花崗巖孤石統計方法及其在樁基工程中的應用

張 曉，曾 強，李 勇，張永定

(1.廣東省電力設計研究院，廣東 廣州 510663；2.中山大學，廣東 廣州 510275)

1 概述

在花崗巖地區進行嵌巖樁施工時，往往難以區分孤石和基巖面，因此花崗巖孤石是影響成樁質量的重要因素。現行規程規范并無花崗巖孤石的評價方法，因此研究花崗巖孤石的評價方法具有必要性和緊迫性。

與孤石類似的隱伏地質體為巖溶，《火力發電廠巖土工程勘測技術規程》(DL/T 5074)以巖溶點密度、鉆孔遇洞率、鉆孔線溶率評價巖溶發育程度。借鑒巖溶發育程度的評價方法，類似地提出“遇孤石率”和“線孤石率”，這兩個統計量，以孤石在水平向和垂向的分布特性來評價孤石發育程度，針對超前鉆所關心的入巖深度問題，本文對孤石厚度進行了統計。

由于孤石之間是相互獨立的，其水平向、豎向分布特性具有一定的統計意義。本文根據某電廠一期工程勘測成果進行反分析，通過概率統計原理，分析水平向遇孤石率和豎向孤石厚度、線孤石率的分布類型，估算孤石厚度的置信區間，并將統計成果與超前鉆資料進行比對以檢驗評價方法的適宜性。

2 水平向分布特性——遇孤石率的統計方法

遇孤石率是指孤石在水平方向的分布特性，為考察樣本數對統計精度的影響，以下對工程場地進行了分區統計和合并統計。

2.1 分區統計

以隨機變量X表示鉆孔是否遇孤石，遇孤石為1，未遇孤石為0，則單個鉆孔可視為貝努利試驗，遇孤石的事件服從概率為p的兩點分布。可通過區內各鉆孔的Xi值估計參數

區內的鉆孔相當于n重貝努利試驗，因此遇孤石的孔數x服從概率為p的二項分布如式1：

2.2 全部統計區

2.3 統計方法的應用和驗證

將煤場區劃分為若干個邊長300m的正方形區域，各分區遇孤石率的統計以及檢驗結果見表1。對整個煤場區遇孤石率的統計以及檢驗結果見表2。

表1 煤場區分區統計結果

表2 煤場區、主廠區統計結果

由表1，各分區k值與預測值的偏離較大；即使在鉆孔數量最多分區，其施工圖階段的估計量與超前鉆階段算得的遇孤石率k/n仍存在較大誤差；以顯著水平α=0.05檢驗假設p=，多個分區檢驗結果落在拒絕域。雖然第一個分區在大樣本(n＞30)的情況下，估計量與超前鉆k/n值仍存在一定的偏差，說明區n＜30時，估計量與p真值的偏差較大，不宜用其數學期望預測遇孤石孔數。

3 豎向分布特性——孤石揭露厚度、線孤石率的統計方法

3.1 統計量的選定及其概率分布

(1)孤石厚度

孤石厚度在本文有兩個統計量，首先是單孔揭露孤石的總厚度H，H反映單個鉆孔揭露多個孤石的情況；其次是單個孤石的揭露厚度H'。

孤石厚度H密度函數的形式未知，可通過核密度估計獲得任意h的總體密度函式中n為樣本數；K為某個分布的密度函數，不同的K對核密度估計影響不大，因此采用標準正態分布；L為區間長度，稱為帶寬，其取值影響密度函數曲線的光滑程度，K為標準正態分布時最佳帶寬為L=1.0Sn-0.2(S為樣本標準差)。

根據該電廠一期工程超前鉆階段的H、H'統計成果，作密度函數、分布函數的核密度估計曲線，與理論正態分布進行對比見圖1～圖2。

圖1 單孔孤石總厚度H密度函數f(H)和分布函數F(H)曲線

圖2 單個孤石厚度H'密度函數f(H')和分布函數F(H')曲線

H、H'均受到節理裂隙、風化程度、地形地貌以及鉆孔與孤石相對位置等多種因素影響，而每一個影響因素都不起決定作用，且這些影響因素是可以疊加的，根據概率論原理，可認為H、H'近似服從正態分布。圖1～圖2顯示，H、H'核密度估計曲線適宜用嚴格非負的對數正態分布來描述[3]，對數正態分布密度函數見式3：

