（GFZ，JPL等）可以提供GPS衛星的精密鐘差，但是，這些鐘差都是后處理結果。依據IGS的產品報告［4］，IGS提供的衛星鐘差的精度優于0．1ns，這種精度的衛星鐘差，完全能夠滿足厘米級精度的定位要求，但是這類產品要13天后才能獲取，不能滿足實時單點定位的需求，而實時發布的廣播鐘差精度較低，不能滿足實際應用的需要，因此，對精密鐘差的預報進行研究很有必要。

最常用的衛星鐘差預報模型有兩種［5－7］:二次項模型和灰色模型。其中，二次項模型比較適合短周期預報，灰色模型比較適合長周期預報。兩種方法雖然分別在長周期或短周期的預報中能取得良好的效果，但都僅僅是在研究了鐘差的趨勢項上建立的函數模型，并沒有考慮鐘差的隨機模型。利用AR模型對提取鐘差趨勢項后的隨機項進行建模，即在原有的鐘差模型上加上隨機補償，從而使原有模型更加完善，計算了基于隨機項建模的GPS精密衛星鐘差預報的精度。

1 鐘差預報模型

通常情況下，鐘差是具有緩慢上升或下降趨勢的數據，在短周期預測中，二次項擬合對于短期預測有先天的優勢，其模型簡單明了，易于編程實現。而對于鐘差的長周期預測，由于星載原子鐘對外界環境因素較為敏感，從而很難長期掌握并預測其復雜細致的變化規律，如果考慮將鐘差的變化過程看作一個灰色系統，并用灰色模型［6］來進行預測，可以取得較好的結果，近些年來常用這種方法。

1．1 二次多項式擬合模型

二次多項式擬合模型就是將冪函數作為擬合函數，對時間間隔相等的衛星鐘差時間序列數據進行擬合，并估計出參數a0，a1，a2

式中:T為衛星鐘差；t為系統時間；a0、a1和a2分別為t0時刻原子鐘相對于系統時間t的鐘差、鐘速和鐘漂。

設衛星鐘差為xi，觀測誤差為vi，則根據式（1）建立誤差方程

采用 最 小 二 乘 參 數 估 計，設＾a0、＾a1、＾a2為 衛 星 參 數a0、a1、a2的最小二乘估值，記

由最小二乘法原理可得估計值為

可得到二次項擬合模型為

用上述模型可以進行鐘差的短周期預測。

1．2 灰色模型

灰色模型是指部分信息已知、部分信息未知的系統，已知的信息稱為白色，未知的信息稱為黑色。用灰色模型做鐘差預測時，通過對原始數據實行累加或累減使之成為具有較強規律的新數列，對此生成數列進行建模。由于星載原子鐘對外界的干擾相當敏感，很難了解其內在的變化規律，因此，可以把鐘差的變化過程看作是灰色系統。用灰色模型進行鐘差預測，就是用指數函數來對時間間隔相等的鐘差時間序列進行擬合，并通過對原始鐘差數據實行累加或累減使之成為具有較強規律的新數列，對此生成數列進行建模。其具體過程為

設 X（0）＝ ｛X（0）（i），i＝1，2，…，n｝為原始鐘差數據列，對X（0）進行一次累加生成一次累加序列

式（5）為 GM（1，1）模型，其解為

則預測值

式中:k為時間序列；a稱為發展灰數；u稱為控制灰數。

記參數 序 列 為＾a，＾a ＝ ［a，u］T，A 為 數 據 陣，L為數據列。

根據最小二乘法原理，＾a可用下式求解

在估計出參數以后，可以用以上的灰色模型進行鐘差預測。

2 提取趨勢項后的隨機項建模

在鐘差模型建立之后，可以將上述模型看作是鐘差模型的趨勢項，在提取趨勢項后，剩余的部分就是隨機項。如果把隨機項看作是平穩序列，由于鐘差的時間相關性，可以對其隨機項用AR模型來進行建模。

2．1 隨機項模型的定階

通過AR模型對隨機項進行建模，必須進行模型的定階。設｛Yi｝是鐘差預測模型的隨機項，采用AIC準則來進行定階。雖然AIC準則通常會對階數略有高估，但在預測問題中有利于多用數據，所以在實際計算中，AIC準則得到較為廣泛應用。

