單噴泵無人滑行艇航向的反步自適應滑模控制

廖煜雷，莊佳園，龐永杰，杜鑫

(1.哈爾濱工程大學水下智能機器人技術國防科技重點實驗室，黑龍江哈爾濱 150001;2.總參陸航研究所，北京 100020)

無人水面艇(unmanned surface vehicle，USV)，是一種自主式的無人水面小型船舶.文中USV是裝備單泵噴水推進器的剛性充氣滑行艇.在不同航速下，艇體的浸濕面積和吃水等會發生很大變化，其艇體各種水動力系數也將隨航速的變化而改變，故該USV具有強非線性、不確定性和時變性的特點，同時受風浪流等海洋環境干擾力的影響較大，要建立其精確的USV動力學模型非常困難，因此，控制算法必須能夠適應被控制系統模型參數的變化.作為自主航行的水面智能體，航向控制問題尤為突出，設計具有自適應性的自動駕駛操舵系統顯得非常重要.

當前船舶航向的非線性控制方法主要有自適應控制［1］、現代魯棒控制［2］、滑模變結構控制［3］、Backstepping 法［4］、基于人工智能［5］和以上方法的混合控制策略等［6-7］.在USV控制方面，YU等將魯棒控制方法應用到 USV的艏向控制中［8-9］，文獻［10］基于Lyapunov直接法設計了三體型USV的速度控制器，Bao等針對USV的艏向和橫向控制問題，基于滑模觀測器和滑模控制器設計了艏向和橫向聯合控制器［11］，文獻［12］利用 Lyapunov直接法和Backstepping方法設計了USV的速度和艏向聯合控制器.

本文討論了USV在未知不確定性影響下的航向跟蹤控制問題.首先分析了USV的自動穩定性，然后基于Backstepping法和滑模控制理論，提出了一種自適應滑模反饋控制律，該控制律能保證航向跟蹤系統的全局漸近穩定性，其優點在于具有較短的收斂時間、良好的動態性能和自適應能力.理論分析和仿真對比試驗皆表明了文中控制律的正確性和有效性.

1 系統描述和運動穩定性分析

1.1 滑行艇操縱運動數學模型

考慮到在大舵角下運動和不穩定船舶的操縱特性，Bech等在二階線性K-T方程的基礎上，進一步發展了非線性響應方程，形成二階非線性艏搖響應方程［13］:

式中:r是艏搖角速度(順時針為正)，δ為控制舵角(左舵為正)，T1、T2、T3為時間常數，K為回轉性指數，α為模型非線性項系數(Norbbin系數).

在操舵不是很頻繁的情況下，考慮建模誤差和外界干擾力等非匹配不確定性的影響，船舶航向非線性操縱系統可以采用以下的一階非線性艏搖響應方程(2):

式中:T為時間常數;F為建模誤差Δ和未知外界干擾力ω的不確定性總和，即F=Δ(ψ，)+ω，假設不確定性的上界為|F|≤，且為慢變過程=0.

USV艏向角ψ與艏搖角速度r的關系為

1.2 航向穩定性分析

2010年5 月，該USV在山東省蓬萊海域進行了大量的直航、回轉和Z型機動等操縱性試驗，如圖1所示.對試驗數據進行系統辨識得到了艇體的水動力系數，文中的 USV操縱性參數分別為K=-2.364、T=5.489、T1=6.255、T2=0.331.

船舶在水平面內的航向穩定性包括自動穩定性和控制穩定性［13］.

首先研究自動穩定性，忽略式(1)的非線性項，其特征方程式為

式(4)的2個特征根λ1、λ2可按韋達定理求得

為了判斷水平面的自動穩定性，只需判斷特征方程(4)的根的符號，而并不需要解方程式的根.采用古爾維茨判別法，式(4)的兩根都具有負實部的充要條件是方程式的系數全部大于零，即

也即要求 T1＞0，T2＞0.因為 T1=6.255＞0，T2=0.331＞0，由古爾維茨判別法可知，該USV具有水平面內的直線自動穩定性，習慣上也常稱為航向穩定性.

與常規水面船舶相比，如“育龍”號實習船［7］中，K=-0.48、T=216.8，文中 USV 的 T 值較小，因此具有較好的穩定性;而K較大，因此回轉性能也更好.可見該艇具有良好的機動性能，這是由艇型和操舵方式決定的，即USV動力裝置為噴水推進器，它通過改變噴嘴轉角來進行艏向控制(對噴嘴轉角的操縱，按習慣稱為舵角操縱).

顯然，USV航向跟蹤控制系統(2)、(3)是單輸入單輸出的不確定性非線性系統，控制問題可描述為設計反饋控制律，保證USV的艏向跟蹤誤差有界且收斂到零.

圖1 試驗中的USV Fig.1 Unmanned surface vessel operating in the sea

2 反步自適應滑模控制器

2.1 反步自適應滑模控制器設計

首先，定義如下狀態變換:

式中:ψd為期望艏向角，滿足二階可導的光滑函數;χ為穩定項輔助方程;c1為正常數.

定義Lyapunov預選函數為

對V1求導，則

定義Lyapunov預選函數為

式中:σ為滑模切換函數.定義切換函數為

式中:k1為正常數.對V2求導，則

式中:f=-r/T-αr3/T，b=K/T.