為了簡化分析，擬采用正態分布近似地描述H、H'的分布規律。

下面對H、H'進行χ2擬合優度檢驗，作假設檢驗1：H服從正態分布N(, S2H)，假設檢驗2：H'服從正態分布N(, S2H')，顯著水平α均為0.05，結果見表3、表4。

表3 H分布函數的假設檢驗

表4 H'分布函數的假設檢驗

χ2擬合優度檢驗結果顯示H、H'均服從正態分布。

通過上述分析，得到以下認識：

①H、H'服從對數正態分布，近似服從正態分布；

②分布函數曲線圖中正態分布曲線、經驗分布曲線、核密度估計的分布曲線交點在F軸0.25、0.88～0.90點，即置信度90%的正態分布單側界限值與實測值較接近，在F∈(0.25, 0.90)的區間內，正態分布的估值大于實測值，超出這個區間，正態分布的估值就小于實測值。

(2)孤石所占的線性比例

以下簡稱“線孤石率”或y，把y定義為孤石總厚度H與基巖面以上風化帶厚度T(含孤石)的比值，y的χ2及Kolmogorov-Smirnov擬合優度檢驗顯示y不服從正態分布，根據超前鉆階段的y統計成果，作密度函數、分布函數的核密度估計曲線，與理論正態分布、指數正態分布進行對比見圖3。

圖3 線孤石率y密度函數f(y)和分布函數F(y)曲線

由圖3，y核密度估計曲線與對數正態分布曲線擬合得非常好，可知y服從指數正態分布，其分布函數如式3，通過y數據樣本進行參數估計，式3中μ=2.5827，σ=0.9319。

據相關的研究，正態、對數正態分布特性的區別唯一受控于變異系數，變異系數＜0.3時兩者差異不大。由于y的變異系數達到了0.95，因此正態、指數正態分布曲線存在一定的誤差。

由圖3，y正態分布曲線、經驗分布曲線、核密度估計的分布曲線交點在F(y)軸0.25、0.90兩點，即置信度90%的正態分布單側界限值與實測值較接近；在F(y)∈(0.25, 0.90)的區間內，正態分布的y估值大于實測值；超出這個區間，正態分布的y估值就小于實測值，如F(y)=0.95時正態分布y估值與實際相差達0.075。

綜上，在F(y)∈(0.25, 0.90)的區間內以正態分布近似地描述線孤石率y是較保守的、可行的，為簡化分析，仍以正態分布近似地描述y的分布規律。

3.2 統計方法及實例

超前鉆入巖深度應達到多少，才能以較大的把握確定孔底是落在基巖，而不是落在孤石上呢？這個問題可以通過H'的均值μ、樣本標準差S，以及μ的置信區間來解答。

若H'服從理論正態分布，則H'應＜μ+σ(單側置信度88%)，由3.1節的討論可知，以施工圖資料估計的存在一定誤差，不宜直接使用，但H'仍可以其均值的置信區間來描述。

由于總體方差σ2未知，求H '均值的置信區間，首先作標準化變換其中則統計量T服從t(n-1)分布；根據3.1節的討論，取單側顯著水平α=0.1，單側置信區間界限值為標準值，表示H'的均值有90%的可能落在單側置信區間標準值是H'的可靠性估值，上述方法與《巖土工程勘察規范》中標準值的計算方法相近，不同的是規范中顯著水平取0.05，學生氏函數界限值采用擬合公式計算，而本文顯著水平取0.1，學生氏函數界限值t1-α是直接計算而得。

同理可得H、y的統計方法。

對煤場區的H'、H、y分階段統計見表5。

表5 煤場區H'、H、y分階段統計

4 結論

(1)單個鉆孔是否遇孤石的事件可視為努利試驗，而多個鉆孔遇孤石孔數x服從遇孤石概率為p的二項分布，其數學期望np可用于預測超前鉆/樁基施工遇孤石的孔/樁數。

(2)孤石厚度、線孤石率服從對數正態分布，為簡化分析，可近似地以正態分布進行統計，通過其平均值，樣本標準差，以及可靠度估值，可為超前鉆及樁基施工提供依據。

[1]梁飛豹，等.應用統計方法[M].北京：北京大學出版社，2010.

[2]張繼周，繆林昌.巖土參數概率分布類型及其選擇標準[J].巖石力學與工程學報，2009，28(S2).

[3]復旦大學.概率論第二冊[M].北京：高等教育出版社，1979.