基于C-K模型及其改進的高高齡人口死亡率模型研究

孫佳美，郭利濤

1 原始的Coale-Kisker模型

原始的Coale-Kisker模型（簡稱為原始C-K模型）是Ansley Coale和Ellen Kisker在1990年提出的。該模型有兩個基本假設：

（1）85歲以上人口死亡率的增加幅度是隨著年齡增長而線性下降的；

（2）110歲人口的死亡率是不隨時間變化而變化的，是一個固定值。

C-K模型首先定義了一個kx：

其中，mx是年齡x歲的人口的粗死亡率，可通過死亡數與年中人口數的比值得到。

若65歲及以上人口的粗死亡率已知，則由(1)式可以得到下面的(2)式：

根據C-K模型的第一個假設，kx（x≥85）與年齡x呈線性關系，即

其中s代表kx變化的斜率。將(3)式代入(2)式可以得到：

令x=110，則由(4)式可以得到斜率s,結果如下：

原始C-K模型的第二個基本假設是110歲人口的粗死亡率是個固定值，并且男性m110=1.0,女性m110=0.8。同時為了降低隨機波動對死亡率估計造成的影響，Coale和Kisker用82歲到86歲人口死亡率的算術平均值代替(5)式中84歲人口的死亡率；用82歲到88歲人口的kx的算術平均值代替k85，即

根據(1)式，(7)式可以化簡為：

綜上所述，原始的C-K模型只需得到81-88歲人口粗死亡率的數據，利用式(6)和式(8)及m110的數據，由式(5)計算出s后，再利用(4)式便可以得到其余高高齡人口的死亡率。

2 改進的Coale-Kisker模型

原始的C-K模型是基于當時高高齡人口的死亡統計樣本比較少而提出的，隨著高高齡人口死亡統計數據的增加，其中對于m110取固定值的假設就顯得有些不適合了。為此需要將原始的C-K模型加以改進。考查公式(4)，將其改寫如下：

將(9)式調整可以得到：

從(10)式可以看出，85歲以上人口的死亡率應滿足如下形式：

式（11）稱為改進的C-K模型，參數A、B、C的值可通過最小二乘法估計得到。相對原始的C-K模型而言，改進的C-K模型不需要m110取固定值的假設，而且將用到85歲以上所有年齡人口的死亡數據。因此如果85歲以上人口的死亡率數據充足而且可靠的話，則使用改進的C-K模型得到的高齡人口死亡率估計較使用原始的C-K模型得到的結果更準確些。

3 模型實證分析

3.1 數據來源

根據《中國統計年鑒》和《中國人口統計年鑒》的統計，中國人口死亡數據中大部分日歷年數據的末組都為90+，1996年末組為85+，1995、2000和2005年末組為100+，85歲以上人口的死亡統計較少，而原始C-K模型及其改進模型均需要85歲以上人口的死亡率數據，并且要求數據質量比較可靠。因此我們無法對中國高高齡人口數據采用C-K模型進行擬合，但是隨著中國高齡及高高齡人口統計數據的增多，有必要基于高高齡人口的實際死亡數據進行死亡率的估計和預測。為了給出原始C-K模型及其改進模型的具體運用方法，本文將以數據日本的人口死亡數據（數據來源：The Human Mortality Database，以下稱HMD）為例，對原始C-K模型和改進的C-K模型的擬合效果進行檢驗，希望對中國高高齡人口死亡數據的擬合提供借鑒。

本文中的日本人口死亡數據來源于HMD中1970～2009年男性和女性按每5年分組的分年齡暴露數、死亡數及死亡率（Period Data）數據。

3.2 原始C-K模型和改進的C-K模型下死亡率的擬合結果

下面將對日本85歲以上人口粗死亡率采用原始C-K模型、改進的C-K模型進行擬合，其中原始C-K模型的擬合死亡率由前面的式（4）、（5）、（6）、（8）和m110的假定（男性m110=1，女性m110=0.8）計算而得，利用改進的C-K模型擬合死亡率是通過使得回歸平方和極小化先計算出參數A，B，C，再利用式（11）即可得到各年齡死亡率的擬合值。

圖1給出日本2000～2009年男性、女性年齡別死亡變化率5kx的值，從圖1看出，男性、女性85歲以上的死亡變化率5kx均呈下降趨勢，因此可以說明用C-K模型擬合其85歲以上的死亡率是適合的。圖2、3分別給出對日本2005～2009年男性和女性85歲以上人口的粗死亡率（到105歲）采用原始的C-K模型及改進后的C-K模型的擬合效果比較，圖4和圖5是對日本1970-2009年男性和女性85歲以上人口（到105歲）的粗死亡率采用改進后的C-K模型得到的m110的預測值。

由圖2和圖3可以看出，對于1970～2009年日本男性和女性85歲以上人口的粗死亡率，改進C-K模型的擬合效果均比原始C-K模型的擬合效果好。從圖4、5可以看出，采用改進后的C-K模型得到的m110的預測值在各年均小于原始的C-K模型中m110的假設值。另外，從圖5還可以看出，基于日本的歷史數據預測出來的女性110歲死亡率是隨著時間的變化而變動的，沒有固定在0.8；女性110歲的死亡率大致處于下降趨勢，而且長時間低于0.8。

圖1 日本2000～2009年男性、女性年齡別死亡變化率5kx的值

圖2 日本2005～2009年男性85歲以上人口死亡率的擬合效果比較

圖3 日本2005～2009年女性85歲以上人口死亡率的擬合效果比較

圖4 日本1970～2009年男性m110的預測效果比較

4 結論

圖5 日本1970～2009年女性m110的預測效果比較

本文基于日本1970～2009年85歲以上人口的死亡率，分別采用原始C-K模型及其改進模型估算出高高齡人口的死亡率，結果表明當85歲以上人口的死亡率數據已知，而且數據質量較可靠時，改進的C-K模型的擬合效果可能優于原始的C-K模型的擬合效果。我國已經進入人口老齡化社會，老齡人口死亡率的降低和平均壽命的延長，將會低估年金產品的費率，造成商業保險公司或養老金公司的財務問題。因此，本文的研究將對中國保險公司、養老金公司及監管部門提供方法指導。

[1]Coale,Kisker.Are Mortality Rates Falling at Extremely High Ages:An Investigation Based ona Model，Proposed by Coab Kisker,1995,49(2).

[2]Li,J.S.H.,Hardy,M.R.,Tan,K.S.Threshold Life Tablesand their Ap?plications[J].North American Actuarial Journal,2008,12.

[3]余清祥.高高齡老人死亡率與Gompertz模型：理論與實證研究[J].人口學刊,2002,(24).