取反饋控制律為

式中:h、β皆為正常數.將式(6)代入式(5)可得

取矩陣

由于

式中:Z=［z1z2］T.則當|Q|=h(c1+k1)-1/4 ＞0時，式(7)有

那么只要選取適當的 h、c1、k1使得|Q|＞0，從而保證Q為正定矩陣，則必有2≤0成立.也就保證了USV航向跟蹤系統是Lyapunov意義下全局漸近穩定的.

在實際控制中，USV航態復雜多變，因此具有強非線性，這導致航向非線性系統的模型參數很難精確獲得且具有較大不確定性;同時，USV航行于復雜海洋環境中，經常受到未知外加干擾力的影響.因此，總不確定性F的上界很難確定.為了避免F上界帶來的抖振等問題，采用自適應算法對F進行估計［14］.

式中:γ為正常數.對式(9)求導可得

設計自適應反饋控制律為

定義不確定性F的自適應律為

將式(11)和(12)代入式(10)，且由式(8)可得

2.2 Backstepping控制器設計

為了與文中自適應反步(Backstepping)滑模控制器的控制效果進行對比，下面利用Backstepping法設計USV航向跟蹤控制器，其中假設不確定性F=0.

引入如下2個誤差變量:

式中:η=-n1x1為虛擬控制輸入，n1為正常數.

定義Lyapunov預選函數為

對式(16)求導可得

式中:n2為正常數，將控制律(14)代入式(13)可得

由設計過程可知，系統滿足Lyapunov穩定性理論條件，因此誤差變量x1、x2是漸近穩定的，這保證了USV航向跟蹤系統是全局漸近穩定的.

2.3 穩定性分析

由上面的設計過程可知，Backstepping法是一種由前向后遞推的設計方法，通過逐步迭代設計Lyapunov函數使系統的誤差漸近穩定，最終實現對原系統的全局漸近鎮定.

定理1 考慮存在不確定性影響的航向非線性系統(2)、(3)，在自適應反饋控制律(11)和不確定性自適應控制律(12)的作用下，誤差變量z1、z2、σ是全局漸近穩定的，保證了USV航向跟蹤系統的全局漸近穩定性，實現了航向的自適應控制.

證明 由2.1節的設計過程得證.

證明 由2.2節的設計過程得證.

3 仿真結果與分析

根據海試操縱性試驗結果，文中USV操舵系統的參數為 K=-2.364、T=5.489、α =0.000 094.為了方便闡述，反步自適應滑模控制器稱為控制律1，Backstepping控制器稱為控制律2.控制律1的設計參數為c1=0.9、k1=0.15、h=0.26、β =0.002、γ =0.000 1.控制律 2的設計參數為 n1=0.03、n2=7.

在下面的仿真對比試驗中，初始值均取為:ψ0=30°，r0=0，同時文中考慮舵角飽和限制條件為-30°≤δ≤30°，不確定性設為建模誤差 Δ=sin 2πt(°·s-2)和干擾力 ω = ±1(°·s-2)的正態白噪聲.設置期望航向為諧波航向ψd=sin(t/40)和直航ψd=0 2種情形，使用Matlab Simulink軟件進行數值仿真，仿真試驗結果如圖2～9所示.

圖2 艏向角ψ響應曲線(直航)Fig.2 The response graph of yaw ψ(straight)

圖3 艏向角ψ響應曲線(起始到35 s)Fig.3 The response graph of yaw ψ (start to 35 s)

圖4 角速度r響應曲線(直航)Fig.4 The response graph of angular velocity r(straight)

圖5 控制舵角δ響應曲線(直航)Fig.5 The response graph of control rudder δ (straight)

圖6 滑模面σ響應曲線Fig.6 The response graph of sliding mode surface σ

圖7 艏向角ψ響應曲線(諧波)Fig.7 The response graph of yaw ψ(harmonic)

圖8 角速度r響應曲線(諧波)Fig.8The response graph of angular velocity r(harmonic)

圖9 控制舵角δ響應曲線(諧波)Fig.9 The response graph of control rudder δ (harmonic)

諧波航向跟蹤的試驗結果如圖2～6所示.由圖3、5可知，對比控制律2，控制律1有更短的收斂時間和更小的控制舵角(意味著更小的能量消耗);同時，在不確定性的影響下，舵角振蕩較小、輸出平緩，這意味著控制律1有較好的動態性能和自適應能力.直航控制的試驗結果如圖7～9所示，與控制律2相比，控制律1有較好的控制性能和自適應能力.從圖2、7可看出，2種控制律皆能完成航向跟蹤，這驗證了定理1和定理2.圖6也說明了跟蹤系統的滑模切換面σ是漸近穩定的.

表1 控制效果對比Table 1 Comparison of control results

4 結束語

文中討論了在模型不確定性和外界干擾下，USV航向非線性系統的控制問題.對試驗數據的分析表明，該USV在水平面內運動是靜不穩定的，但具有運動穩定性，基于滑模控制理論和Backstepping法，提出了一種反步自適應滑模控制器.通過理論證明，在該控制律作用下USV的航向跟蹤控制系統是全局漸近穩定的.數值仿真對比試驗表明所提控制律具有良好的自適應性和跟蹤性能，該方法也可推廣到其他海洋運載系統.探討更復雜環境下的航向控制問題，將是未來的研究重點.

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