基于GM(1，1)模型數(shù)據(jù)的曲線擬合預(yù)測方法在武咸城際鐵路中的應(yīng)用研究

葉珉?yún)?，花向紅，劉金標(biāo)，楊發(fā)群

(1.武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北武漢 430079; 2.武漢市勘測設(shè)計研究院，湖北武漢 430022;3.武漢大學(xué)災(zāi)害監(jiān)測與防治研究中心，湖北武漢 430079)

1 引言

城際鐵路是高速鐵路的一種，是指在人口稠密的都市圈或者城市帶規(guī)劃和修建的高速鐵路客運專線系統(tǒng)，其特點是短距離、公交化。我國城際鐵路大量采用無砟軌道技術(shù)，其突出的特點是軌道的高平順性和高精度。線路的平順性差將使列車在高速行車條件下，在平穩(wěn)性、舒適性及安全性等方面深受影響，甚至導(dǎo)致列車脫軌［1］。因此，無砟軌道為保證線路的高平順性，對城際鐵路橋梁、路基、涵洞、隧道、過渡段等線下工程沉降量有著嚴(yán)格的要求，必須進(jìn)行預(yù)測評估，以此確定鋪設(shè)無砟軌道的時間。目前，城際鐵路線下工程沉降預(yù)測一般使用曲線擬合法。為了彌補曲線自身收斂性質(zhì)導(dǎo)致的對觀測數(shù)據(jù)擬合和預(yù)測與實測值的差異，評估中一般要求以3個月為周期反復(fù)進(jìn)行曲線擬合以不斷逼近真實的沉降變形狀況，且規(guī)定間隔不少于3個月的兩次曲線擬合預(yù)測的最終沉降的差值應(yīng)小于8 mm［2］，但由此帶來的是觀測周期長、工作量大及經(jīng)費高等問題。GM(1，1)模型精度較高，其預(yù)測值與實測結(jié)果較為接近，但由于其是一個增長的模型，具有無限增長的特性，且需要不斷有“新鮮”數(shù)據(jù)補充進(jìn)去以保證其預(yù)測精度，因此GM(1，1)模型作短、中期預(yù)測是合適的，作長期預(yù)測可靠性明顯削弱［3］。為了解決上述兩個問題，本文首先對傳統(tǒng)預(yù)測方法進(jìn)行對比分析，然后綜合考慮曲線擬合法與GM(1，1)模型的優(yōu)點，提出將基于GM(1，1)模型數(shù)據(jù)的曲線擬合預(yù)測方法用于城際鐵路線下工程沉降情況的預(yù)測評估。

2 預(yù)測方法

2.1 曲線擬合法

目前，基于實測數(shù)據(jù)的沉降預(yù)測方法主要有曲線擬合法、灰色理論及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，其原理都是直接分析沉降觀測數(shù)據(jù)的變化趨勢，進(jìn)而推算出未來時刻的沉降發(fā)展情況。其中，工程中常用的曲線擬合法主要有雙曲線法、指數(shù)曲線法、拋物線法等。

(1)雙曲線法

雙曲線法是假定下沉平均速度以雙曲線形式減少的經(jīng)驗推導(dǎo)方法［4］，其公式為:

式中，t0、S0分別為擬合計算起始參考點的時間與對應(yīng)的沉降值;t、St分別為擬合曲線上任意點的時間與對應(yīng)的沉降值S∞為最終沉降量(t=∞);a、b為將實測數(shù)據(jù)經(jīng)過回歸求得的系數(shù)。

(2)指數(shù)曲線法

指數(shù)曲線法是假定下沉平均速度以指數(shù)曲線形式減少的經(jīng)驗推導(dǎo)方法［4］，其公式為:

公式中 t0、S0、t、St、S∞、a、b 的定義與雙曲線法一致。

2.2 GM(1，1)模型

灰色系統(tǒng)理論［5］是一種綜合運用數(shù)學(xué)方法對信息不完全的系統(tǒng)進(jìn)行分析、預(yù)測的理論方法。灰色模型通常表示為GM(m，n)，其中m表示模型微分方程的階數(shù)，n表示預(yù)測變量的個數(shù)。作預(yù)測分析用的灰色模型一般為GM(1，n)，其中最重要的同時也是工程實際中應(yīng)用最廣的是單一變量的GM(1，1)模型。

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為:

即可得到一次累加生成序列:

對此生成序列建立一階微分方程:

記為GM(1，1)。式中，a和u是灰參數(shù)，其白化值(灰區(qū)間中的一個可能值)為 ^a=［a u］T。用最小二乘法求解，得:

對^x(1)(k+1)作累減生成可得還原數(shù)據(jù):

式(10)、(11)即為灰色預(yù)測的兩個基本模型。當(dāng)k＜n時，稱^x(0)(k)為模型模擬值;當(dāng)k=n時，稱^x(0)(k)為模型濾波值;當(dāng)k＞n時，稱^x(0)(k)為模型預(yù)測值。

2.3 基于GM(1，1)模型數(shù)據(jù)的曲線擬合預(yù)測方法

基于GM(1，1)模型數(shù)據(jù)的曲線擬合預(yù)測方法綜合利用曲線擬合法與GM(1，1)模型的優(yōu)點，其基本思想是根據(jù)GM(1，1)模型精度較高的優(yōu)點，利用其擬合值與短期或中期的預(yù)測值對擬合曲線進(jìn)行“修正”。具體步驟如下:

(1)分別使用曲線擬合法與GM(1，1)模型對實測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合及預(yù)測分析;

(2)將GM(1，1)模型計算出來的擬合值和預(yù)測值分別代替擬合曲線相應(yīng)的擬合值和預(yù)測值;

(3)將代替后的數(shù)值與原擬合曲線的其他數(shù)值一起形成一條新的擬合曲線。

新曲線即可作為最終的沉降預(yù)測模型。

3 工程實例分析

武咸城際鐵路位于湖北省南部，自武漢樞紐武昌站引出，途經(jīng)東湖新技術(shù)開發(fā)區(qū)、廟山經(jīng)濟開發(fā)區(qū)、江夏區(qū)紙坊鎮(zhèn)、于賀站進(jìn)入咸寧市境內(nèi)。全線運營長度90.12 km，新建正線長度77 km，正線部分均為無砟軌道。限于篇幅，本文僅選取橋梁墩臺的沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與預(yù)測。以武咸城際鐵路湯遜湖特大橋DK012+690.465墩為例。通過長期觀測后，利用觀測的高程計算得到的累計沉降量與時間的關(guān)系如表1所示。

湯遜湖特大橋DK012+690.465墩左累計沉降表 表1

由表1數(shù)據(jù)可以看出，觀測初期沉降較快，直到架梁前已經(jīng)趨于穩(wěn)定狀態(tài)。架梁后，由于荷載的增加，橋梁墩臺在荷載的作用下開始另一階段的沉降變形，因此可以僅選取架梁后這一階段的實測數(shù)據(jù)進(jìn)行沉降分析與預(yù)測。

分別使用雙曲線法、指數(shù)曲線法與GM(1，1)模型對表1實測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果如圖1與表2所示，其中GM(1，1)模型的原始數(shù)據(jù)序列僅選取靠近被預(yù)測值的最新的幾期數(shù)據(jù)，因為數(shù)據(jù)過多，時間跨度長，其中包含的噪聲多，模型精度反而會降低［6］。GM(1，1)模型經(jīng)后驗差方法檢驗，C=0.088 2，P=1，模型精度為1級;雙曲線擬合相關(guān)系數(shù)為0.978，標(biāo)準(zhǔn)差為±0.013;指數(shù)曲線擬合相關(guān)系數(shù)為0.975，標(biāo)準(zhǔn)差為±0.014。