AIC定階準則:假定階數p的上界為P0，當AR模型的階數為k時，可以計算出相應模型的白噪聲方差估計＾σ2k，引入AIC函數

AIC（k）的最小值點＾p稱為AR模型的AIC定階。

在階數p＝＾p確定以后，對于AR（＾p）模型即

式中t≥0，εt為高斯白噪聲。

2．2 隨機項模型的參數估計

在定階完成后，需要對模型進行參數估計，對AR模型進行Yule Walker估計。Yule Walker估計不但具有計算簡便的優點，而且這種估計方法是強相合估計。

用樣 本 ｛x1，x2，…，xN｝去 估 計 參 數 （＾a1，＾a2，…，＾ap）T和＾σ2．樣本的Yule Walker方程如下

以及

在實際計算中，對鐘差的隨機項數據｛x1，x2，…，xN｝做零值化處理:

可構建樣本的自協方差矩陣估計為

由上述公式可以得到AR模型的參數估計（＾a1，＾a2，…，＾ap）T，至此，鐘差預 測的隨 機項模 型已經建立，可以把它當成隨機改正加入到傳統的鐘差預測函數模型，以提高預測精度。

3 算例分析

為了驗證所建模型的正確性和有效性，現用實例加以分析。采用從IGS官方網站上下載的鐘差產品（igs＊＊＊＊．clk＿30s文件），從中選取9顆衛星數據進行分析。按照預測周期的長短，以及采用方法的不同，設計以下四種方案進行鐘差預報。

1）在短周期預報中，通過二次多項式擬合的方法，用前一天鐘差數據預報后一天的鐘差；

2）在短周期預報中，通過基于隨機項建模的二次多項式擬合方法，用前一天鐘差數據預報后一天的鐘差；

3）在長周期預報中，通過灰色模型預測方法，用前一天鐘差數據預報后七天的鐘差；

4）在長周期預報中，通過基于隨機項建模的灰色模型預測方法，用前一天鐘差數據預報后七天的鐘差。

通過以上四種方案進行鐘差預報，選取PRN編號為20的衛星的預報結果進行繪圖分析，結果如圖1～圖4所示。

為驗證模型的普適性，對9顆衛星的鐘差做了上述四種方案的預報，用RMS描述其精度，并對所有9顆衛星進行計算統計，分別用表1和圖5表示。

由計算結果可以看出:

1）比較圖1與圖2、圖3與圖4可以看出，在鐘差短周期預報中，方案2的精度較方案1有所提高，即用二次項擬合提取趨勢項后，再用時間序列分析法對隨機項進行補償可得到比較合適的模型。在鐘差的長周期預報中，方案4的精度較方案3也有提高，用灰色模型提取趨勢項后，再用時間序列分析法對隨機項進行補償可建立較好的預測模型。

表1 幾種方案RMS誤差比較

2）由圖5與表1可以看出，不同的衛星鐘，用同樣的鐘差預測方法得到的精度有非常明顯的差異。由圖5知，第3顆與第9顆衛星比其他6顆衛星的精度低很多，主要是由于第3顆與第9顆衛星上搭載的是銫鐘，而其他6顆衛星上搭載的是銣鐘。

3）短周期鐘差預報的精度（方案1，方案2）要高于長周期預報的精度（方案3，方案4）。無論是鐘差的短周期預報還是長周期預報，在隨機項建模之后，加入隨機補償，都可有效提高鐘差預報的精度。

4 結 論

在鐘差的短周期預報和長周期預報中，通過二次項擬合或灰色模型建立鐘差的趨勢項模型，再對其隨機項利用ARMA模型進行建模，這種方法同時考慮了鐘差時間序列趨勢項和隨機項，可有效提高鐘差預報的精度，并使原有模型更加完善。

［1］ 韓保民．精密衛星鐘差加密方法及其對星載GPS低軌衛星定軌精度影響［J］．武漢大學學報，2006，31（12）:1075－1077．

［2］ XU Guochang．GPS theory，algorithms and applications［M］．Germany:Springer，2007:76－77．

［3］ 劉基余．GPS衛星導航定位原理與方法［M］．科學出版社，2003:375－379．

［4］ SENIOR K．Report of the IGS clock products working group［C］／／16th Meeting of the CCTF，1April 2004，BIPM．

［5］ 崔先強，焦文海．灰色系統模型在鐘差預報中的應用［J］．武漢大學學報，2005（5）:447－450．

［6］ 鄭作亞，陳永奇，盧秀山．灰色模型修正及其在實時GPS衛星鐘差預報中的應用研究［J］．天文學報，2008，49（3）:307－319 ．