圖1 三種模型結(jié)果對比

三種模型結(jié)果對比/mm 表2

由圖1與表2可知，雙曲線法和指數(shù)曲線法整體上對實測數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果都較為良好，但由于曲線自身收斂性質(zhì)的限制，曲線對后期數(shù)據(jù)的擬合和預(yù)測與實測值都有較大差異，而且指數(shù)曲線法較雙曲線法收斂更快，其對后期數(shù)據(jù)的擬合和預(yù)測結(jié)果更較雙曲線法稍差。GM(1，1)模型較曲線擬合法所需數(shù)據(jù)量大大減少，且擬合精度高，其預(yù)測值與實測結(jié)果最為接近，更有利于工程安全。但為了解決引言提出的兩個問題，本文提出使用基于GM(1，1)模型數(shù)據(jù)的曲線擬合預(yù)測方法。

仍以武咸城際鐵路湯遜湖特大橋DK012+690.465墩為例，利用GM(1，1)模型的擬合值和預(yù)測值對雙曲線對應(yīng)的擬合值進(jìn)行“修正”，得到一條新的擬合曲線，其結(jié)果如圖2所示。

圖2 預(yù)測新方法結(jié)果比較

根據(jù)城際鐵路線下工程評估細(xì)則，認(rèn)為當(dāng)曲線回歸的相關(guān)系數(shù)不低于0.92時，所確定的沉降變形趨勢是可靠的;當(dāng)預(yù)測的6個月以后的沉降與實際沉降的偏差小于8 mm時，說明預(yù)測是穩(wěn)定的;但要達(dá)到準(zhǔn)確的預(yù)測還要求最終建立沉降預(yù)測的時間t應(yīng)滿足:S(t)/S∞≥0.75。“修正”后的雙曲線對實測數(shù)據(jù)擬合的相關(guān)系數(shù)為0.952 3，預(yù)測的6個月以后的沉降值6.20 mm與實際沉降值 6.36 mm的偏差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于8 mm，而建立沉降預(yù)測時的沉降量6.16 mm與根據(jù)曲線預(yù)測的最終沉降量7.04 mm的比值為0.88＞0.75，皆滿足城際鐵路線下工程評估細(xì)則的要求，而且由于新曲線包含有預(yù)測精度較高的數(shù)據(jù)，使得曲線在不進(jìn)行實測的情況下也能最好地逼近真實的沉降變形狀況。因此，基于GM(1，1)模型數(shù)據(jù)的曲線擬合預(yù)測方法用于城際鐵路沉降變形觀測的預(yù)測、評估是可行的。

4 結(jié)論

本文通過多模型的對比分析，綜合考慮曲線擬合法與GM(1，1)模型的優(yōu)點，提出將基于GM(1，1)模型數(shù)據(jù)的曲線擬合預(yù)測方法用于城際鐵路線下工程沉降情況的預(yù)測評估。通過武咸城際鐵路工程實例的驗證，說明此方法用于沉降變形觀測的預(yù)測、評估是可行的。

［1］鐵道部.客運專線無砟軌道鐵路工程測量暫行規(guī)范［S］.北京:中國鐵道出版社，2006(189)號.

［2］湖北城際鐵路有限責(zé)任公司.武漢城市圈城際鐵路沉降變形觀測實施細(xì)則［R］.2010.

［3］吳劍，劉昌輝，張迎春.軟基路堤最終沉降量的灰色預(yù)測［J］.城市勘測，2003(3):6～9.

［4］鐵道部工程管理中心.客運專線鐵路變形觀測評估技術(shù)手冊［R］.北京:中國鐵道出版社，2009.

［5］黃聲享，尹暉，蔣征.變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2003.

［6］鄧聚龍.灰色系統(tǒng)基本方法［M］.武漢:華中理工大學(xué)出版社，2005.